高考数学复习课时提能演练(五十五) 8_6

高考数学复习课时提能演练(五十五) 8_6

‎ ‎ 课时提能演练(五十五)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题（每小题6分，共36分）‎ ‎1.(2012·泉州模拟)椭圆C：=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,离心率为.过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8，则b的值为( )‎ ‎(A)1 (B) (C)2 (D)‎ ‎2.设直线l：x-2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B(如图)，则这个椭圆的离心率e=( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3.(2012•漳州模拟)已知椭圆=1,椭圆左焦点为F1，O为坐标原点，A是椭圆上一点，点M在线段AF1上，且,||=2,则点A的横坐标为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.已知椭圆+=1,若此椭圆上存在不同的两点A、B关于直线y=4x+m对称，则实数m的取值范围是( )‎ ‎(A)(,) (B)(,）‎ ‎(C)(,） (D)(,）‎ ‎5.若椭圆+=1的离心率e=，则m的值为( )‎ ‎（A）1 （B）或 （C） （D）3或 ‎6.已知F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足+=0（O为坐标原点），=0，若椭圆的离心率等于,则直线AB的方程是( )‎ ‎（A）y= （B）y=‎ ‎（C）y= （D）y=‎ 二、填空题（每小题6分，共18分）‎ ‎7.方程+=1表示椭圆，则k的取值范围是______．‎ ‎8.(易错题)已知F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，以原点O为圆心，OF1为半径的圆与椭圆在y轴左侧交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率等于________.‎ ‎9.(预测题)椭圆M: +=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P为椭圆M上任一点,且|PF1|·|PF2|的最大值的取值范围是［‎2c2，‎3c2］,其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是________.‎ 三、解答题（每小题15分，共30分）‎ ‎10.(2012·武汉模拟)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(4,1),直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A,B.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求m的取值范围.‎ ‎11.(2012·福州模拟)已知椭圆M:=1(a>b>0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，‎ ‎(1)试求椭圆M的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点P(1，)为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k1,直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？试证明你的结论.‎ ‎【探究创新】‎ ‎（16分）已知直线x-2y+2=0经过椭圆C: +=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求线段MN的长度的最小值；‎ ‎（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由.‎ 答案解析 ‎1.【解析】选B.由已知可知‎4a=8,∴a=2,‎ 又e=,∴e2=,∴b=.‎ ‎2.【解析】选A.B(0,1)，F(-2,0),‎ 故c=2，b=1，a=＝，e==.‎ ‎3.【解析】选D.设A(x1,y1)则=1,‎ 又F1(-5,0),由知M是AF1的中点，∴M(),‎ ‎∴=4,解得x1=，x2=(舍去).‎ ‎4.【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ AB的中点M（x,y)，kAB==,‎ x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x12+4y12=12 ①,‎ ‎3x22+4y22=12 ②,‎ ‎①②两式相减得3(x22-x12)+4(y22-y12)=0，‎ 即y1+y2=3(x1+x2),即y=3x,与y=4x+m联立得x=-m,y=-‎3m,而M(x,y)在椭圆的内部，则+＜1,即＜m＜.‎ ‎【方法技巧】点差法解直线与椭圆相交问题的适用条件及技巧 对于直线与椭圆相交问题，若题设和待求涉及到弦的中点和所在直线的斜率，求解时一般先设交点坐标，代入曲线方程，再用平方差公式求解，这种解法，大大减少了将直线方程与椭圆方程联立求解带来的繁杂运算.‎ ‎5.【解析】选D.当椭圆+=1的焦点在x轴上时，‎ a=，b=，c=，‎ 由e=，得=，解得m=3；‎ 当椭圆+=1的焦点在y轴上时，‎ a=，b=，c=，‎ 由e=，得=，解得m=.‎ ‎6.【解题指南】由+=0知，A、B两点关于原点对称，设出A点坐标,利用向量列方程求解.‎ ‎【解析】选A.设A(x1,y1)，因为+=，所以 B(-x1,-y1),=(c-x1,-y1)，=(‎2c,0)，‎ 又因为·=0，所以(c-x1,-y1)·（‎2c,0)=0，即 x1=c，代入椭圆方程得y1=，因为离心率e=，所以，a=，b=c，A(c,)，所以直线AB的方程是y=.‎ ‎7.【解析】方程+=1表示椭圆，则 ‎，解得k>3.‎ 答案：k>3‎ ‎8.【解析】因为△F2AB是等边三角形，所以A(,)在椭圆+‎ ‎=1上，所以+=1，因为c2=a2-b2，‎ 所以，4a4-8a2c2+c4=0，即e4-8e2+4=0，‎ 所以，e2=4±，e=-1或e=+1（舍）．‎ 答案：-1‎ ‎【误区警示】本题易出现答案为-1或+1的错误，其错误原因是没有注意到或不知道椭圆离心率的范围.‎ ‎9.【解析】∵|PF1|·|PF2|的最大值为a2,‎ ‎∴由题意知2c2≤a2≤3c2,‎ ‎∴≤a≤,‎ ‎∴≤e≤,‎ ‎∴椭圆离心率e的取值范围是［,］.‎ 答案:［,］‎ ‎10.【解析】(1)设椭圆的方程为+=1(a＞b＞0),因为e=,所以a2=4b2,又因为椭圆过点M(4,1),所以+=1,解得b2=5,a2=20,故椭圆方程为+=1.‎ ‎(2)将y=x+m代入+=1并整理得5x2+8mx+‎4m2‎-20=0,Δ=(‎8m)2-20(‎4m2‎-20)>0,解得-50时，即d2-4(d2-3)>0,‎ 即｜d｜<2时，直线l与椭圆有两交点，‎ 由根与系数的关系得：‎ 所以，k1=,‎ k2=.‎ 则k1+k2=‎ ‎=‎ ‎= =0,‎ 所以，k1+k2为定值.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解析】（1）由题知A(-2,0),D(0,1),故a=2,b=1,所以椭圆方程为：+y2=1.‎ ‎（2）设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0)，从而可知M点的坐标为(,).‎ 由得，‎ 所以可得BS的方程为y=(x-2)，从而可知N点的坐标(,)，‎ ‎∴|MN|=+≥当且仅当k=时等号成立，‎ 故当k=时，线段MN的长度取最小值.‎ ‎（3）由（2）知,当|MN|取最小值时，k=，此时直线BS的方程为x+y-2=0，S(,)，∴|BS|=.要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线l′上.直线BS：x+y-2=0；直线l′：x+y+m=0，得m=或m=,‎ 则直线l′：x+y=0或x+y=0,‎ ‎，消去y得5x2-20x+21=0,Δ<0无解；‎ ‎,消去y得5x2-12x+5=0,Δ=44>0,有两个解,‎ 所以点T有两个．‎