宁夏六盘山高级中学2020届高三第四次模拟测试数学（理）试题

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高三四模理科数学 第 1 页 共 5 页 绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学 2020 届高三第四次模拟考试 理科数学试卷 命题： 审题： 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清 楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合  | 3 5M x N x     ，  | 5N x x   或 5x  ，则  RM N I ð （ ） A． 1,2,3,4,5 B． 3 5x x   C． 5| 5x x   D． 1,2,3,4 2．若复数 z 满足 3+4i 1 iz   (i 是虚数单位 ) ，则复数 z 的共轭复数 z  （ ） A． 1 7 i5 5   B． 1 7 i5 5   C． 1 7 i25 25   D． 1 7 i25 25   3．如图所示给出了某种豆类生长枝数 y（枝）与时间 t（月）的散点图，那么此种豆类生长枝数与时间的 关系用下列函数模型近似刻画最好的是（ ） A． 22y t B． 2logy t C． 3y t D． 2ty  高三四模理科数学 第 2 页 共 5 页 4．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 11a   ， 2 8 6a a   ，则 nS 的最小值等于（ ） A．-36 B．6 C．-6 D．-34 5．已知函数   3log , 0 1 , 03 x x x f x x        那么不等式   1f x  的解集为（ ）. A．{ | 3 0}x x   B．{ | 3 0}x x x  或 C．{ | 0 3}x x  D．{ | 0 3}x x x 或 6．对于直线 m ， n 和平面 ，  ，  的一个充分条件是（ ） A． //m n，n  ，m  B．m n ， //m ， //n  C．m n ， m   ，n  D． //m n，m  ，n  7．将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数 a 、b ，则直线 0ax by  与 ( )22 5 5x y+ - = 相切的概率为（ ） A． 1 6 B． 1 12 C． 1 18 D． 1 30 8．设函数 2( ) 2cos ( ) sin(2 )8 4f x x x     ， (0,3π)x 则下列判断正确的是（ ） A．函数的一条对称轴为 π 6x  B．函数在区间 π 5π,2 4      内单调递增 C． 0 0, 3πx  ( )，使 ( ) 1 0f x D． a R ，使得函数 )( axfy  在其定义域内为偶函数 9．已知双曲线C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的焦距为 2c .点 A为双曲线C 的右顶点，若点 A到双曲线C 的渐近线的距离为 1 2 c ，则双曲线C 的离心率是（ ） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 10．已知函数   1ln sin1 xf x xx   ，则关于 a 的不等式    22 4 0f a f a    的解集是（ ） A． 3 2， B． 3 2 ， C． 1 2， D． 3 5， 11．已知点 M N P Q， ， ， 在同一个球面上， 3 4, 5MN NP MP  ， ，若四面体 M N P Q 体积的最大 值为 10，则这个球的表面积是（ ） A． 25 4  B． 625 16  C． 225 16  D．125 4  12 . 已知函数  f x 的定义域为 0,  ，若  f xy x  在 0,  上为增函数，则称  f x 为“一阶比增函数”； 若   2 f xy x  在  0,  上为增函数，则称  f x 为“二阶比增函数”。我们把所有“一阶比增函数”组成的 集合记为 1 ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为 2 ．若函数   3 22f x x hx hx   ，且   1f x  ，   2f x  ，则实数 h 的取值范围是（ ） 高三四模理科数学 第 3 页 共 5 页 A． 0,  B． 0, C． ,0 D． ,0 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．若实数 yx, 满足       ,0 ,0 ,01 x yx yx 则 yxz 2 的最小值是 . 14.已知圆 2 2 6 7 0x y x    与抛物线  2 2 0y px p  的准线相切，则 p 的值为________ 15． 51( 2)x x   的展开式中， 2x 的系数是__________． 16．已知数列 na 的前 n 项和  *2 1n nS a n N   ，设 21 logn nb a  ，则数列 1 1 n nb b        的前 n 项和 nT  ________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． 17.（本小题满分 12 分）已知 ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c， 2A  ，且满足  sin 2 20cos 0bc A B C   . （1）求 ABC 的面积 S ； （2）若 2 4a S ，求 c b b c  的最大值. 18.（本小题满分 12 分）某农场更新技术培育了一批新型的“盆栽果树”，这种“盆栽果树”将一改陆地 栽植果树只在秋季结果的特性，能够一年四季都有花、四季都结果.现为了了解果树的结果情况，从该批果 树中随机抽取了容量为 120 的样本，测量这些果树的高度（单位：厘米），经统计将所有数据分组后得到如 图所示的频率分布直方图. 优品 非优品 合计 A 基地 60 B 基地 20 合计 高三四模理科数学 第 4 页 共 5 页 （1）求 a ； （2）已知所抽取的样本来自 A B、 两个实验基地，规定高度不低于 40 厘米的果树为“优品盆栽”， （i）请将图中列联表补充完整，并判断是否有99% 的把握认为“优品盆栽”与 A B、 两个实验基地有关？ （ii）用样本数据来估计这批果树的生长情况，若从该农场培育的这批“盆栽果树”中随机抽取 4 棵，求其 中“优品盆栽”的棵树 的分布列和数学期望. （ 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d         ）  2 0P K k 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥中 P ABCD ， PA  平面 ABCD， //AD BC ， AD CD ，且 2 2AD CD  ， 4 2BC  ， 2PA  ． （1）求证： AB PC ； （2）在线段 PD 上，是否存在一点 M ， 使得二面角 M AC D  的大小为 45 ，如果 存在，求 BM 与平面 MAC 所成的角的正弦值， 如果不存在，请说明理由． 20.（本小题满分 12 分）已知函数   2 lnf x a x xx    ． （1）若曲线  y f x 在点   1, 1P f 处的切线与直线 2 2y x   平行，求 a 的值，并求函数  y f x 的 单调区间； （2）当 2a  时，若对任意  0,x  ，都有   2f x c x  恒成立，试求实数 c 的取值范围． C D M A B P 高三四模理科数学 第 5 页 共 5 页 21.（本小题满分 12 分）已知点O 为坐标原点，椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的右焦点为  1,0F ， P 为椭 圆C 上一点，椭圆C 上异于 P 的两点 A ， B 满足 AFO BFO   ，当 PF 垂直于 x 轴时， 3 2PF  . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设直线 PA ，PB 分别与 x 轴交于点  ,0M m ，  ,0N n ，问：mn 的值是否为定值？若是，请求出 mn 的 值；若不是，请说明理由. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 cos 2 sin x t y t        （t 为参数， 为直线 l 的倾斜角），以坐 标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2sin  . （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求 2 3   时直线l 的普通方程； （2）直线l 和曲线C 交于 A 、 B 两点，点 P 的直角坐标为  1,2 ，求| | | |PA PB 的最大值. 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 0a  ， 0b  ，且 2 2 1a b  . （1）若对于任意的正数 a，b，不等式 2 22 11 1 ax b   恒成立，求实数 x 的取值范围； （2）证明：  5 51 1 1a ba b      