宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题

宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试 文科数学试卷 第Ⅰ卷（选择题)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，再由集合并集的概念即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解和集合并集的运算，属于基础题.‎ ‎2.已知复数满足，则的共轭复数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的运算法则可得，再由共轭复数的概念即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算和共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎3.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二倍角余弦公式的逆运用可得解.‎ ‎【详解】由题意.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.设向量，满足，，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等式进行平方，相加即可得到结论．‎ ‎【详解】∵||，||，‎ ‎∴分别平方得2•10，2•6，‎ 两式相减得4•10﹣6＝4，‎ 即•1，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎5.已知双曲线（，）的渐线方程为，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据渐近线方程可知，代入即可求得结果。‎ ‎【详解】因为双曲线（，）的渐线方程为，所以，‎ 所以双曲线的离心率 。故选C。‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。求圆锥曲线的离心率一般有三种类型：（1）直接求；（2）构造关于的齐次式求解；（3）构造关于的不等式，求的取值范围。‎ ‎6.设，为两条直线，若直线平面，直线平面，下列说法正确的是（ ）‎ ‎①若，则②若，则 ‎③若，则④若，则 A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面、面面平行、垂直有关定理对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】对于①，由于直线平面，，所以平面，所以，故①正确.‎ 对于②，直线位置关系无法判断，故②错误.‎ 对于③，由于直线平面，，所以平面，而平面，所以，故③正确.‎ 对于④，可能相交，故④错误.‎ 综上所述，正确的说法是①③.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面、面面有关命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎7.若满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得解.‎ ‎【详解】由题意画出可行域，如图，‎ 转化目标函数为，‎ 上下平移直线，数形结合可知，当直线过点时，取最小值，‎ 由可得点，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了简单的线性规划，属于基础题.‎ ‎8.有甲、乙、丙、丁四位大学生参加创新设计大赛，只有其中一位获奖，有人走访了这四位大学生，甲说：“是丙获奖.”乙说：“是丙或丁获奖.”丙说：“乙、丁都未获奖.”丁说：“我获奖了.”这四位大学生的话只有两人说的是对的，则获奖的大学生是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四位大学生的话只有两人说的是对的，假设其中一人说的对，如果和条件不符合，就说明假设的不对，如果和条件相符，则按假设的方法解决问题.‎ ‎【详解】若甲说的对，则乙、丙两人说的也对，这与只有两人说的对不符，故甲说的不对；‎ 若甲说的不对，乙说的对，则丁说的也对，丙说的不对，符合条件，故获奖的是丁；‎ 若若甲说的不对，乙说的不对，则丁说的也不对，故本题选D.‎ ‎【点睛】本题考查了推理的应用，假设法是经常用的方法.‎ ‎9.已知函数是上的奇函数，且对任意，都有．若，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数单调性的定义可知函数在上单调递减，再由奇函数的性质可得函数在上单调递减，结合即可得解.‎ ‎【详解】对任意，都有，‎ 对任意，都有，‎ 函数在上单调递减，‎ 又函数是上的奇函数，函数在上单调递减，‎ 又，‎ 即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数单调性、奇偶性的应用，考查了对数式的大小比较，属于中档题.‎ ‎10.执行如图的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 执行程序框图，注意变量的取值的变化，逐步计算即可得解.‎ ‎【详解】当，时，进入循环；‎ ‎，，此时，进入循环；‎ ‎，，此时，进入循环；‎ ‎，，此时，进入循环；‎ ‎，，此时，进入循环；‎ ‎，，此时，进入循环；‎ ‎，，此时，输出.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的求解，属于基础题.‎ ‎11.2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士被选为第一医院工作的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，利用列举法，将所有情况列举出来，再利用古典概型求概率.‎ ‎【详解】解：根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有9种情况，如下：‎ 甲，甲，甲，乙，乙，乙，丙，丙，丙，‎ 而医生甲和护士被选为第一医院工作有1种情况，‎ 所以概率为：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查实际问题中古典概型求概率，理解题目是关键.‎ ‎12.已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，‎ 到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，‎ 当三点共线时取最小值．‎ 所以，解得，‎ 由内切圆的面积公式，解得．故选D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题)‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数的性质可得，代入运算即可得解.‎ ‎【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题.‎ ‎14.函数 的最小值是_________‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式可以得到，，从而可求函数的最小值.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，故，所以，‎ 所以当时，的最小值为，‎ ‎【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中，．‎ ‎15.已知长方体全部棱长和为，表面积为，则该长方体的外接球的表面积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设长方体的长、宽、高分别为、、，由题意可得，化简可得，由求出球的半径后，代入球的表面积公式即可得解.‎ ‎【详解】设长方体的长、宽、高分别为、、，‎ 由题意得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以该长方体外接球的半径,‎ 所以该长方体外接球的表面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了长方体的几何特征及其外接球表面积的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.‎ ‎16.已知三角形中，内角，，所对的边分别为，，，满足，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由余弦定理，角化边可得，再由三角形的内角和为，可得解.‎ ‎【详解】∵，∴，∴，‎ ‎∴，可得，∵，∴.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理的边角互化，属于基础题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．必做题：共60分．‎ ‎17.在等差数列中，，且、、成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列的公差不为，设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ），或；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由，，成等比数列,则,将的通项公式代入，可解出的公差,可得通项公式.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）有，然后分组求和即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设数列的公差为.因为，，成等比数列，所以，‎ 又，所以，即 解得或.‎ 当时，.‎ 当时，. ‎ ‎（Ⅱ）因为公差不为，由（Ⅰ）知，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式的求法和应用，用分组求和的方法求前项和，属于基础题.‎ ‎18.为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：‎ 并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：‎ 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 ‎40岁以下 ‎600‎ ‎40岁以上 ‎800‎ ‎1000‎ 总计 ‎1200‎ ‎（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；‎ ‎（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有99．9％的把握认为“‎ 愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）7.76年.（2）见解析，有99．9％的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率直方图，求出各组的频率，利用平均数公式，即可求解；‎ ‎（2）根据列联表数据关系补全列联表，求出对比参考数据，即可得出结论.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 该款手机的平均使用时间为7.76年.‎ ‎（2）‎ 愿意购买该款手机 不愿意购买该款手机 总计 ‎40岁以下 ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎40岁以上 ‎800‎ ‎200‎ ‎1000‎ 总计 ‎1200‎ ‎800‎ ‎2000‎ 可知有99．9％把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关．‎ ‎【点睛】本题考查由频率直方图求平均数，考查两个变量独立性检验，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面 平面，，， .‎ ‎(1)证明 ‎ ‎(2)设点在线段上，且，若的面积为，求四棱锥的体积 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面PAB，由此能证明PD⊥PB．‎ ‎（2）设AD＝‎2a，则AB＝BC＝AP＝a，PDa，，得为等腰三角形，利用推得面积，进而求出a＝2，由此能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．‎ ‎【详解】(1) 平面平面 ，‎ 平面，， ‎ 在中，，，‎ 由正弦定理可得： ，，∴PD⊥PA,又PA∩AB=A,‎ ‎∴ 平面，.‎ ‎(2)取的中点，连结， ，设AD＝‎2a，则AB＝BC＝AP＝a，PDa,则 ‎，∴为等腰三角形，且底边BC上的高为 ‎，的面积为. ‎ 的面积为，解得：，‎ 四梭锥的体积为 .‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20.已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据动圆P与圆M外切并且与圆N内切，得到，，从而得到，得到，从而求出椭圆的标准方程；（2）直线l斜率存在时，设，代入椭圆方程，得到，，表示出直线QA与直线QB 的斜率，根据，得到，的关系，得到直线所过的定点，再验证直线l斜率不存在时，也过该定点，从而证明直线过定点.‎ ‎【详解】（1）设动圆P的半径为r，‎ 因为动圆P与圆M外切，所以，‎ 因为动圆P与圆N内切，所以，‎ 则，‎ 由椭圆定义可知，曲线C是以为左、右焦点，长轴长为8的椭圆，‎ 设椭圆方程为，‎ 则，，故，‎ 所以曲线C的方程为.‎ ‎（2）①当直线l斜率存在时，设直线，，‎ 联立，‎ 得，‎ 设点，则，‎ ‎，‎ 所以，‎ 即，‎ 得.‎ 则，‎ 因为，所以.‎ 即，‎ 直线，‎ 所以直线l过定点.‎ ‎②当直线l斜率不存在时，设直线，且，‎ 则点 ‎，‎ 解得，‎ 所以直线也过定点.‎ 综上所述，直线l过定点.‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，椭圆的定义，求椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中直线过定点问题，属于中档题.‎ ‎21.已知函数. ‎ 求的最小值.‎ 若.求证：存在唯一的极大值点，且 ‎【答案】；证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，结合导函数值的正负研究函数的单调性进而可得结论；‎ 通过可知，记，利用函数存在唯一的极大值点，得出，另一方面可知.‎ ‎【详解】解： ，，‎ ‎.‎ 当时，，即函数在上单调递减；‎ 当时，，即函数在上单调递增.‎ ‎.‎ 由知， ‎ 设，则 ‎ 当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. ‎ 又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，. ‎ 因为，所以是的唯一极大值点 .‎ 由得，故 .‎ 由得 ，‎ 由，可知，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以.‎ 综上所述，存在唯一的极大值点，且.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，转化思想，属于难题.‎ 选做题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C极坐标方程；‎ ‎（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1，l2与曲线C的交点分别为O，M和O，N，求△OMN的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将曲线C的参数方程化为直角坐标方程，进而化为极坐标方程即可；‎ ‎（2）将直线l1，l2的极坐标方程分别与曲线C的极坐标方程联立，可求得的极坐标，进而可求得△OMN的面积.‎ ‎【详解】（1）由参数方程，可得普通方程为，‎ 由，，可得，‎ 所以曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（2）由直线l1：与曲线C交点为O，M，得.‎ 由直线l2：与曲线C的交点为O，N，得.‎ 易知，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的参数方程、圆的极坐标方程，考查三角形面积公式的应用，考查学生计算求解能力，属于基础题.‎ ‎23.己知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)分段讨论去绝对值可解得 ;‎ ‎(2)根据绝对值三角不等式可证.‎ ‎【详解】（1）解：，‎ 当时，由，得，解得.‎ 当时，由，得，此时无解.‎ 当时，由，得，解得.‎ 综上所述，的解集为.‎ ‎（2）证明：，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了分类讨论去绝对值解绝对值不等式,考查了绝对值三角不等式,属于基础题.‎