2020版高中数学 第二章2离散型随机变量的均值

2020版高中数学 第二章2离散型随机变量的均值

‎2.3.1　‎离散型随机变量的均值 学习目标　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．‎ 知识点一　离散型随机变量的均值 设有12个西瓜，其中4个重‎5 kg,3个重‎6 kg,5个重‎7 kg.‎ 思考1　任取1个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试问X可以取哪些值？‎ 答案　X＝5,6,7.‎ 思考2　X取上述值时，对应的概率分别是多少？‎ 答案　P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝.‎ 思考3　如何求每个西瓜的平均重量？‎ 答案　＝5×＋6×＋7×＝.‎ 梳理　(1)离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎(2)均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，‎ ‎①Y也是随机变量；‎ ‎②E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ 知识点二　两点分布、二项分布的均值 ‎1．两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p.‎ ‎2．二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.‎ ‎1．随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　×　)‎ 14‎ ‎2．随机变量的均值与样本的平均值相同．(　×　)‎ ‎3．若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　√　)‎ 类型一　离散型随机变量的均值 例1　袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值．‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 解　X的所有可能取值为5,6,7,8.X＝5时，表示取出1个红球3个白球，此时P(X＝5)＝＝；‎ X＝6时，表示取出2个红球2个白球，‎ 此时P(X＝6)＝＝；‎ X＝7时，表示取出3个红球1个白球，‎ 此时P(X＝7)＝＝；‎ X＝8时，表示取出4个红球，此时P(X＝8)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P 所以E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.‎ 反思与感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤 ‎(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．‎ ‎(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．‎ ‎(3)写出X的分布列．‎ ‎(4)利用均值的定义求E(X)．‎ 14‎ 跟踪训练1　现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)‎ A．1.18 B．3.55‎ C．1.23 D．2.38‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　A 解析　因为X的所有可能取值为1.2,1.18,1.17，‎ P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，‎ 所以X的分布列为 X ‎1.2‎ ‎1.18‎ ‎1.17‎ P 所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.‎ 例2　(1)设X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于(　　)‎ A．0.1 B．0.2‎ C．0.3 D．0.4‎ ‎(2)一次单元测试由20个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为________．‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 答案　(1)D　(2)90‎ 解析　(1)∵E(X)＝16，‎ ‎∴40p＝16，∴p＝0.4.故选D.‎ ‎(2)设该学生在这次测试中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则X～B(20,0.9)，Y＝5X.‎ 由二项分布的均值公式得E(X)＝20×0.9＝18.‎ 由随机变量均值的性质得E(Y)＝E(5X)＝5×18＝90.‎ 反思与感悟　(1)常见的两种分布的均值 14‎ 设p为一次试验中成功的概率，则 ‎①两点分布E(X)＝p；‎ ‎②二项分布E(X)＝np.‎ 熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．‎ ‎(2)两点分布与二项分布辨析 ‎①相同点：一次试验中要么发生要么不发生．‎ ‎②不同点：‎ a．随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值X＝0,1,2，…，n.‎ b．试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．‎ 跟踪训练2　根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．‎ ‎(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值．‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 解　设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p×(1－0.5)＝0.3，解得p＝0.6.‎ ‎(1)设所求概率为P1，则P1＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.‎ 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8.‎ ‎(2)每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 ‎(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2.‎ ‎∴X～B(100,0.2)，∴E(X)＝100×0.2＝20.‎ ‎∴X的均值是20.‎ 类型二　离散型随机变量均值的性质 例3　已知随机变量X的分布列为：‎ X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝________.‎ 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　离散型随机变量的均值性质的应用 答案　 解析　由随机变量分布列的性质，得 14‎ ＋＋＋m＋＝1，解得m＝，‎ ‎∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.‎ 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，‎ 即E(Y)＝－2×＝.‎ 引申探究 本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．‎ 解　E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，‎ 所以a＝15.‎ 反思与感悟　若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．‎ 跟踪训练3　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　)‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m n A. B. C. D. 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　离散型随机变量的均值性质的应用 答案　A 解析　因为η＝12ξ＋7，‎ 则E(η)＝12E(ξ)＋7，‎ 即E(η)＝12＋7＝34.‎ 所以‎2m＋3n＝，①‎ 又＋m＋n＋＝1，‎ 所以m＋n＝，②‎ 14‎ 由①②可解得m＝.‎ ‎1．已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 则X的均值E(X)等于(　　)‎ A. B．2‎ C. D．3‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　A 解析　E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　)‎ A．0 B. C．1 D．－1‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　A 解析　因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，‎ 所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.‎ ‎3．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P －p p 则E(ξ)的最大值为(　　)‎ A．1 B. C. D．2‎ 14‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　B 解析　由p≥0，－p≥0，得0≤p≤，则E(ξ)＝p＋1≤.故选B.‎ ‎4．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是(　　)‎ A．2×0.44 B．2×0.45‎ C．3×0.44 D．3×0.64‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 答案　C 解析　因为ξ～B(n,0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，‎ 故有0.6n＝3，解得n＝5.‎ 则P(ξ＝1)＝C×0.6×0.44＝3×0.44.‎ ‎5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1,2,3,4)个．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．‎ ‎(1)求ξ的分布列、均值；‎ ‎(2)若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值．‎ 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　离散型随机变量均值与其他知识点的综合 解　(1)ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.‎ ‎(2)E(η)＝aE(ξ)＋4＝1，又E(ξ)＝，‎ 则a×＋4＝1，∴a＝－2.‎ ‎1．求离散型随机变量均值的步骤：‎ ‎(1)确定离散型随机变量X的取值；‎ ‎(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；‎ ‎(3)根据公式写出均值．‎ 14‎ ‎2．若X，Y是两个随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值．‎ 一、选择题 ‎1．设15 000件产品中有1 000件废品，从中抽取150件进行检查，则查得废品数X的均值为(　　)‎ A．20 B．‎10 C．5 D．15‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 ‎ 答案　B 解析　废品率为，所以E(X)＝150×＝10.‎ ‎2．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值是(　　)‎ A．0.6 B．‎1 C．3.5 D．2‎ 考点　‎ 题点　‎ 答案　C 解析　抛掷骰子所得点数ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎∴E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5.‎ ‎3．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＋b等于(　　)‎ A．10 B．5‎ C. D. 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　离散型随机变量的均值性质的应用 答案　D 解析　易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(‎2a＋b)＋3×(‎3a＋b)＋4×(‎4a＋b)＝3，即‎30a＋10b 14‎ ‎＝3.①‎ 又(a＋b)＋(‎2a＋b)＋(‎3a＋b)＋(‎4a＋b)＝1，即‎10a＋4b＝1，②‎ 由①②，得a＝，b＝0.‎ ‎4．设ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)‎ A. B. C. D. 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　离散型随机变量的均值性质的应用 答案　D 解析　E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，‎ E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.‎ ‎5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则X的均值是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　A 解析　由题意得，P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝.‎ ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，故A正确．‎ ‎6．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值是(　　)‎ A．20 B．‎30 C．25 D．40‎ 考点　离散型随机变量均值的概念与计算 14‎ 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　C 解析　抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为＝，所以X～B，故E(X)＝80×＝25.‎ ‎7．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)等于(　　)‎ A．0.765 B．1.75‎ C．1.765 D．0.22‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　离散型随机变量均值的计算 答案　B 解析　P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.1×0.15‎ ‎＝0.015，‎ P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，‎ P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765.‎ ‎∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.‎ ‎8．在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的5名同学的投篮命中率分别为，，，，，每人均有10次投篮机会，至少投中6次才能晋级下一轮测试．假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有(　　)‎ A．1人 B．2人 C．3人 D．4人 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 答案　C 解析　5名同学投篮各10次，相当于各做了10次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为10×＝6,10×<6,10×>6,10×>6,10×<6，故晋级下一轮的大约有3人．‎ 二、填空题 ‎9．已知某一随机变量X的分布列如下表：‎ X ‎3‎ b ‎8‎ P ‎0.2‎ ‎0.5‎ a 14‎ 且E(X)＝6，则a＝________，b＝________.‎ 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　离散型随机变量的均值性质的应用 答案　0.3　6‎ 解析　由0.2＋0.5＋a＝1，得a＝0.3.又由E(X)＝3×0.2＋b×0.5＋8×a＝6，得b＝6.‎ ‎10．设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·k·300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 答案　100‎ 解析　由P(X＝k)＝C·k·300－k，‎ 可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.‎ ‎11．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率均为，则此人试验次数ξ的均值是________．‎ 考点　常见的几种均值 题点　相互独立事件的均值 答案　 解析　试验次数ξ的可能取值为1,2,3，‎ 则P(ξ＝1)＝，‎ P(ξ＝2)＝×＝，‎ P(ξ＝3)＝××＝.‎ 所以ξ的分布列为 ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.‎ 14‎ 三、解答题 ‎12．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．‎ 考点　常见的几种均值 题点　相互独立事件的均值 解　X的可能取值为1,2,3，‎ 则P(X＝1)＝，‎ P(X＝2)＝×＝，‎ P(X＝3)＝××1＝.‎ 所以抽取次数X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎13．在有奖摸彩中，一期(发行10 000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？‎ 考点　离散型随机变量的均值的概念与计算 题点　均值的计算 解　设一张彩票的中奖额为随机变量X，显然X的所有可能取值为0,5,25,100.依题意，可得X的分布列为 X ‎0‎ ‎5‎ ‎25‎ ‎100‎ P 所以E(X)＝0×＋5×＋25×＋100× ‎＝0.2，‎ 所以一张彩票的合理价格是0.2元．‎ 四、探究与拓展 14‎ ‎14．掷骰子游戏：规定掷出1点，甲盒中放一球，掷出2点或3点，乙盒中放一球，掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，共掷6次，用x，y，z分别表示掷完6次后甲、乙、丙盒中球的个数．令X＝x＋y，则E(X)＝________.‎ 考点　二项分布、两点分布的均值 题点　二项分布的均值 答案　3‎ 解析　将每一次掷骰子看作一次实验，实验的结果分丙盒中投入球(成功)或丙盒中不投入球(失败)两种，且丙盒中投入球(成功)的概率为，z表示6次实验中成功的次数，则z～B，‎ ‎∴E(z)＝3，又x＋y＋z＝6，‎ ‎∴X＝x＋y＝6－z，‎ ‎∴E(X)＝E(6－z)＝6－E(z)＝6－3＝3.‎ ‎15．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？‎ 考点　离散型随机变量的均值的性质 题点　均值在实际中的应用 解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这2人的累计得分X≤‎3”‎的事件为A，‎ 则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，‎ 因为P(X＝0)＝×＝，‎ P(X＝2)＝×＝，‎ P(X＝3)＝×＝，‎ 所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.‎ 14‎ ‎(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：‎ X1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P X2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P 所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.‎ 因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大．‎ 14‎