数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市宝清高中高二上学期第二次月考数学试卷(文科) (解析版)

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数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市宝清高中高二上学期第二次月考数学试卷(文科) (解析版)

‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高二(上)第二次月考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共11小题,每小题5分,满分55分)‎ ‎1.“a>0”是“|a|>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦,则此弦长为(  )‎ A. B.2 C.3 D.‎ ‎3.已知f(x)的导函数f'(x)图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是(  )‎ A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 ‎5.函数y=的单调减区间是(  )‎ A.(0,1) B.(0,1)∪(﹣∞,﹣1) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,+∞)‎ ‎6.函数f(x)=﹣(a<b<1),则(  )‎ A.f(a)=f(b) B.f(a)<f(b)‎ C.f(a)>f(b) D.f(a),f(b)大小关系不能确定 ‎7.若函数f(x)=x3﹣ax2﹣x+6在(0,1)上单调递减,则实数a取值范围是(  )‎ A.a=1 B.a≥1 C.a≤1 D.0<a<1‎ ‎8.已知抛物线:x2=﹣4y,直线l:x﹣y﹣1=0与抛物线交于A、B两点,则|AB|的长为(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎9.定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图象连续,当x≠0时,f′(x)+x﹣1f(x)>0,则函数g(x)=f(x)+x﹣1的零点的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.0 D.0或2‎ ‎10.已知函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<,则f(x)<+的解集为(  )‎ A.{x|﹣1<x<1} B.{x|x<﹣1} C.{x|x<﹣1或x>1} D.{x|x>1}‎ ‎11.已知p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,q:∃x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0,若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.﹣2≤a≤1 B.a≤﹣2或1≤a≤2 C.a≥﹣1 D.a=1或a≤﹣2‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎12.若函数f(x)=f′(1)x3﹣2x2+3,则f′(1)的值为  .‎ ‎13.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.则常数a=  .‎ ‎14.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知|AF|=4, =3,则p=  .‎ ‎15.已知函数f(x)的定义域[﹣1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示 x ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎﹣1‎ F(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎1‎ 下列关于函数f(x)的命题;‎ ‎①函数f(x)的值域为[1,2];‎ ‎②函数f(x)在[0,2]上是减函数 ‎③如果当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;‎ ‎④当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a最多有4个零点.‎ 其中正确命题的序号是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎16.已知函数f(x)=x3﹣3x2﹣9x+11.‎ ‎(1)写出函数的单调递减区间;‎ ‎(2)求函数的极值.‎ ‎17.已知直线l的参数方程:(t为参数)和圆C的极坐标方程:.‎ ‎(1)将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)判断直线l和圆C的位置关系.‎ ‎18.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在x=1处的切线为l:3x﹣y+1=0,当x=时,y=f(x)有极值.‎ ‎(1)求a、b、c的值;‎ ‎(2)求y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.‎ ‎19.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,且两个坐标系的坐标长度相同,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.‎ ‎(1)若直线l的斜率为﹣1,求直线l与曲线C交点的极坐标;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交弦长为2,求直线l的参数方程.‎ ‎20.已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点.‎ ‎(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;‎ ‎(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆长轴长的最大值.‎ ‎21.已知函数f(x)=4lnx﹣ax+(a≥0)‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当a≥1时,设g(x)=2ex﹣4x+2a,若存在x1,x2∈[,2],使f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围.(e为自然对数的底数,e=2.71828…)‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高二(上)第二次月考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共11小题,每小题5分,满分55分)‎ ‎1.“a>0”是“|a|>0”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件.‎ ‎【分析】本题主要是命题关系的理解,结合|a|>0就是{a|a≠0},利用充要条件的概念与集合的关系即可判断.‎ ‎【解答】解:∵a>0⇒|a|>0,|a|>0⇒a>0或a<0即|a|>0不能推出a>0,‎ ‎∴a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 故选A ‎ ‎ ‎2.过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦,则此弦长为(  )‎ A. B.2 C.3 D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】利用椭圆的标准方程即可得出c,进而得出弦AB的坐标及弦长.‎ ‎【解答】解:椭圆+=1,可得a2=4,b2=3,∴c==1.‎ 不妨取焦点F(1,0),过焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦为AB, +=1,解得y=±.‎ ‎∴弦长|AB|=2×=3.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎3.已知f(x)的导函数f'(x)图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围,进而根据当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间.‎ ‎【解答】解:x<﹣2时,f′(x)<0,则f(x)单减;‎ ‎﹣2<x<0时,f′(x)>0,则f(x)单增;‎ x>0时,f′(x)<0,则f(x)单减.‎ 则符合上述条件的只有选项A.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是(  )‎ A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定.‎ ‎【分析】‎ 分别求出两圆的圆心坐标和半径大小,利用两点的距离公式算出它们的圆心距为5,恰好等于两圆的半径之和,由此可得两圆相外切.‎ ‎【解答】解:∵x2+y2﹣6x﹣8y+9=0化成标准方程,得(x﹣3)2+(y﹣4)2=16,‎ ‎∴圆x2+y2﹣6x﹣8y+9=0的圆心为C1(3,4),半径r1=4.‎ 同理可得圆x2+y2=1的圆心为C2(0,0),半径r2=1.‎ ‎∵两圆的圆心距为|C1C2|==5,r1+r2=5,‎ ‎∴|C1C2|=r1+r2,可得两圆相外切.‎ 故选:C ‎ ‎ ‎5.函数y=的单调减区间是(  )‎ A.(0,1) B.(0,1)∪(﹣∞,﹣1) C.(﹣∞,1) D.(﹣∞,+∞)‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间.‎ ‎【分析】求出函数y的定义域,利用导函数研究其单调性即可.‎ ‎【解答】解:函数y=,其定义域为(0,+∞).‎ 那么:y′=x﹣,‎ 令y′=0,解得:x=1.‎ 当x∈(0,1)时,y′<0,那么函数y在x∈(0,1)上是单调性减函数.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.函数f(x)=﹣(a<b<1),则(  )‎ A.f(a)=f(b) B.f(a)<f(b)‎ C.f(a)>f(b) D.f(a),f(b)大小关系不能确定 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】先对函数进行求导数,再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案.‎ ‎【解答】解:∵,‎ f′(x)=﹣=‎ ‎∴当x<1时,f'(x)<0,即f(x)在区间(﹣∞,1)上单调递减,‎ 又∵a<b<1,‎ ‎∴f(a)>f(b)‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎7.若函数f(x)=x3﹣ax2﹣x+6在(0,1)上单调递减,则实数a取值范围是(  )‎ A.a=1 B.a≥1 C.a≤1 D.0<a<1‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】若函数f(x)=x3﹣ax2﹣x+6在(0,1)上单调递减,则f′(x)=3x2﹣2ax﹣1≤0,在(0,1)上恒成立,即a≥在(0,1)上恒成立,进而得到答案.‎ ‎【解答】解:∵函数f(x)=x3﹣ax2﹣x+6,‎ ‎∴f′(x)=3x2﹣2ax﹣1,‎ ‎∵函数f(x)=x3﹣ax2﹣x+6在(0,1)上单调递减,‎ ‎∴f′(x)=3x2﹣2ax﹣1≤0,在(0,1)上恒成立,‎ 即a≥在(0,1)上恒成立,‎ 令g(x)=,则g′(x)=>0在(0,1)上恒成立,‎ 故g(x)=在(0,1)上为增函数,‎ 由g(1)=1得:a≥1,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.已知抛物线:x2=﹣4y,直线l:x﹣y﹣1=0与抛物线交于A、B两点,则|AB|的长为(  )‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】x2=﹣4y且x﹣y﹣1=0,转化为二次方程,利用弦长公式求解.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2)‎ ‎∵抛物线:x2=﹣4y,直线l:x﹣y﹣1=0与抛物线交于A、B两点 ‎∴,化简得:x2+4x﹣4=0,‎ 根据韦达定理得:x1+x2=﹣4,x1x2=﹣4,‎ ‎∴|AB|=|x1﹣x2|==8,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎9.定义在R上的可导函数f(x),且f(x)图象连续,当x≠0时,f′(x)+x﹣1f(x)>0,则函数g(x)=f(x)+x﹣1的零点的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.0 D.0或2‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】由题意可得,进而可得函数xf(x)单调性,而函数的零点个数等价为函数y=xf(x)+1的零点个数,可得y=xf(x)+1>1,无零点.‎ ‎【解答】解:由f'(x)+x﹣1f(x)>0,得,‎ 当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,即[xf(x)]'>0,函数xf(x)单调递增;‎ 当x<0时,xf'(x)+f(x)<0,即[xf(x)]'<0,函数xf(x)单调递减.‎ 又,函数的零点个数等价为函数y=xf(x)+1的零点个数.‎ 当x>0时,y=xf(x)+1>1,当x<0时,y=xf(x)+1>1,所以函数y=xf(x)+1无零点,‎ 所以函数g(x)=f(x)+x﹣1的零点个数为0个.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.已知函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)<,则f(x)<+的解集为(  )‎ A.{x|﹣1<x<1} B.{x|x<﹣1} C.{x|x<﹣1或x>1} D.{x|x>1}‎ ‎【考点】函数单调性的性质;导数的运算;其他不等式的解法.‎ ‎【分析】先把不等式移项并设φ(x)=f(x)﹣﹣,然后求出导函数φ′(x)又因为函数,所以φ′(x)<0即φ(x)是减函数由f(1)=1求出φ(1)=0,根据函数是减函数得到的解集即可.‎ ‎【解答】解:,则,‎ ‎∴φ(x)在R上是减函数.‎ ‎,‎ ‎∴的解集为{x|x>1}.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎11.已知p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,q:∃x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0,若“p∧q”为真命题,则实数a的取值范围是(  )‎ A.﹣2≤a≤1 B.a≤﹣2或1≤a≤2 C.a≥﹣1 D.a=1或a≤﹣2‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】先根据二次函数的最小值,以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系求出p,q下的a的取值范围,然后根据p∧q为真命题知p,q都是真命题,所以求p,q下a的取值范围的交集即可.‎ ‎【解答】解:p:∀x∈[1,2],x2﹣a≥0,即:‎ a≤x2在x∈[1,2]上恒成立;‎ x2在[1,2]上的最小值为1;‎ ‎∴a≤1;‎ q:∃x0∈R,x02+2ax0+2﹣a=0,则:‎ 方程有解;‎ ‎∴△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得a≤﹣2,或a≥1;‎ 若“p∧q”为真命题,则p,q都是真命题;‎ ‎∴;‎ ‎∴a≤﹣2,或a=1;‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎12.若函数f(x)=f′(1)x3﹣2x2+3,则f′(1)的值为 2 .‎ ‎【考点】导数的运算.‎ ‎【分析】求出函数f(x)的导数,计算f′(1)的值即可.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=f′(1)x3﹣2x2+3,‎ ‎∴f′(x)=3f′(1)x2﹣4x,‎ ‎∴f′(1)=3f′(1)﹣4,解得:f′(1)=2,‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎13.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.则常数a=  .‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】求导后令极值点处导数为0即可求出a,b的值.‎ ‎【解答】解:f′(x)=+2bx+1,‎ 由题意知,f′(1)=f′(2)=0,‎ 即a+2b+1=0, +4b+1=0‎ 解得,a=,b=.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎14.直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且交抛物线于A,B两点,交其准线于C点,已知|AF|=4, =3,则p=  .‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出.‎ ‎【解答】解:过A,B分别作准线的垂线交准线于E,D.‎ ‎∵|AF|=4, =3,∴|AE|=4,|CB|=3|BF|,且|BF|=|BD|,‎ 设|BF|=|BD|=a,则|BC|=3a,‎ 根据三角形的相似性可得,即,解得a=2,‎ ‎∴,即=,‎ ‎∴p==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.已知函数f(x)的定义域[﹣1,5],部分对应值如表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示 x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ F(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎1‎ 下列关于函数f(x)的命题;‎ ‎①函数f(x)的值域为[1,2];‎ ‎②函数f(x)在[0,2]上是减函数 ‎③如果当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;‎ ‎④当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a最多有4个零点.‎ 其中正确命题的序号是 ①②④ .‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用;函数的单调性与导数的关系.‎ ‎【分析】由导函数的图象得出单调性和极值点,再由对应值表得出极值和最值,进而得出函数的值域,并画出图象.即可判断出答案.‎ ‎【解答】解:由f(x)的导函数y=f′(x)的图象可看出:如表格,‎ 由表格可知:函数f(x)在区间[﹣1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5]上单调递增.∴②正确.‎ ‎∴函数f(x)在x=0和x=4时,分别取得极大值,在x=2时取得极小值,且由对应值表f(0)=2,f(2)=1.5,‎ f(4)=2,又f(﹣1)=1,f(5)=1.‎ ‎∴函数f(x)的值域为[1,2].∴①正确.‎ 根据已知的对应值表及表格画出图象如下图:‎ ‎③根据以上知识可得:当x∈[﹣1,t]时,f(x)的最大值是2,则t=0,或4.故③不正确.‎ ‎④由图象可以看出:当1.5<a<2时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;当a=2时,函数y=f(x)﹣a有2个 ‎3零点;当a=1.5时,函数y=f(x)﹣a有3个零点;当1≤a<1.5时,函数y=f(x)﹣a有4个零点;‎ ‎∴当1<a<2时,函数y=f(x)﹣a最多有4个零点.故④正确.‎ 综上可知①②④正确.‎ 故答案为①②④.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎16.已知函数f(x)=x3﹣3x2﹣9x+11.‎ ‎(1)写出函数的单调递减区间;‎ ‎(2)求函数的极值.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)由f(x)=x3﹣3x2﹣9x+11,知f′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x+1)(x﹣3),由f′(x)=3(x+1)(x﹣3)<0,能求出函数f(x)的递减区间.‎ ‎(2)由f(x)=x3﹣3x2﹣9x+11,知f′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x+1)(x﹣3),由f′(x)=3(x+1)(x﹣3)=0,得x1=﹣1,x2=3.列表讨论,能求出函数f(x)的极大值和极小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=x3﹣3x2﹣9x+11,‎ ‎∴f′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x+1)(x﹣3),‎ 由f′(x)=3(x+1)(x﹣3)<0,得﹣1<x<3.‎ ‎∴函数f(x)的递减区间是(﹣1,3).‎ ‎(2)∵f(x)=x3﹣3x2﹣9x+11,‎ ‎∴f′(x)=3x2﹣6x﹣9=3(x+1)(x﹣3),‎ 由f′(x)=3(x+1)(x﹣3)=0,得x1=﹣1,x2=3.‎ 列表讨论:‎ ‎ x ‎ (﹣∞,﹣1)‎ ‎﹣1‎ ‎ (﹣1,3)‎ ‎ 3‎ ‎(3,+∞) ‎ ‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f(x)‎ 递增 ‎ 极大值 递减 ‎ 极小值 递增 ‎∴当x=﹣1时,函数取得极大值f(﹣1)=﹣1﹣3+9+11=16;‎ 当x=3时,函数取得极小值f(3)=27﹣27﹣27+11=﹣16.‎ ‎ ‎ ‎17.已知直线l的参数方程:(t为参数)和圆C的极坐标方程:.‎ ‎(1)将直线l的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)判断直线l和圆C的位置关系.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】(1)消去参数t,把直线l的参数方程化为普通方程,把圆C的极坐标方程化为普通方程即可;‎ ‎(2)根据圆心C到直线l的距离d与半径r的关系,判断直线和圆的位置关系.‎ ‎【解答】解:(1)消去参数t,把直线l的参数方程化为普通方程是 ‎2x﹣y=﹣3,‎ 即2x﹣y+3=0;‎ 圆C的极坐标方程为,‎ 化简得,ρ=2sinθcos+2cosθsin,‎ 即ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,‎ 化为普通方程是x2+y2=2y+2x,‎ ‎∴(x﹣1)2+(y﹣1)2=2;‎ ‎(2)圆心C(1,1)到直线l的距离为 d===>,‎ ‎∴d>r,‎ ‎∴直线l和圆C相离.‎ ‎ ‎ ‎18.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在x=1处的切线为l:3x﹣y+1=0,当x=时,y=f(x)有极值.‎ ‎(1)求a、b、c的值;‎ ‎(2)求y=f(x)在[﹣3,1]上的最大值和最小值.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(1)先对函数f(x)进行求导,根据f'(1)=3,f′=0,f(1)=4可求出a,b,c的值,得到答案.‎ ‎(2)由(1)可知函数f(x)的解析式,然后求导数后令导函数等于0,再根据导函数的正负判断函数在[﹣3,1]上的单调性,最后可求出最值.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b 当x=1时,切线l的斜率为3,可得2a+b=0.①‎ 当x=时,y=f(x)有极值,则f′=0,‎ 可得4a+3b+4=0.②‎ 由①、②解得a=2,b=﹣4.‎ 由于l上的切点的横坐标为x=1,‎ ‎∴f(1)=4.∴1+a+b+c=4.‎ ‎∴c=5.‎ ‎(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2﹣4x+5,‎ ‎∴f′(x)=3x2+4x﹣4.‎ 令f′(x)=0,得x=﹣2,或x=.‎ ‎∴f(x)在x=﹣2处取得极大值f(﹣2)=13.‎ 在x=处取得极小值f=.‎ 又f(﹣3)=8,f(1)=4.‎ ‎∴f(x)在[﹣3,1]上的最大值为13,最小值为.‎ ‎ ‎ ‎19.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合,且两个坐标系的坐标长度相同,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ.‎ ‎(1)若直线l的斜率为﹣1,求直线l与曲线C交点的极坐标;‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交弦长为2,求直线l的参数方程.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】本题(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程,求出它们交点的直角坐标,再化成极坐标;(2)利用直线与圆相交的弦长与弦心距的关系,求出直线的斜率,得到直线的普通方程,再将普通方程化成参数方程.‎ ‎【解答】解:(1)∵直线l的参数方程为(t为参数),直线l的斜率为﹣1,‎ ‎∴直线l的普通方程为y﹣1=﹣(x+1)即y=﹣x.‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ,‎ ‎∴ρ2=4ρcosθ,‎ ‎∵,‎ ‎∴x2+y2﹣4x=0.‎ 由 得:2x2﹣4x=0,‎ ‎∴直线l与曲线C交点的三角坐标为A(0,0),B(2,﹣2).‎ 由,‎ 得直线l与曲线C交点的极坐标为A(0,0),.‎ ‎(2)∵直线l的参数方程为(t为参数),‎ ‎∴直线l过定点(﹣1,1),‎ 设直线l的方程为y﹣1=k(x+1),(k存在)‎ 即kx﹣y+k+1=0.‎ 圆心C到直线l的距离为.‎ ‎∵直线l与曲线C相交弦长为2,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴k=0或.‎ ‎∴直线l的参数方程为或(t为参数).‎ ‎ ‎ ‎20.已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点.‎ ‎(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;‎ ‎(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率 时,求椭圆长轴长的最大值.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)运用离心率公式及a,b,c的关系,解得a,b,可得椭圆方程,将直线y=1﹣x代入椭圆方程,求交点,由两点的距离公式计算即可得到所求值;‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理,再由向量垂直的条件:数量积为0,运用离心率公式,可得a关于e的等式,化简整理,即可得到所求2a的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得,‎ 即有,则,‎ 即有椭圆的方程为,‎ 联立,消去y得:3x2﹣4x=0,‎ 解得,‎ 即有;‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由,可得,即x1x2+y1y2=0,‎ 由,消去y得(a2+b2)x2﹣2a2x+a2(1﹣b2)=0,‎ 由△=(﹣2a2)2﹣4a2(a2+b2)(1﹣b2)>0,‎ 整理得a2+b2>1,又,‎ y1y2=(﹣x1+1)(﹣x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,‎ 由x1x2+y1y2=0,得2x1x2﹣(x1+x2)+1=0,‎ 即为,‎ 整理得a2+b2﹣2a2b2=0,‎ b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2,代入上式得,‎ 即有,由,可得,‎ 则,即,‎ 即,可得,适合条件a2+b2>1,‎ 由此得,即,‎ 故长轴长的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=4lnx﹣ax+(a≥0)‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当a≥1时,设g(x)=2ex﹣4x+2a,若存在x1,x2∈[,2],使f(x1)>g(x2),求实数a的取值范围.(e为自然对数的底数,e=2.71828…)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先求函数f(x)的定义域、f′(x),然后解关于x的不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可.‎ ‎(Ⅱ)存在x1,x2∈[,2],使f(x1)>g(x2)可转化为在[,2]上f(x)的最大值大于g(x)的最小值,进而转化为求f(x)、g(x)在[,2]上的最大值、最小值问题.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).‎ f′(x)=,(x>0),令h(x)=﹣ax2+4x﹣(a+3),‎ ‎(1)当a=0时,h(x)=4x﹣3,令h(x)>0,得x,此时f′(x)>0;令h(x)<0,得0<x,此时f′(x)<0,∴f(x)的减区间为(0,]‎ ‎,增区间为[);‎ ‎(2)当a>0时,△=42﹣4(﹣a)[﹣(a+3)]=﹣4(a﹣1)(a+4),‎ ‎①若a≥1,则△≤0,∴h(x)≤0,f′(x)≤0,∴f(x)在区间(0,+∞)上单调递减.‎ ‎②若0<a<1,则△>0,,∴,,‎ 当x∈(0,x1)时,h(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x1,x2)时,h(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增,‎ 当x∈(x2,+∞)时,h(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减.‎ 综上,当a=0时,f(x)的减区间为(0,],增区间为[,+∞).‎ 当0<a<1时,f(x)的减区间为(0,),(,+∞);增区间为(,).‎ 当a≥1时,f(x)的减区间为(0,+∞).‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,当a≥1时,f(x)在[,2]上单调递减,∴f(x)在[,2]上的最大值为f()=﹣4ln2+,‎ g′(x)=2ex﹣4,令g′(x)=0,得x=ln2.当x∈[,ln2)时,g′(x)<0,∴g(x)单调递减,x∈(ln2,2]时,g′(x)>0,g(x)单调递增,‎ ‎∴g(x)在[,2]上的最小值为g(ln2)=4﹣4ln2+2a,‎ 由题意可知﹣4ln2++6>4﹣4ln2+2a,解得a<4,又a≥1,‎ 所以实数a的取值范围为[1,4).‎ ‎ ‎ ‎2017年1月20日
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