数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市宝清高中高二上学期第二次月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届黑龙江省双鸭山市宝清高中高二上学期第二次月考数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）‎ ‎1．“a＞0”是“|a|＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为（　　）‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎3．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0，那么这两个圆的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 ‎5．函数y=的单调减区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，1）∪（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎6．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（　　）‎ A．f（a）=f（b） B．f（a）＜f（b）‎ C．f（a）＞f（b） D．f（a），f（b）大小关系不能确定 ‎7．若函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+6在（0，1）上单调递减，则实数a取值范围是（　　）‎ A．a=1 B．a≥1 C．a≤1 D．0＜a＜1‎ ‎8．已知抛物线：x2=﹣4y，直线l：x﹣y﹣1=0与抛物线交于A、B两点，则|AB|的长为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎9．定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续，当x≠0时，f′（x）+x﹣1f（x）＞0，则函数g（x）=f（x）+x﹣1的零点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．0或2‎ ‎10．已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}‎ ‎11．已知p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣2≤a≤1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎12．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为　　．‎ ‎13．设x=1与x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点．则常数a=　　．‎ ‎14．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4， =3，则p=　　．‎ ‎15．已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示 x ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎﹣1‎ F（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎1‎ 下列关于函数f（x）的命题；‎ ‎①函数f（x）的值域为[1，2]；‎ ‎②函数f（x）在[0，2]上是减函数 ‎③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．‎ 其中正确命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎16．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11．‎ ‎（1）写出函数的单调递减区间；‎ ‎（2）求函数的极值．‎ ‎17．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．‎ ‎（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）判断直线l和圆C的位置关系．‎ ‎18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．‎ ‎（1）求a、b、c的值；‎ ‎（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．‎ ‎19．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的坐标长度相同，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（1）若直线l的斜率为﹣1，求直线l与曲线C交点的极坐标；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交弦长为2，求直线l的参数方程．‎ ‎20．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；‎ ‎（2）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值．‎ ‎21．已知函数f（x）=4lnx﹣ax+（a≥0）‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当a≥1时，设g（x）=2ex﹣4x+2a，若存在x1，x2∈[，2]，使f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e=2.71828…）‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年黑龙江省双鸭山市宝清高中高二（上）第二次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共11小题，每小题5分，满分55分）‎ ‎1．“a＞0”是“|a|＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件．‎ ‎【分析】本题主要是命题关系的理解，结合|a|＞0就是{a|a≠0}，利用充要条件的概念与集合的关系即可判断．‎ ‎【解答】解：∵a＞0⇒|a|＞0，|a|＞0⇒a＞0或a＜0即|a|＞0不能推出a＞0，‎ ‎∴a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件 故选A ‎　‎ ‎2．过椭圆+=1的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为（　　）‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的标准方程即可得出c，进而得出弦AB的坐标及弦长．‎ ‎【解答】解：椭圆+=1，可得a2=4，b2=3，∴c==1．‎ 不妨取焦点F（1，0），过焦点F作垂直于长轴的椭圆的弦为AB， +=1，解得y=±．‎ ‎∴弦长|AB|=2×=3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知f（x）的导函数f'（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．‎ ‎【解答】解：x＜﹣2时，f′（x）＜0，则f（x）单减；‎ ‎﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，则f（x）单增；‎ x＞0时，f′（x）＜0，则f（x）单减．‎ 则符合上述条件的只有选项A．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知两圆x2+y2=1和x2+y2﹣6x﹣8y+9=0，那么这两个圆的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】‎ 分别求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出它们的圆心距为5，恰好等于两圆的半径之和，由此可得两圆相外切．‎ ‎【解答】解：∵x2+y2﹣6x﹣8y+9=0化成标准方程，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，‎ ‎∴圆x2+y2﹣6x﹣8y+9=0的圆心为C1（3，4），半径r1=4．‎ 同理可得圆x2+y2=1的圆心为C2（0，0），半径r2=1．‎ ‎∵两圆的圆心距为|C1C2|==5，r1+r2=5，‎ ‎∴|C1C2|=r1+r2，可得两圆相外切．‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．函数y=的单调减区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，1）∪（﹣∞，﹣1） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，+∞）‎ ‎【考点】函数的单调性及单调区间．‎ ‎【分析】求出函数y的定义域，利用导函数研究其单调性即可．‎ ‎【解答】解：函数y=，其定义域为（0，+∞）．‎ 那么：y′=x﹣，‎ 令y′=0，解得：x=1．‎ 当x∈（0，1）时，y′＜0，那么函数y在x∈（0，1）上是单调性减函数．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=﹣（a＜b＜1），则（　　）‎ A．f（a）=f（b） B．f（a）＜f（b）‎ C．f（a）＞f（b） D．f（a），f（b）大小关系不能确定 ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先对函数进行求导数，再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ f′（x）=﹣=‎ ‎∴当x＜1时，f'（x）＜0，即f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，‎ 又∵a＜b＜1，‎ ‎∴f（a）＞f（b）‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．若函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+6在（0，1）上单调递减，则实数a取值范围是（　　）‎ A．a=1 B．a≥1 C．a≤1 D．0＜a＜1‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】若函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+6在（0，1）上单调递减，则f′（x）=3x2﹣2ax﹣1≤0，在（0，1）上恒成立，即a≥在（0，1）上恒成立，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+6，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣1，‎ ‎∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣x+6在（0，1）上单调递减，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣2ax﹣1≤0，在（0，1）上恒成立，‎ 即a≥在（0，1）上恒成立，‎ 令g（x）=，则g′（x）=＞0在（0，1）上恒成立，‎ 故g（x）=在（0，1）上为增函数，‎ 由g（1）=1得：a≥1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．已知抛物线：x2=﹣4y，直线l：x﹣y﹣1=0与抛物线交于A、B两点，则|AB|的长为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】x2=﹣4y且x﹣y﹣1=0，转化为二次方程，利用弦长公式求解．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∵抛物线：x2=﹣4y，直线l：x﹣y﹣1=0与抛物线交于A、B两点 ‎∴，化简得：x2+4x﹣4=0，‎ 根据韦达定理得：x1+x2=﹣4，x1x2=﹣4，‎ ‎∴|AB|=|x1﹣x2|==8，‎ 故选：C ‎　‎ ‎9．定义在R上的可导函数f（x），且f（x）图象连续，当x≠0时，f′（x）+x﹣1f（x）＞0，则函数g（x）=f（x）+x﹣1的零点的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．0 D．0或2‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】由题意可得，进而可得函数xf（x）单调性，而函数的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数，可得y=xf（x）+1＞1，无零点．‎ ‎【解答】解：由f'（x）+x﹣1f（x）＞0，得，‎ 当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，函数xf（x）单调递增；‎ 当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函数xf（x）单调递减．‎ 又，函数的零点个数等价为函数y=xf（x）+1的零点个数．‎ 当x＞0时，y=xf（x）+1＞1，当x＜0时，y=xf（x）+1＞1，所以函数y=xf（x）+1无零点，‎ 所以函数g（x）=f（x）+x﹣1的零点个数为0个．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（　　）‎ A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|x＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}‎ ‎【考点】函数单调性的性质；导数的运算；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】先把不等式移项并设φ（x）=f（x）﹣﹣，然后求出导函数φ′（x）又因为函数，所以φ′（x）＜0即φ（x）是减函数由f（1）=1求出φ（1）=0，根据函数是减函数得到的解集即可．‎ ‎【解答】解：，则，‎ ‎∴φ（x）在R上是减函数．‎ ‎，‎ ‎∴的解集为{x|x＞1}．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．已知p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，若“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．﹣2≤a≤1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥﹣1 D．a=1或a≤﹣2‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】先根据二次函数的最小值，以及一元二次方程的解的情况和判别式△的关系求出p，q下的a的取值范围，然后根据p∧q为真命题知p，q都是真命题，所以求p，q下a的取值范围的交集即可．‎ ‎【解答】解：p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，即：‎ a≤x2在x∈[1，2]上恒成立；‎ x2在[1，2]上的最小值为1；‎ ‎∴a≤1；‎ q：∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0，则：‎ 方程有解；‎ ‎∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；‎ 若“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题；‎ ‎∴；‎ ‎∴a≤﹣2，或a=1；‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎12．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为　2　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导数，计算f′（1）的值即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，‎ ‎∴f′（x）=3f′（1）x2﹣4x，‎ ‎∴f′（1）=3f′（1）﹣4，解得：f′（1）=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎13．设x=1与x=2是函数f（x）=alnx+bx2+x的两个极值点．则常数a=　　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求导后令极值点处导数为0即可求出a，b的值．‎ ‎【解答】解：f′（x）=+2bx+1，‎ 由题意知，f′（1）=f′（2）=0，‎ 即a+2b+1=0， +4b+1=0‎ 解得，a=，b=．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎14．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4， =3，则p=　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．‎ ‎【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．‎ ‎∵|AF|=4， =3，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，‎ 设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，‎ 根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，‎ ‎∴，即=，‎ ‎∴p==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示 x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ F（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎1‎ 下列关于函数f（x）的命题；‎ ‎①函数f（x）的值域为[1，2]；‎ ‎②函数f（x）在[0，2]上是减函数 ‎③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；‎ ‎④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．‎ 其中正确命题的序号是　①②④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】由导函数的图象得出单调性和极值点，再由对应值表得出极值和最值，进而得出函数的值域，并画出图象．即可判断出答案．‎ ‎【解答】解：由f（x）的导函数y=f′（x）的图象可看出：如表格，‎ 由表格可知：函数f（x）在区间[﹣1，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，4）上单调递增，在区间（4，5]上单调递增．∴②正确．‎ ‎∴函数f（x）在x=0和x=4时，分别取得极大值，在x=2时取得极小值，且由对应值表f（0）=2，f（2）=1.5，‎ f（4）=2，又f（﹣1）=1，f（5）=1．‎ ‎∴函数f（x）的值域为[1，2]．∴①正确．‎ 根据已知的对应值表及表格画出图象如下图：‎ ‎③根据以上知识可得：当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，则t=0，或4．故③不正确．‎ ‎④由图象可以看出：当1.5＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；当a=2时，函数y=f（x）﹣a有2个 ‎3零点；当a=1.5时，函数y=f（x）﹣a有3个零点；当1≤a＜1.5时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；‎ ‎∴当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a最多有4个零点．故④正确．‎ 综上可知①②④正确．‎ 故答案为①②④．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎16．已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11．‎ ‎（1）写出函数的单调递减区间；‎ ‎（2）求函数的极值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）由f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，知f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）＜0，能求出函数f（x）的递减区间．‎ ‎（2）由f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，知f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）=0，得x1=﹣1，x2=3．列表讨论，能求出函数f（x）的极大值和极小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），‎ 由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）＜0，得﹣1＜x＜3．‎ ‎∴函数f（x）的递减区间是（﹣1，3）．‎ ‎（2）∵f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11，‎ ‎∴f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），‎ 由f′（x）=3（x+1）（x﹣3）=0，得x1=﹣1，x2=3．‎ 列表讨论：‎ ‎ x ‎ （﹣∞，﹣1）‎ ‎﹣1‎ ‎ （﹣1，3）‎ ‎ 3‎ ‎（3，+∞） ‎ ‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎ 0‎ ‎﹣‎ ‎ 0‎ ‎+‎ ‎ f（x）‎ 递增 ‎ 极大值 递减 ‎ 极小值 递增 ‎∴当x=﹣1时，函数取得极大值f（﹣1）=﹣1﹣3+9+11=16；‎ 当x=3时，函数取得极小值f（3）=27﹣27﹣27+11=﹣16．‎ ‎　‎ ‎17．已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：．‎ ‎（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）判断直线l和圆C的位置关系．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，把圆C的极坐标方程化为普通方程即可；‎ ‎（2）根据圆心C到直线l的距离d与半径r的关系，判断直线和圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程是 ‎2x﹣y=﹣3，‎ 即2x﹣y+3=0；‎ 圆C的极坐标方程为，‎ 化简得，ρ=2sinθcos+2cosθsin，‎ 即ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，‎ 化为普通方程是x2+y2=2y+2x，‎ ‎∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；‎ ‎（2）圆心C（1，1）到直线l的距离为 d===＞，‎ ‎∴d＞r，‎ ‎∴直线l和圆C相离．‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在x=1处的切线为l：3x﹣y+1=0，当x=时，y=f（x）有极值．‎ ‎（1）求a、b、c的值；‎ ‎（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=3，f′=0，f（1）=4可求出a，b，c的值，得到答案．‎ ‎（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，然后求导数后令导函数等于0，再根据导函数的正负判断函数在[﹣3，1]上的单调性，最后可求出最值．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得 f′（x）=3x2+2ax+b 当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①‎ 当x=时，y=f（x）有极值，则f′=0，‎ 可得4a+3b+4=0．②‎ 由①、②解得a=2，b=﹣4．‎ 由于l上的切点的横坐标为x=1，‎ ‎∴f（1）=4．∴1+a+b+c=4．‎ ‎∴c=5．‎ ‎（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，‎ ‎∴f′（x）=3x2+4x﹣4．‎ 令f′（x）=0，得x=﹣2，或x=．‎ ‎∴f（x）在x=﹣2处取得极大值f（﹣2）=13．‎ 在x=处取得极小值f=．‎ 又f（﹣3）=8，f（1）=4．‎ ‎∴f（x）在[﹣3，1]上的最大值为13，最小值为．‎ ‎　‎ ‎19．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的坐标长度相同，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．‎ ‎（1）若直线l的斜率为﹣1，求直线l与曲线C交点的极坐标；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交弦长为2，求直线l的参数方程．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】本题（1）将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l的参数方程化成普通方程，求出它们交点的直角坐标，再化成极坐标；（2）利用直线与圆相交的弦长与弦心距的关系，求出直线的斜率，得到直线的普通方程，再将普通方程化成参数方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），直线l的斜率为﹣1，‎ ‎∴直线l的普通方程为y﹣1=﹣（x+1）即y=﹣x．‎ ‎∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，‎ ‎∴ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∵，‎ ‎∴x2+y2﹣4x=0．‎ 由 得：2x2﹣4x=0，‎ ‎∴直线l与曲线C交点的三角坐标为A（0，0），B（2，﹣2）．‎ 由，‎ 得直线l与曲线C交点的极坐标为A（0，0），．‎ ‎（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），‎ ‎∴直线l过定点（﹣1，1），‎ 设直线l的方程为y﹣1=k（x+1），（k存在）‎ 即kx﹣y+k+1=0．‎ 圆心C到直线l的距离为．‎ ‎∵直线l与曲线C相交弦长为2，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴k=0或．‎ ‎∴直线l的参数方程为或（t为参数）．‎ ‎　‎ ‎20．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点．‎ ‎（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；‎ ‎（2）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆长轴长的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）运用离心率公式及a，b，c的关系，解得a，b，可得椭圆方程，将直线y=1﹣x代入椭圆方程，求交点，由两点的距离公式计算即可得到所求值；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，再由向量垂直的条件：数量积为0，运用离心率公式，可得a关于e的等式，化简整理，即可得到所求2a的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得，‎ 即有，则，‎ 即有椭圆的方程为，‎ 联立，消去y得：3x2﹣4x=0，‎ 解得，‎ 即有；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，可得，即x1x2+y1y2=0，‎ 由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，‎ 由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，‎ 整理得a2+b2＞1，又，‎ y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2+（x1+x2）+1，‎ 由x1x2+y1y2=0，得2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，‎ 即为，‎ 整理得a2+b2﹣2a2b2=0，‎ b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得，‎ 即有，由，可得，‎ 则，即，‎ 即，可得，适合条件a2+b2＞1，‎ 由此得，即，‎ 故长轴长的最大值为．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=4lnx﹣ax+（a≥0）‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当a≥1时，设g（x）=2ex﹣4x+2a，若存在x1，x2∈[，2]，使f（x1）＞g（x2），求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数，e=2.71828…）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求函数f（x）的定义域、f′（x），然后解关于x的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．‎ ‎（Ⅱ）存在x1，x2∈[，2]，使f（x1）＞g（x2）可转化为在[，2]上f（x）的最大值大于g（x）的最小值，进而转化为求f（x）、g（x）在[，2]上的最大值、最小值问题．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．‎ f′（x）=，（x＞0），令h（x）=﹣ax2+4x﹣（a+3），‎ ‎（1）当a=0时，h（x）=4x﹣3，令h（x）＞0，得x，此时f′（x）＞0；令h（x）＜0，得0＜x，此时f′（x）＜0，∴f（x）的减区间为（0，]‎ ‎，增区间为[）；‎ ‎（2）当a＞0时，△=42﹣4（﹣a）[﹣（a+3）]=﹣4（a﹣1）（a+4），‎ ‎①若a≥1，则△≤0，∴h（x）≤0，f′（x）≤0，∴f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．‎ ‎②若0＜a＜1，则△＞0，，∴，，‎ 当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，x2）时，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 当x∈（x2，+∞）时，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．‎ 综上，当a=0时，f（x）的减区间为（0，]，增区间为[，+∞）．‎ 当0＜a＜1时，f（x）的减区间为（0，），（，+∞）；增区间为（，）．‎ 当a≥1时，f（x）的减区间为（0，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a≥1时，f（x）在[，2]上单调递减，∴f（x）在[，2]上的最大值为f（）=﹣4ln2+，‎ g′（x）=2ex﹣4，令g′（x）=0，得x=ln2．当x∈[，ln2）时，g′（x）＜0，∴g（x）单调递减，x∈（ln2，2]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，‎ ‎∴g（x）在[，2]上的最小值为g（ln2）=4﹣4ln2+2a，‎ 由题意可知﹣4ln2++6＞4﹣4ln2+2a，解得a＜4，又a≥1，‎ 所以实数a的取值范围为[1，4）．‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日