高中数学第7章（第19课时）圆的方程2

高中数学第7章（第19课时）圆的方程2

课 题：7.6圆的方程（二）‎ 教学目的：‎ ‎1.掌握圆的一般方程及一般方程的特点；‎ ‎2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，进而求出圆心和半径；‎ ‎3.能用待定系数法由已知条件导出圆的方程；‎ ‎4．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新、勇于探索 ‎ 教学重点：圆的一般方程的形式特征 教学难点：对圆的一般方程的认识 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线）‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： ‎ 遵循从特殊到一般的原则，在学习圆的标准方程的基础上，再过渡到学圆的一般也就不难，它们可以通过形式上的互相转化而解决 直线与圆的位置关系（尤其是圆的切线） 由于圆的一般方程中含有三个参变数D、E、F，对它的理解带来一定的困难，因而本节的难点是对圆的一般方程的认识、掌握和运用 突破难点的关键是抓住一般方程的特点，把握住求圆的方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 本节为第二课时讲解圆的一般方程 ‎ 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 ‎2．求曲线方程的一般步骤为：‎ ‎（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；‎ ‎（2）写出适合条件P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程)‎ ‎（3）用坐标表示条件P（M），列出方程;‎ ‎（4）化方程为最简形式；‎ ‎（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)‎ ‎3．建立圆的标准方程的步骤：建系设点；写点集；列方程；化简方程 ‎ ‎4. 圆的标准方程 ：圆心为，半径为，‎ 若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是 ‎5．圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径 圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要三个量确定了且＞0，圆的方程就给定了 这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件 确定，可以根据条件，利用待定系数法来解决 二、讲解新课：‎ 圆的一般方程： 将圆的标准方程的展开式为：‎ 取得 ‎ ①‎ 再将上方程配方，得 ‎ ②‎ 不难看出，此方程与圆的标准方程的关系 ‎（1）当时，表示以（-，-）为圆心,为半径的圆；‎ ‎（2）当时，方程只有实数解，，即只表示一个点（-，-）;‎ ‎（3）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程表示的曲线不一定是圆 ‎ 只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如的表示圆的方程称为圆的一般方程 圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方程突出了方程形式上的特点：‎ ‎（1）和的系数相同，且不等于0；‎ ‎（2）没有这样的二次项 但要注意：以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条 ‎ 看来，要想求出圆的一般方程，只要根据已知条件确定三个系数就可以了 三、讲解范例：‎ 例1求过三点的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 ‎ 解：设所求的圆的方程为：‎ ‎∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组，‎ 即 解此方程组，可得：‎ ‎∴所求圆的方程为：‎ ‎；‎ 得圆心坐标为（4，-3）.‎ 或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3) ‎ 例2 已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线 分析：在求出曲线方程之前，很难确定曲线类型，所以应按照求曲线方程的一般步骤先将曲线方程求出 解：在给定的坐标系里，设点是曲线上的任意一点，也就是点属于集合 即,‎ 整理得：‎ 所求曲线方程即为：‎ 将其左边配方，得 ‎∴此曲线是以点C（-1，0）为圆心，2为半径的圆.如右上图所示 ‎ 例3求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程 解：设经过两已知圆的交点的圆的方程为 ‎ 则其圆心坐标为 ‎∵所求圆的圆心在直线上，‎ ‎∴‎ ‎∴所求圆的方程为 说明：此题也可先求出两圆的交点，然后用待定系数法求出圆的方程 例4 如图，已知定点A(2，0)，点Q是圆上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程 解：由三角形的内角平分线性质，得，∴.‎ 设M、Q的坐标分别为、，则 ‎∵Q在圆上，∴＝１，‎ ‎∴‎ ‎∴动点M的轨迹方程为 说明：注意三角形内角平分线性质的应用.‎ 四、课堂练习：课堂练习 ‎1.下列方程各表示什么图形？‎ ‎（1）; ‎ 解：此方程表示一个点O（0，0）‎ ‎（2）;‎ 解：可化为: ‎ ‎∴此方程表示以点（1，-2）为圆心，为半径的圆 ‎（3）‎ 解：可化为：，‎ ‎∴此方程表示以(-,0)为圆心，为半径的圆 ‎2.求下列各圆的半径和圆的坐标：‎ ‎(1) 答案：即，圆心为（3，0），半径为3‎ ‎(2) 答案：即，圆心为（0，-b），半径为｜b|‎ ‎（3）‎ 答案：即，圆心为(, ),半径为｜｜‎ 五、小结 ：‎ ‎1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆) ‎ ‎2．方程表示一个圆的充要条件 ‎3．与标准方程的互化 ‎ ‎4．用待定系数法求圆的方程 ‎ ‎5．圆与圆的位置关系 六、课后作业：‎ 补充：若实数x、y满足等式 ，那么的最大值为( ) A. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ‎ 解：∵实数满足，‎ ‎∵()是圆上的点，记为P，‎ ‎∵是直线OP的斜率，记为 ‎ ‎∴OP:,代入圆方程，消去，得 直线OP与圆有公共点的充要条件是≥0,‎ ‎∴，所以，选Ｄ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎