2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

等比数列的概念与通项公式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 等差数列的通项公式 ‎1. 掌握等差数列的通项公式；‎ ‎2. 能运用通项公式解决一些简单问题；‎ ‎3. 了解等差数列与一次函数的关系 填空题 选择题 等差数列是最简单最基础的数列，也是以后知识的基础，应认真体会求通项的方法，同时也是求和的一种重要方法 二、重难点提示 重点：等差数列通项公式的应用。‎ 难点：灵活运用通项公式、性质解决问题。‎ 考点一：等差数列的通项公式 ‎（1）通项公式：。‎ ‎（2）公式的推导：由，可知：‎ ‎。‎ 将它们相加得，即 ‎（3）等差中项公式：成等差数列，则叫做与的等差中项，且。‎ ‎【核心突破】‎ ‎1. 从函数角度研究等差数列{an}‎ an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d）是关于n的一次函数的形式，其定义域为N*，其图象是直线y＝dx＋（a1－d）上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率。‎ ‎2. 利用等差数列的通项公式可以判断一个数是不是该数列中的项；由可知，只要知道中三个便可求另一个，即“知三求一”。不过有时候利用可以快速地求出。‎ ‎3. 注意通项公式的推导方法——迭加法，除此，还可以用迭代法。即 因为{an}是等差数列，所以有：‎ an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d，‎ 所以an＝a1＋（n－1）d（n∈N*），‎ 这也是两种求和方法。‎ 考点二：等差数列的性质 ‎1. 在等差数列{an}中，设m、n、p、q均为正整数，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap。‎ 注意：设m、n、p、q、k、r均为正整数，若m＋n＋k＝p＋q＋r，则am＋an＝ap＋aq＋‎ 3‎ ar；特别地，若m＋n＋k＝3p，则am＋an＋ak＝3ap。‎ ‎2. 若数列{an}是公差为d的等差数列，那么ak，ak＋m，ak＋‎2m，ak＋‎3m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md，即等间隔抽取的子数列也是等差数列。‎ ‎3. 数列为常数）仍为等差数列。‎ ‎4. 若和均为等差数列，则也为等差数列。‎ ‎5. 的公差为，则为递增数列；‎ 为递减数列；为常数列。‎ 利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程更为简洁。‎ 考点三：判断等差数列的方法 判断一个数列为等差数列的常用方法：‎ ‎（1）定义法：（常数）为等差数列。‎ ‎（2）中项法：为等差数列。‎ ‎（3）通项法：为的一次函数为等差数列。‎ ‎（4）求和法：为等差数列（其中为的前项和）。‎ 注意：‎ 在解答题中判断等差数列用（1）或（2），不能用（3）和（4）。‎ ‎【规律总结】 ‎ ‎1. 等差数列的设项方法 ‎（1）通项法：设数列的通项公式，即设；‎ ‎（2）对称设：当等差数列的项数为奇数项时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：…，，，，，，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为，，再以为公差向两边分别设项：…，，，，，…‎ ‎2. 构造辅助数列求通项 观察递推数列的结构特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列问题。常用方法有：平方法、开平方法、倒数法等。‎ 例题1（等差数列的通项公式）‎ 已知等差数列6，3，0，…。‎ ‎（1）试求此数列的第100项；‎ ‎（2）－30和－40是不是这个数列的项？若是，是第几项？若不是说明理由。‎ 思路分析：等差数列→首项、公差→通项公式→列方程→解方程，判断。‎ 答案：（1）设此数列为{an}，则首项a1＝6，公差d＝3－6＝－3，‎ ‎∴数列的通项公式为an＝6＋（n－1）×（－3）＝－3n＋9，‎ ‎∴a100＝－3×100＋9＝－291；‎ ‎（2）如果－30是这个数列中的项，‎ 则方程－30＝－3n＋9有正整数解，‎ 解这个方程得n＝13，因此－30是这个数列的第13项；‎ 3‎ 如果－40是这个数列中的项，‎ 则方程－40＝－3n＋9有正整数解，‎ 解这个方程得n＝，因此－40不是这个数列中的项。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键。‎ ‎2. 数列的通项公式是数列的核心，是解决数列问题的关键，特别是求数列中的某一项，判断某一数值是否是数列中的项等，都需确定通项公式。‎ ‎3. 当判断某一数值a是否是数列{an}中的项时，只需令an＝a，若解得n为正整数，则a是数列{an}中的项，否则不是数列{an}中的项。‎ 例题2（等差数列性质的应用）‎ 已知等差数列{an}的公差是正数，并且a‎3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式。‎ 思路分析：先由等差数列的性质求a3，a7的值，再列方程组解a1，d。‎ 答案：由等差数列{an}的性质知：a3＋a7＝a4＋a6，从而a‎3a7＝－12，a3＋a7＝－4，故a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的两根，又d＞0，解之得a3＝－6，a7＝2，再解方程组解得则an＝a1＋（n－1）d＝－10＋（n－1）×2＝2n－12，即an＝2n－12。‎ 技巧点拨：本题中利用等差数列的性质转换已知条件，使解题过程简捷灵活。‎ 等差数列的性质运用错误 ‎【满分训练】设数列{an}是等差数列，a2＝4，a4＝10，求a6。‎ ‎【错解】　∵{an}是等差数列，‎ ‎∴a6＝a2＋a4，∴a6＝4＋10＝14。‎ ‎【错因分析】　在等差数列中，若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq，即必须是两项相加等于另两项相加，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap，如a2＋a4＝‎2a3成立，但a2＋a4＝a6却不一定成立。‎ ‎【防范措施】　注意对等差数列性质的理解与记忆，对性质：当m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*）时，am＋an＝ap＋aq，不能误认为“若m＝p＋q则am＝ap＋aq”。‎ ‎【正解】　∵a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝10，‎ 两式相减得2d＝6，∴d＝3，a1＝1，‎ ‎∴a6＝a1＋5d＝1＋5×3＝16。‎ 3‎