2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

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2020高中数学 第2章 数列等比数列的概念与通项公式

等比数列的概念与通项公式 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 等差数列的通项公式 ‎1. 掌握等差数列的通项公式;‎ ‎2. 能运用通项公式解决一些简单问题;‎ ‎3. 了解等差数列与一次函数的关系 填空题 选择题 等差数列是最简单最基础的数列,也是以后知识的基础,应认真体会求通项的方法,同时也是求和的一种重要方法 二、重难点提示 重点:等差数列通项公式的应用。‎ 难点:灵活运用通项公式、性质解决问题。‎ 考点一:等差数列的通项公式 ‎(1)通项公式:。‎ ‎(2)公式的推导:由,可知:‎ ‎。‎ 将它们相加得,即 ‎(3)等差中项公式:成等差数列,则叫做与的等差中项,且。‎ ‎【核心突破】‎ ‎1. 从函数角度研究等差数列{an}‎ an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是关于n的一次函数的形式,其定义域为N*,其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,其中公差d是该直线的斜率。‎ ‎2. 利用等差数列的通项公式可以判断一个数是不是该数列中的项;由可知,只要知道中三个便可求另一个,即“知三求一”。不过有时候利用可以快速地求出。‎ ‎3. 注意通项公式的推导方法——迭加法,除此,还可以用迭代法。即 因为{an}是等差数列,所以有:‎ an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+d+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d,‎ 所以an=a1+(n-1)d(n∈N*),‎ 这也是两种求和方法。‎ 考点二:等差数列的性质 ‎1. 在等差数列{an}中,设m、n、p、q均为正整数,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq;特别地,若m+n=2p,则am+an=2ap。‎ 注意:设m、n、p、q、k、r均为正整数,若m+n+k=p+q+r,则am+an=ap+aq+‎ 3‎ ar;特别地,若m+n+k=3p,则am+an+ak=3ap。‎ ‎2. 若数列{an}是公差为d的等差数列,那么ak,ak+m,ak+‎2m,ak+‎3m,…组成的数列仍为等差数列,公差为md,即等间隔抽取的子数列也是等差数列。‎ ‎3. 数列为常数)仍为等差数列。‎ ‎4. 若和均为等差数列,则也为等差数列。‎ ‎5. 的公差为,则为递增数列;‎ 为递减数列;为常数列。‎ 利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程更为简洁。‎ 考点三:判断等差数列的方法 判断一个数列为等差数列的常用方法:‎ ‎(1)定义法:(常数)为等差数列。‎ ‎(2)中项法:为等差数列。‎ ‎(3)通项法:为的一次函数为等差数列。‎ ‎(4)求和法:为等差数列(其中为的前项和)。‎ 注意:‎ 在解答题中判断等差数列用(1)或(2),不能用(3)和(4)。‎ ‎【规律总结】 ‎ ‎1. 等差数列的设项方法 ‎(1)通项法:设数列的通项公式,即设;‎ ‎(2)对称设:当等差数列的项数为奇数项时,可设中间一项为,再以公差为向两边分别设项:…,,,,,,…;当项数为偶数项时,可设中间两项为,,再以为公差向两边分别设项:…,,,,,…‎ ‎2. 构造辅助数列求通项 观察递推数列的结构特征,构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列问题。常用方法有:平方法、开平方法、倒数法等。‎ 例题1(等差数列的通项公式)‎ 已知等差数列6,3,0,…。‎ ‎(1)试求此数列的第100项;‎ ‎(2)-30和-40是不是这个数列的项?若是,是第几项?若不是说明理由。‎ 思路分析:等差数列→首项、公差→通项公式→列方程→解方程,判断。‎ 答案:(1)设此数列为{an},则首项a1=6,公差d=3-6=-3,‎ ‎∴数列的通项公式为an=6+(n-1)×(-3)=-3n+9,‎ ‎∴a100=-3×100+9=-291;‎ ‎(2)如果-30是这个数列中的项,‎ 则方程-30=-3n+9有正整数解,‎ 解这个方程得n=13,因此-30是这个数列的第13项;‎ 3‎ 如果-40是这个数列中的项,‎ 则方程-40=-3n+9有正整数解,‎ 解这个方程得n=,因此-40不是这个数列中的项。‎ 技巧点拨:‎ ‎1. 求出数列{an}的通项公式是解决本题的关键。‎ ‎2. 数列的通项公式是数列的核心,是解决数列问题的关键,特别是求数列中的某一项,判断某一数值是否是数列中的项等,都需确定通项公式。‎ ‎3. 当判断某一数值a是否是数列{an}中的项时,只需令an=a,若解得n为正整数,则a是数列{an}中的项,否则不是数列{an}中的项。‎ 例题2(等差数列性质的应用)‎ 已知等差数列{an}的公差是正数,并且a‎3a7=-12,a4+a6=-4,求数列{an}的通项公式。‎ 思路分析:先由等差数列的性质求a3,a7的值,再列方程组解a1,d。‎ 答案:由等差数列{an}的性质知:a3+a7=a4+a6,从而a‎3a7=-12,a3+a7=-4,故a3,a7是方程x2+4x-12=0的两根,又d>0,解之得a3=-6,a7=2,再解方程组解得则an=a1+(n-1)d=-10+(n-1)×2=2n-12,即an=2n-12。‎ 技巧点拨:本题中利用等差数列的性质转换已知条件,使解题过程简捷灵活。‎ 等差数列的性质运用错误 ‎【满分训练】设数列{an}是等差数列,a2=4,a4=10,求a6。‎ ‎【错解】 ∵{an}是等差数列,‎ ‎∴a6=a2+a4,∴a6=4+10=14。‎ ‎【错因分析】 在等差数列中,若m+n=p+q,m,n,p,q∈N*,则am+an=ap+aq,即必须是两项相加等于另两项相加,若m+n=2p,则am+an=2ap,如a2+a4=‎2a3成立,但a2+a4=a6却不一定成立。‎ ‎【防范措施】 注意对等差数列性质的理解与记忆,对性质:当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)时,am+an=ap+aq,不能误认为“若m=p+q则am=ap+aq”。‎ ‎【正解】 ∵a2=a1+d=4,a4=a1+3d=10,‎ 两式相减得2d=6,∴d=3,a1=1,‎ ‎∴a6=a1+5d=1+5×3=16。‎ 3‎
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