2020年高中数学第六章推理与证明6

2020年高中数学第六章推理与证明6

‎6.3　数学归纳法(一)‎ ‎1．若命题A(n)(n∈N*)在n＝k(k∈N*)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有 ‎(　　)‎ A．命题对所有正整数都成立 B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确 答案　C 解析　由已知得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在 n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.‎ ‎2．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a2n＋1＝(a≠1)”．在验证n＝1时，左端计算所得项为 ‎(　　)‎ A．1＋a B．1＋a＋a2‎ C．1＋a＋a2＋a3 D．1＋a＋a2＋a3＋a4‎ 答案　C 解析　将n＝1代入a2n＋1得a3，故选C.‎ ‎3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N*，等式都成立．上述证明的错误是________．‎ 答案　未用归纳假设 解析　本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符．‎ ‎4．当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋，‎ ‎(1)求S1，S2，T1，T2；‎ ‎(2)猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．‎ 2‎ 解　(1)∵当n∈N*时，Sn＝1－＋－＋…＋－，Tn＝＋＋＋…＋.‎ ‎∴S1＝1－＝，S2＝1－＋－＝，‎ T1＝＝，T2＝＋＝.‎ ‎(2)猜想Sn＝Tn(n∈N*)，即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋(n∈N*)．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n＝1时，已证S1＝T1，‎ ‎②假设n＝k时，Sk＝Tk(k≥1，k∈N*)，‎ 即1－＋－＋…＋－＝＋＋＋…＋，‎ 则Sk＋1＝Sk＋－＝Tk＋－ ‎＝＋＋＋…＋＋－ ‎＝＋＋…＋＋＋ ‎＝＋＋…＋＋ ‎＝Tk＋1.‎ 由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．‎ 在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：‎ ‎(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；‎ ‎(2)递推是关键：正确分析由n＝k到n＝k＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；‎ ‎(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.‎ 2‎