2020高中数学 第三章变化率问题

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2020高中数学 第三章变化率问题

‎3.1.1 ‎变化率问题 ‎3.1.2 ‎导数的概念 学习目标:1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系.(易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.函数的平均变化率 ‎(1)定义式:=.‎ ‎(2)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.‎ ‎(3)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.‎ ‎(4)几何意义:已知P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率=表示割线P1P2的斜率.‎ 思考:Δx,Δy的取值一定是正数吗?‎ ‎[提示] Δx≠0,Δy∈P.‎ ‎2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 ‎(1)定义式: = .‎ ‎(2)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.‎ ‎(3)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.‎ ‎3.函数f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= =.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)Δy表示f(x2)-f(x1),Δy的值可正可负也可以为零. (  )‎ ‎(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1,x2]上变化快慢的物理量.‎ ‎ (  )‎ ‎(3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0. (  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)×‎ ‎2.已知函数f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为(  )‎ A.0.40   B.‎0.41 ‎  C.0.43   D.0.44‎ B [Δy=f(2+Δx)-f(2)=2.12-4=0.41.]‎ ‎3.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为(  ) ‎ 6‎ ‎【导学号:97792121】‎ A.0.41    B.‎3 ‎   C.4    D.4.1‎ D [Δ===4.1.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的平均变化率 ‎ (1)若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则=(  )‎ A.4  B.4x   C.4+2Δx D.4+2(Δx)2‎ ‎(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图311,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为__________.‎ 图311‎ ‎(3)球的半径从1增加到2时,球的体积平均膨胀率为__________.‎ ‎[解] (1)Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-(2×12-1)‎ ‎=2(Δx)2+4Δx ‎∴=2Δx+4,故选C.‎ ‎(2)由题意知,=kOA,=kAB,=kBC.‎ 根据图象知<<.‎ ‎(3)Δv=π×23-π×13=π.‎ ‎∴=π.‎ ‎[答案] (1)C (2)<< (3)π ‎[规律方法] 求函数y=f(x)从x0到x的 平均变化率的步骤 ‎(1)求自变量的增量Δx=x-x0.‎ ‎(2)求函数的增量Δy=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0).‎ ‎(3)求平均变化率=.‎ 6‎ 提醒:Δx,Δy的值可正,可负,但Δx≠0,Δy可为零,若函数f(x)为常值函数,则Δy=0.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为________,当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值为________.‎ ‎(2)已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则=________.‎ ‎(1)6x0+3Δx 12.3 (2)-Δx+3 [(1)函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 ‎= ‎= ‎=6x0+3Δx.‎ 当x0=2,Δx=0.1时,‎ 函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.‎ ‎(2)∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)‎ ‎=-(-1+Δx)2+(-1+Δx)-[-(-1)2+(-1)]‎ ‎=-(Δx)2+3Δx,‎ ‎∴= ‎=-Δx+3.]‎ 求瞬时速度 ‎ 若一物体的运动方程为s=(路程单位:m,时间单位:s).求:‎ ‎(1)物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度;‎ ‎(2)物体在t=1 s时的瞬时速度.‎ ‎[思路探究] (1)先求Δs,再根据=求解.‎ ‎(2)先求,再求 .‎ ‎[解] (1)因为Δs=3×52+2-(3×32+2)=48(m),Δt=2 s,所以物体在t=3 s到t=5 s这段时间内的平均速度为==24(m/s).‎ 6‎ ‎(2)因为Δs=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2=[3(Δt)2-12Δt](m),‎ 所以==3Δt-12(m/s),‎ 则物体在t=1 s时的瞬时速度为 = (3Δt-12)=-12(m/s).‎ ‎[规律方法] 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 ‎(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).‎ ‎(2)求平均速度=.‎ ‎(3)求瞬时速度,当Δt无限趋近于0时,无限趋近于常数v,即为瞬时速度.‎ ‎2.求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 ‎(1)在极限表达式中,可把Δx作为一个数来参与运算.‎ ‎(2)求出的表达式后,Δx无限趋近于0就是令Δx=0,求出结果即可.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.质点M按规律s=2t2+3作直线运动(位移单位:cm,时间单位:s).求质点M在t=2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度. ‎ ‎【导学号:97792122】‎ ‎[解] v= ‎= = (2Δt+8)=8(cm/s),‎ == ‎=8(cm/s).‎ 求函数在某点处的导数 ‎[探究问题]‎ 求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同?‎ 提示:根据函数在某点处的导数的定义知,两者步骤完全相同.‎ ‎ (1)函数y=在x=1处的导数为__________.‎ ‎(2)如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,‎ ‎①当t1=4,Δt=0.01时,求Δy和比值;‎ ‎②求t1=4时的导数.‎ 6‎ ‎[思路探究] (1)→→ ‎(2)①→ ‎②→→ ‎[解析] (1)Δy=-1,‎ ==,‎ =,‎ 所以y′|x=1=.‎ ‎[答案]  ‎(2)①Δy=f(t1+Δt)-f(t1)=3t·Δt+3t1·(Δt)2+(Δt)3,故当t1=4,Δt=0.01时,Δy=0.481 201,=48.120 1.‎ ‎② = [3t+3t1·Δt+(Δt)2]=3t=48,‎ 故函数y=t3+3在t1=4处的导数是48,‎ 即y′|t1=4=48.‎ ‎[规律方法] ‎ 求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称:一差、二比、三极限.‎ 提醒:当对取极限时,一定要把变形到当Δx→0时,分母是一个非零常数的形式.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3.求函数y=x-在x=1处的导数.‎ 6‎ ‎[解] ∵Δy=(1+Δx)--=Δx+,‎ ‎∴==1+.‎ 当Δx→0时,→2,∴f′(1)=2,‎ 即函数y=x-在x=1处的导数为2.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及邻近一点(1+Δx,-2+Δy),则等于(  )‎ A.4       B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2‎ C [===4+2Δx.]‎ ‎2.一质点的运动方程是s=4-2t2,则在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为(  )‎ A.2Δt+4 B.-2Δt-4‎ C.4 D.-2Δt2-4Δt B [===-2Δt-4.]‎ ‎3.一质点按规律s(t)=2t2运动,则在t=2时的瞬时速度为__________. ‎ ‎【导学号:97792123】‎ ‎8 [s(2+Δt)-s(2)=2(2+Δt)2-2×22‎ ‎=2(Δt)2+8Δt.‎ ‎∴ = = (2Δt+8)=8.]‎ ‎4.设f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a=________.‎ ‎2 [f′(1)= = =a,又∵f′(1)=2,∴a=2.]‎ ‎5.求函数y=2x2+4x在x=3处的导数.‎ ‎[解] Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,‎ ‎∴==2Δx+16.‎ y′|x=3= = (2Δx+16)=16.‎ 6‎
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