2020高中数学 第三章变化率问题

2020高中数学 第三章变化率问题

‎3.1.1　‎变化率问题 ‎3.1.2　‎导数的概念 学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．函数的平均变化率 ‎(1)定义式：＝.‎ ‎(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．‎ ‎(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．‎ ‎(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．‎ 思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？‎ ‎[提示]　Δx≠0，Δy∈P.‎ ‎2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ‎(1)定义式： ＝ .‎ ‎(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．‎ ‎(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．‎ ‎3．函数f(x)在x＝x0处的导数 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零． (　　)‎ ‎(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．‎ ‎ (　　)‎ ‎(3)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0. (　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×‎ ‎2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)‎ A．0.40　　　B．‎0.41　‎　　C．0.43　　　D．0.44‎ B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]‎ ‎3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为(　　) ‎ 6‎ ‎【导学号：97792121】‎ A．0.41　　　　B．‎3　‎　　　C．4　　　　D．4.1‎ D　[Δ＝＝＝4.1.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的平均变化率 ‎　(1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝(　　)‎ A．4　　B．4x　　　C．4＋2Δx　D．4＋2(Δx)2‎ ‎(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图311，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．‎ 图311‎ ‎(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．‎ ‎[解]　(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)‎ ‎＝2(Δx)2＋4Δx ‎∴＝2Δx＋4，故选C.‎ ‎(2)由题意知，＝kOA，＝kAB，＝kBC.‎ 根据图象知<<.‎ ‎(3)Δv＝π×23－π×13＝π.‎ ‎∴＝π.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)<<　(3)π ‎[规律方法]　求函数y＝f(x)从x0到x的 平均变化率的步骤 ‎(1)求自变量的增量Δx＝x－x0.‎ ‎(2)求函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．‎ ‎(3)求平均变化率＝.‎ 6‎ 提醒：Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．‎ ‎(2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝________.‎ ‎(1)6x0＋3Δx　12.3　(2)－Δx＋3　[(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ‎＝ ‎＝ ‎＝6x0＋3Δx.‎ 当x0＝2，Δx＝0.1时，‎ 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.‎ ‎(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)‎ ‎＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]‎ ‎＝－(Δx)2＋3Δx，‎ ‎∴＝ ‎＝－Δx＋3.]‎ 求瞬时速度 ‎　若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：‎ ‎(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度；‎ ‎(2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．‎ ‎[思路探究]　(1)先求Δs，再根据＝求解．‎ ‎(2)先求，再求 .‎ ‎[解]　(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2 s，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．‎ 6‎ ‎(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，‎ 所以＝＝3Δt－12(m/s)，‎ 则物体在t＝1 s时的瞬时速度为 ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)．‎ ‎[规律方法]　1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 ‎(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．‎ ‎(2)求平均速度＝.‎ ‎(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．‎ ‎2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 ‎(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．‎ ‎(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．质点M按规律s＝2t2＋3作直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．求质点M在t＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度. ‎ ‎【导学号：97792122】‎ ‎[解]　v＝ ‎＝ ＝ (2Δt＋8)＝8(cm/s)，‎ ＝＝ ‎＝8(cm/s)．‎ 求函数在某点处的导数 ‎[探究问题]‎ 求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？‎ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．‎ ‎　(1)函数y＝在x＝1处的导数为__________．‎ ‎(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3，‎ ‎①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；‎ ‎②求t1＝4时的导数．‎ 6‎ ‎[思路探究]　(1)→→ ‎(2)①→ ‎②→→ ‎[解析]　(1)Δy＝－1，‎ ＝＝，‎ ＝，‎ 所以y′|x＝1＝.‎ ‎[答案]　 ‎(2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t·Δt＋3t1·(Δt)2＋(Δt)3，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481 201，＝48.120 1.‎ ‎② ＝ [3t＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t＝48，‎ 故函数y＝t3＋3在t1＝4处的导数是48，‎ 即y′|t1＝4＝48.‎ ‎[规律方法]　‎ 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限．‎ 提醒：当对取极限时，一定要把变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式．‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎3．求函数y＝x－在x＝1处的导数．‎ 6‎ ‎[解]　∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，‎ ‎∴＝＝1＋.‎ 当Δx→0时，→2，∴f′(1)＝2，‎ 即函数y＝x－在x＝1处的导数为2.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)‎ A．4　　　　　　 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2‎ C　[＝＝＝4＋2Δx.]‎ ‎2．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　)‎ A．2Δt＋4 B．－2Δt－4‎ C．4 D．－2Δt2－4Δt B　[＝＝＝－2Δt－4.]‎ ‎3．一质点按规律s(t)＝2t2运动，则在t＝2时的瞬时速度为__________. ‎ ‎【导学号：97792123】‎ ‎8　[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22‎ ‎＝2(Δt)2＋8Δt.‎ ‎∴ ＝ ＝ (2Δt＋8)＝8.]‎ ‎4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.‎ ‎2　[f′(1)＝ ＝ ＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]‎ ‎5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．‎ ‎[解]　Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，‎ ‎∴＝＝2Δx＋16.‎ y′|x＝3＝ ＝ (2Δx＋16)＝16.‎ 6‎