高中数学选修2-2课时提升作业(五) 1_3_1

高中数学选修2-2课时提升作业(五) 1_3_1

温馨提示：‎ ‎ 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。‎ 课时提升作业(五)‎ 函数的单调性与导数 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ ‎1.函数y=x+cosx在(-∞，+∞)内是(　　)‎ A.增函数 B.减函数 C.有增有减 D.不能确定 ‎【解析】选A.因为y′=1-sinx≥0恒成立，故选A.‎ ‎2.函数y=x3-x导数的单调递增区间为(　　)‎ A.(0，+∞)‎ B.(-∞，-1)‎ C.‎ D.和 ‎【解析】选A.由y=x3-x得y′=3x2-1，令g(x)=3x2-1，则g′(x)=6x.‎ 由6x>0得x>0，所以函数g(x)=3x2-1的递增区间为(0，+∞).‎ ‎3.函数y=ax2+c在区间(0，+∞)内单调递增，则a和c应满足(　　)‎ A.a<0，且c=0 B.a>0，且c是任意实数 C.a<0，且c≠0 D.a<0，且c是任意实数 ‎【解析】选B.因为y′=2ax，且函数y=ax2+c在(0，+∞)上单调递增，所以2ax>0，所以a>0且c∈R.‎ ‎【变式训练】函数y=ax3-x在R上是减函数，则(　　)‎ A.a≥　　 B.a=‎1　‎　 C.a=2　 　D.a≤0‎ ‎【解析】选D.因为y′=3ax2-1，函数y=ax3-x在(-∞，+∞)上是减函数，所以 y′=3ax2-1≤0恒成立，当x=0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；‎ 当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.综上可得a≤0.‎ ‎4.(2014·深圳高二检测)如图是函数y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)‎ A.在区间(-2，1)上f(x)是增函数 B.在区间(1，3)上f(x)是减函数 C.在区间(4，5)上f(x)是增函数 D.在区间(3，5)上f(x)是增函数 ‎【解析】选C.由图象可知，在区间(4，5)上，f′(x)>0，所以f(x)在(4，5)上是增函数，故选C.‎ ‎5.对于R上可导的任意函数，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有(　　)‎ A.f(0)+f(2)<‎2f(1) B.f(0)+f(2)>‎2f(1)‎ C.f(0)+f(2)≥‎2f(1) D.f(0)+f(2)≤‎2f(1)‎ ‎【解析】选C.x≥1时f′(x)≥0；x≤1时f′(x)≤0.所以f(1)最小，f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，故选C.‎ ‎6.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为(　　)‎ A. B.(-∞，-1)‎ C. D.(-∞，-1)∪(2，+∞)‎ ‎【解析】选B.令t=x2-x-2，‎ t′=2x-1<0，x<，‎ 又因为x2-x-2>0，x>2或x<-1，‎ y=lnt是增函数.‎ 综上可知，y=ln(x2-x-2)的递减区间为(-∞，-1).‎ 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎7.函数f(x)=x-sinx，x∈[0，2π]，则其单调递增区间为__________.‎ ‎【解析】令f′(x)=-cosx>0，则cosx<，其单调递增区间为.‎ 答案：‎ ‎8.若函数f(x)=x-+在(1，+∞)上是增函数，则实数p的取值范围是__________.‎ ‎【解题指南】可求出函数的导数，令导数在(1，+∞)上大于等于0恒成立即可得到参数p满足的不等式，解出其范围即可.‎ ‎【解析】由题意，f′(x)=1+，由于函数在(1，+∞)上是增函数，所以f′(x)=1+≥0在(1，+∞)上恒成立且不恒为0，故有≥-1在(1，+∞)上恒成立，即p≥-x2在(1，+∞)上恒成立，所以p≥-1.‎ 答案：p≥-1‎ ‎9.函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5，5)，则f(x)的单调递增区间为________.‎ ‎【解题指南】解答本题可由单调递减区间求出a的值，进而再求f(x)的单调递增区间.‎ ‎【解析】f′(x)=3x2+a，又(-5，5)是f(x)的减区间，所以-5，5是方程3x2‎ ‎+a=0的根，故a=-75.此时f′(x)=3x2-75，令f′(x)>0，则3x2-75>0，解得x<-5或x>5.‎ 答案：(-∞，-5)和(5，+∞)‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎10.(2014·吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：‎ ‎①f(x)在(-∞，-1)上是增函数，在(-1，0)上是减函数；‎ ‎②f(x)的导函数是偶函数；‎ ‎③f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直.‎ 求函数y=f(x)的解析式.‎ ‎【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c，‎ 因为f(x)在(-∞，-1)上是增函数，在(-1，0)上是减函数，‎ 所以f′(-1)=‎3a-2b+c=0. ①‎ 由f(x)的导函数是偶函数得：b=0，　 ②‎ 又f(x)在x=0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f′(0)=c=-1，‎ ‎　 ③‎ 由①②③得：a=，b=0，c=-1，即f(x)=x3-x+3.‎ ‎11.(2014·北京高二检测)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).‎ ‎(1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ ‎【解题指南】(1)求出f′(1)，再代入点斜式方程即可得到切线方程.(2)由k讨论f′(x)的正负，从而确定单调区间.‎ ‎【解析】(1)当k=2时，f(x)=ln(1+x)-x+x2，‎ f′(x)=-1+2x，‎ 由于f(1)=ln2，f′(1)=，‎ 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y-ln2=(x-1)，‎ 即3x-2y+2ln2-3=0.‎ ‎(2)f′(x)=-1+kx=，x∈(-1，+∞).‎ 当k=0时，f′(x)=-.‎ 所以，在区间(-1，0)上，f′(x)>0；‎ 在区间(0，+∞)上，f′(x)<0，‎ 故f(x)的单调递增区间是(-1，0)，单调递减区间是(0，+∞).‎ 当00，‎ 所以，在区间(-1，0)和上，f′(x)>0；‎ 在区间上，f′(x)<0，‎ 故f(x)的单调递增区间是(-1，0)和，单调递减区间是.‎ 当k=1时，f′(x)=，‎ 故f(x)的单调递增区间是(-1，+∞).‎ 当k>1时，f′(x)==0，‎ 得x1=∈(-1，0)，x2=0.‎ 所以在区间和(0，+∞)上，f′(x)>0；‎ 在区间上，f′(x)<0，‎ 故f(x)的单调递增区间是和(0，+∞)，单调递减区间是.‎ 一、选择题(每小题4分，共16分)‎ ‎1.(2014·青岛高二检测)已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是(　　)‎ ‎【解析】选C.由函数y=xf′(x)的图象可知，当x<-1时，xf′(x)<0，所以 f′(x)>0，所以f(x)在(-∞，-1)上是增函数，同理可得f(x)在(-1，1)上是减函数，在(1，+∞)上是增函数.‎ ‎2.函数f(x)=-(af(b)‎ D.f(a)，f(b)大小关系不能确定 ‎【解析】选C.f′(x)=-=<0时x<1，‎ 所以f(x)在(-∞，1)上为减函数，又a‎0”‎是“函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数”的(　　)‎ A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解题指南】求出导数，由题意求出a的范围，利用充要条件的判断方法，判断即可.‎ ‎【解析】选B.函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数，所以f′(x)=3x2+a≥0，所以a≥0，显然，若a>0则有函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数，若a=0函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数，所以“a>0”是“函数f(x)=x3+ax在区间(0，+∞)上是增函数”的充分而不必要条件.故选B.‎ ‎4.(2014·德州高二检测)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(2)=0，当x>0时有<0，则不等式x2·f(x)>0的解集是(　　)‎ A.(-2，0)∪(2，+∞) B.(-∞，-2)∪(0，2)‎ C.(-2，0)∪(0，2) D.(-2，2)∪(2，+∞)‎ ‎【解题指南】首先根据商函数求导法则，把<0化为′<0；然后利用导函数的正负性，可判断函数y=在(0，+∞)内单调递减；再由f(2)=0，易得f(x)在(0，+∞)内的正负性；最后结合奇函数的图象特征，可得f(x)在(-∞，0)内的正负性.则x‎2f(x)>0⇔f(x)>0的解集即可求得.‎ ‎【解析】选B.因为当x>0时，有<0恒成立，即′<0恒成立，所以函数y=在(0，+∞)内单调递减.‎ 因为f(2)=0，所以在(0，2)内恒有f(x)>0；在(2，+∞)内恒有f(x)<0.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以在(-∞，-2)内恒有f(x)>0；在(-2，0)内恒有f(x)<0.又不等式x‎2f(x)>0的解集，即不等式f(x)>0的解集.所以答案为 ‎(-∞，-2)∪(0，2).故选B.‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5.已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a∈R)，且f(x)在[-3，-2)上是增函数，则实数a的取值范围是________.‎ ‎【解析】求导函数，可得f′(x)=2ax-，‎ 由题意得f′(x)≥0对一切x∈[-3，-2)恒成立，‎ 所以a≤=，‎ 当x∈[-3，-2)时，-+<-6，‎ 所以>-.‎ 故a≤-.‎ 答案：‎ ‎【拓展延伸】求参数取值范围的注意点 ‎(1)在某个区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在这个区间上是单调递增的(或单调递减的).‎ ‎(2)由f(x)在这个区间上是单调递增的(或单调递减的)仅仅得到f′(x)>0(或 f′(x)<0)是不全面的，即还有可能f′(x)=0，也能使得f(x)在这个区间上具有单调性.‎ ‎6.函数f(x)=的单调递减区间是________.‎ ‎【解析】函数的定义域为{x|x≠2}.‎ f′(x)==，‎ 令f′(x)<0，解得x<3，且x≠2，所以递减区间为(-∞，2)和(2，3).‎ 答案：(-∞，2)和(2，3)‎ 三、解答题(每小题12分，共24分)‎ ‎7.求函数f(x)=x+(a>0)的单调区间.‎ ‎【解析】函数的定义域为{x|x≠0}.‎ 当a>0时，f′(x)=1-=，‎ 令f′(x)>0，解得x<-或x>.‎ 令f′(x)<0，解得-‎0”‎这个条件，该如何解答?‎ ‎【解析】函数的定义域为{x|x≠0}.‎ 当a>0时，f′(x)=1-=.‎ 令f′(x)>0，解得x<-或x>.‎ 令f′(x)<0，解得-0恒成立，所以函数f(x)只有增区间(-∞，0)和(0，‎ ‎+∞).‎ 综上，当a>0时，函数f(x)的递增区间是(-∞，-)和(，+∞)；递减区间是(-，0)和(0，)；‎ 当a≤0时，函数f(x)的递增区间是(-∞，0)和(0，+∞).‎ ‎8.(2013·湖南高考)已知函数f(x)=ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间.‎ ‎(2)证明：当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，x1+x2<0.‎ ‎【解题指南】第(1)小题解题依据是在定义域下不等式f′(x)>0的解集是原函数的增区间，不等式f′(x)<0的解集是原函数的减区间.第(2)小题首先要确定在什么范围下f(x1)=f(x2)，然后再构造新函数利用单调性去证明.‎ ‎【解析】(1)函数f(x)的定义域是(-∞，+∞)，‎ f′(x)=′ex+ex ‎=ex ‎=ex.‎ 当x<0时，f′(x)>0；‎ 当x>0时，f′(x)<0.‎ 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，‎ 单调递减区间为(0，+∞).‎ ‎(2)当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；‎ 同理，当x>1时，f(x)<0.‎ 当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1

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