2020版高中数学 第1章 解三角形1.1.1 正弦定理

2020版高中数学 第1章 解三角形1.1.1 正弦定理

‎1.1.1　‎正弦定理 ‎1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)‎ ‎2.会判断三角形的形状.(难点)‎ ‎3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理1　正弦定理 ‎ 阅读教材P3～P4例1以上内容，完成下列问题.‎ 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)正弦定理不适用于钝角三角形.(　　)‎ ‎(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立.(　　)‎ ‎(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则三角形是等腰三角形.(　　)‎ ‎【解析】　(1)×.正弦定理适用于任意三角形.‎ ‎(2)√.由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.‎ ‎(3)√.由正弦定理可知＝，即a＝b，所以三角形为等腰三角形.‎ ‎【答案】　(1)×　(2)√　(3)√‎ 教材整理2　解三角形 阅读教材P4例1～P5例2，完成下列问题.‎ ‎1.一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.‎ 7‎ ‎2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.‎ ‎1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________.‎ ‎【解析】　由正弦定理得：＝，‎ 所以AC＝＝2.‎ ‎【答案】　2 ‎2.在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C＝________.‎ ‎【解析】　由正弦定理得：＝，‎ 所以sin B＝.‎ 又a>b，所以∠A>∠B，‎ 所以∠B＝，‎ 所以∠C＝π－＝.‎ ‎【答案】　 ‎3.在△ABC中，∠A＝45°，c＝2，则AC边上的高等于________.‎ ‎【解析】　AC边上的高为ABsin A＝csin A＝2sin 45°＝.‎ ‎【答案】　 ‎[小组合作型]‎ 已知两角及一边解三角形 ‎　(1)在△ABC中，c＝，∠A＝75°，∠B＝60°，则b等于(　　)‎ A.　 B. C. D. ‎(2)在△ABC中，已知BC＝12，∠A＝60°，∠B＝45°，则AC＝________.‎ ‎【导学号：18082000】‎ ‎【精彩点拨】　(1)可先由角A、B求出角C，然后利用正弦定理求b；‎ 7‎ ‎(2)直接利用正弦定理求解.‎ ‎【自主解答】　(1)因为∠A＝75°，∠B＝60°，所以∠C＝180°－75°－60°＝45°.‎ 因为c＝，根据正弦定理得＝，‎ 所以b＝＝＝.‎ ‎(2)由正弦定理知：＝，‎ 则＝，‎ 解得AC＝4.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)4 解决已知两角及一边类型的三角形解题方法：‎ (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.‎ (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边 ‎[再练一题]‎ ‎1.在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.‎ ‎【解析】　∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.‎ ‎【答案】　2‎ 已知两边及一边的对角解三角形 ‎　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知∠A＝60°，a＝4，b＝4，则∠B＝________.‎ ‎(2)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，∠A＝30°，求∠B，∠C和c.‎ ‎【精彩点拨】　(1)由正弦定理的特点，直接求解.注意三角形解的个数问题.‎ ‎(2)先利用正弦定理求角B，再利用内角和定理求解，由正弦定理求边c.‎ ‎【自主解答】　(1)由正弦定理，得＝.把∠A＝60°，a＝4，b＝4 7‎ ‎，代入，解得sin B＝，∴B＝45°或135°，∵b＜a，∴∠B＜∠A，又∵∠A＝60°，∴0°＜∠B＜60°，∴∠B＝45°.‎ ‎【答案】　45°‎ ‎(2)由正弦定理得sin B＝＝＝，又a＝2，b＝6，aa，∴∠C >∠A，∴∠A＝，‎ ‎∴∠B＝，b＝＝＝＋1.‎ ‎[探究共研型]‎ 正弦定理的主要功能 探究1　已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理.‎ 7‎ ‎【提示】　如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，‎ ‎∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，‎ 即＝2R，同理＝2R，＝2R，‎ 所以＝＝＝2R.‎ 探究2　根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？‎ ‎【提示】　利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；‎ ‎(2)已知两角和其中一角的对边解三角形.‎ 探究3　由＝＝可以得到a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？‎ ‎【提示】　(1)＝，＝，＝.‎ ‎(2)＝，＝，＝.‎ ‎(3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.‎ ‎　在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C，试判断△ABC的形状.‎ ‎【精彩点拨】　解决本题的关键是利用sin A＝，sin B＝，sin C＝把sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sin A＝2sin Bcos C求解.‎ ‎【自主解答】　法一：根据正弦定理，得＝＝，‎ ‎∵sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C，∴a2＝b2＋c2，‎ ‎∴∠A是直角，∠B＋∠C＝90°，‎ ‎∴2sin Bcos C＝2sin Bcos(90°－B)＝2sin2B＝sin A＝1，‎ ‎∴sin B＝.‎ ‎∵0°<∠B<90°，∴∠B＝45°，∠C＝45°，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形.‎ 法二：根据正弦定理，‎ 得＝＝，‎ ‎∵sin‎2A＝sin2B＋sin‎2C，‎ 7‎ ‎∴a2＝b2＋c2，∴∠A是直角.‎ ‎∵∠A＝180°－(∠B＋∠C)，sin A＝2sin Bcos C，‎ ‎∴sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，‎ ‎∴sin(B－C)＝0.‎ 又－90°<∠B－∠C<90°，‎ ‎∴∠B－∠C＝0，∴∠B＝∠C，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形.‎ ‎1.判断三角形的形状应看该三角形是否为某些特殊的三角形，如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.‎ ‎2.已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可以考虑用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系，或者化角为边，通过代数恒等变换找出三边之间的关系，再给出判断.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝acos C，试判断△ABC的形状.‎ ‎【解】　∵b＝acos C，‎ 由正弦定理，得 sin B＝sin Acos C. (*)‎ ‎∵∠B＝π－(∠A＋∠C)，‎ ‎∴sin B＝sin(A＋C)，从而(*)式变为 sin(A＋C)＝sin Acos C，‎ ‎∴cos Asin C＝0.‎ 又∵∠A，∠C∈(0，π)，‎ ‎∴cos A＝0，∠A＝，‎ 即△ABC是直角三角形.‎ ‎1.在△ABC中，若sin A＞sin B，则∠A与∠B的大小关系为(　　)‎ A.∠A＞∠B B.∠A＜∠B C.∠A≥∠B D.∠A，∠B的大小关系不能确定 ‎【解析】　因为＝，‎ 7‎ 所以＝.‎ 因为在△ABC中，sin A>0，sin B>0，sin A＞sin B，‎ 所以＝>1，所以a>b，‎ 由a＞b知∠A＞∠B.‎ ‎【答案】　A ‎2.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状为(　　)‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 ‎【解析】　由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A，‎ 故sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin Acos B＋cos Asin B，‎ 所以sin Acos B＝cos Asin B，‎ 即sin(A－B)＝0，所以∠A＝∠B.‎ 故△ABC为等腰三角形.‎ ‎【答案】　B ‎3.在△ABC中，AB＝，∠A＝45°，∠B＝60°，则BC＝_____.‎ ‎【导学号：18082002】‎ ‎【解析】　利用正弦定理＝，‎ 而∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝75°，‎ 故BC＝＝＝3－.‎ ‎【答案】　3－ ‎4.在△ABC中，a＝15，b＝10，∠A＝60°，则cos B＝________.‎ ‎【解析】　由正弦定理＝，得＝，‎ ‎∴sin B＝，∵b

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