2020版高中数学 第1章 解三角形1.1.1 正弦定理

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文档介绍

2020版高中数学 第1章 解三角形1.1.1 正弦定理

‎1.1.1 ‎正弦定理 ‎1.掌握正弦定理及基本应用.(重点)‎ ‎2.会判断三角形的形状.(难点)‎ ‎3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理1 正弦定理 ‎ 阅读教材P3~P4例1以上内容,完成下列问题.‎ 判断(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)正弦定理不适用于钝角三角形.(  )‎ ‎(2)在△ABC中,等式bsin A=asin B总能成立.(  )‎ ‎(3)在△ABC中,若sin A=sin B,则三角形是等腰三角形.(  )‎ ‎【解析】 (1)×.正弦定理适用于任意三角形.‎ ‎(2)√.由正弦定理知=,即bsin A=asin B.‎ ‎(3)√.由正弦定理可知=,即a=b,所以三角形为等腰三角形.‎ ‎【答案】 (1)× (2)√ (3)√‎ 教材整理2 解三角形 阅读教材P4例1~P5例2,完成下列问题.‎ ‎1.一般地,我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素.‎ 7‎ ‎2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.‎ ‎1.在△ABC中,若∠A=60°,∠B=45°,BC=3,则AC=________.‎ ‎【解析】 由正弦定理得:=,‎ 所以AC==2.‎ ‎【答案】 2 ‎2.在△ABC中,若a=3,b=,∠A=,则∠C=________.‎ ‎【解析】 由正弦定理得:=,‎ 所以sin B=.‎ 又a>b,所以∠A>∠B,‎ 所以∠B=,‎ 所以∠C=π-=.‎ ‎【答案】  ‎3.在△ABC中,∠A=45°,c=2,则AC边上的高等于________.‎ ‎【解析】 AC边上的高为ABsin A=csin A=2sin 45°=.‎ ‎【答案】  ‎[小组合作型]‎ 已知两角及一边解三角形 ‎ (1)在△ABC中,c=,∠A=75°,∠B=60°,则b等于(  )‎ A.  B. C. D. ‎(2)在△ABC中,已知BC=12,∠A=60°,∠B=45°,则AC=________.‎ ‎【导学号:18082000】‎ ‎【精彩点拨】 (1)可先由角A、B求出角C,然后利用正弦定理求b;‎ 7‎ ‎(2)直接利用正弦定理求解.‎ ‎【自主解答】 (1)因为∠A=75°,∠B=60°,所以∠C=180°-75°-60°=45°.‎ 因为c=,根据正弦定理得=,‎ 所以b===.‎ ‎(2)由正弦定理知:=,‎ 则=,‎ 解得AC=4.‎ ‎【答案】 (1)A (2)4 解决已知两角及一边类型的三角形解题方法:‎ (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边.‎ (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边 ‎[再练一题]‎ ‎1.在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=________.‎ ‎【解析】 ∠C=180°-75°-45°=60°,由正弦定理得=,即=,解得AC=2.‎ ‎【答案】 2‎ 已知两边及一边的对角解三角形 ‎ (1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知∠A=60°,a=4,b=4,则∠B=________.‎ ‎(2)在△ABC中,已知a=2,b=6,∠A=30°,求∠B,∠C和c.‎ ‎【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点,直接求解.注意三角形解的个数问题.‎ ‎(2)先利用正弦定理求角B,再利用内角和定理求解,由正弦定理求边c.‎ ‎【自主解答】 (1)由正弦定理,得=.把∠A=60°,a=4,b=4 7‎ ‎,代入,解得sin B=,∴B=45°或135°,∵b<a,∴∠B<∠A,又∵∠A=60°,∴0°<∠B<60°,∴∠B=45°.‎ ‎【答案】 45°‎ ‎(2)由正弦定理得sin B===,又a=2,b=6,aa,∴∠C >∠A,∴∠A=,‎ ‎∴∠B=,b===+1.‎ ‎[探究共研型]‎ 正弦定理的主要功能 探究1 已知△ABC的外接圆O的直径长为2R,试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理.‎ 7‎ ‎【提示】 如图,连接BO并延长交圆O于点D,连接CD,则∠BCD=90°,‎ ‎∠BAC=∠BDC,在Rt△BCD中,BC=BD·sin∠BDC,所以a=2Rsin A,‎ 即=2R,同理=2R,=2R,‎ 所以===2R.‎ 探究2 根据正弦定理的特点,我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题?‎ ‎【提示】 利用正弦定理,可以解决:(1)已知两边和其中一边的对角解三角形;‎ ‎(2)已知两角和其中一角的对边解三角形.‎ 探究3 由==可以得到a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形?‎ ‎【提示】 (1)=,=,=.‎ ‎(2)=,=,=.‎ ‎(3)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.‎ ‎ 在△ABC中,若sin A=2sin Bcos C,且sin‎2A=sin2B+sin‎2C,试判断△ABC的形状.‎ ‎【精彩点拨】 解决本题的关键是利用sin A=,sin B=,sin C=把sin‎2A=sin2B+sin‎2C转化为三角形三边的关系,从而判定出角A,然后再利用sin A=2sin Bcos C求解.‎ ‎【自主解答】 法一:根据正弦定理,得==,‎ ‎∵sin‎2A=sin2B+sin‎2C,∴a2=b2+c2,‎ ‎∴∠A是直角,∠B+∠C=90°,‎ ‎∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90°-B)=2sin2B=sin A=1,‎ ‎∴sin B=.‎ ‎∵0°<∠B<90°,∴∠B=45°,∠C=45°,‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形.‎ 法二:根据正弦定理,‎ 得==,‎ ‎∵sin‎2A=sin2B+sin‎2C,‎ 7‎ ‎∴a2=b2+c2,∴∠A是直角.‎ ‎∵∠A=180°-(∠B+∠C),sin A=2sin Bcos C,‎ ‎∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,‎ ‎∴sin(B-C)=0.‎ 又-90°<∠B-∠C<90°,‎ ‎∴∠B-∠C=0,∴∠B=∠C,‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形.‎ ‎1.判断三角形的形状应看该三角形是否为某些特殊的三角形,如锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.‎ ‎2.已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可以考虑用正弦定理化边为角,再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系,或者化角为边,通过代数恒等变换找出三边之间的关系,再给出判断.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=acos C,试判断△ABC的形状.‎ ‎【解】 ∵b=acos C,‎ 由正弦定理,得 sin B=sin Acos C. (*)‎ ‎∵∠B=π-(∠A+∠C),‎ ‎∴sin B=sin(A+C),从而(*)式变为 sin(A+C)=sin Acos C,‎ ‎∴cos Asin C=0.‎ 又∵∠A,∠C∈(0,π),‎ ‎∴cos A=0,∠A=,‎ 即△ABC是直角三角形.‎ ‎1.在△ABC中,若sin A>sin B,则∠A与∠B的大小关系为(  )‎ A.∠A>∠B B.∠A<∠B C.∠A≥∠B D.∠A,∠B的大小关系不能确定 ‎【解析】 因为=,‎ 7‎ 所以=.‎ 因为在△ABC中,sin A>0,sin B>0,sin A>sin B,‎ 所以=>1,所以a>b,‎ 由a>b知∠A>∠B.‎ ‎【答案】 A ‎2.在△ABC中,若c=2acos B,则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形 ‎【解析】 由正弦定理知c=2Rsin C,a=2Rsin A,‎ 故sin C=2sin Acos B=sin(A+B)‎ ‎=sin Acos B+cos Asin B,‎ 所以sin Acos B=cos Asin B,‎ 即sin(A-B)=0,所以∠A=∠B.‎ 故△ABC为等腰三角形.‎ ‎【答案】 B ‎3.在△ABC中,AB=,∠A=45°,∠B=60°,则BC=_____.‎ ‎【导学号:18082002】‎ ‎【解析】 利用正弦定理=,‎ 而∠C=180°-(∠A+∠B)=75°,‎ 故BC===3-.‎ ‎【答案】 3- ‎4.在△ABC中,a=15,b=10,∠A=60°,则cos B=________.‎ ‎【解析】 由正弦定理=,得=,‎ ‎∴sin B=,∵b
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