高中数学:第一章《计数原理》测试(1)(新人教A版选修2-3)

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高中数学:第一章《计数原理》测试(1)(新人教A版选修2-3)

第1章《计数原理》‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.一次考试中,要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题,要求至少包含前5个题目中的3个,则考生答题的不同选法的种数(  )‎ A.40 B.74‎ C.84 D.200‎ 解析: 分三类:‎ 第一类,前5个题目的3个,后4个题目的3个,‎ 第二类,前5个题目的4个,后4个题目的2个,‎ 第三类,前5个题目的5个,后4个题目的1个,‎ 由分类加法计数原理得C‎53C43+C‎54C42+C‎55C41=74.‎ 答案: B ‎2.在24的展开式中,x的幂指数是整数的项共有(  )‎ A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 解析: Tr+1=C24r24-rr=C24rx12-r,所求x的幂指数是整数的项必须满足r为整数且0≤r≤24,故r=0,6,12,18,24,所求项共有5项.‎ 答案: C ‎3.某次文艺汇演,要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单,如下表:‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 节目 如果A、B两个节目要相邻,且都不排在第3号位置,那么节目单上不同的排序方式有(  )‎ A.144种 B.192种 C.96种 D.72种 解析: 第一步,将C、D、E、F全排,共有A44种排法,产生5个空,‎ 第二步,将A、B捆绑有2种方法,‎ 第三步,将A、B插入除2号空位和3号空位之外的空位,有C31种,所以一共有144种方法.‎ 答案: A ‎4.若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为(  )‎ A.2 B.-1‎ C.0 D.1‎ 解析: (a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4×(-2+)4=1.‎ 答案: D ‎5.用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同涂法有(  )‎ A B C D A.72种 B.48种 C.24种 D.12种 解析: 涂A共4种涂法,则B有3种涂法,C有2种涂法,D有3种涂法.‎ ‎∴共有4×3×2×3=72种涂法.‎ 答案: A ‎6.有两排座位,前排11个座位,后排10个座位.现安排2人就坐,规定前排中间的3个座位不能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是(  )‎ A.234 B.276‎ C.350 D.363‎ 解析: 采用间接法:因为前排中间的3个座位不能坐,所以共有A182=306种不同的坐法,其中2人左右相邻的坐法有15×A22=30种不同的坐法.‎ ‎∴不同排法的种数是306-30=276种.‎ 答案: B ‎7.(1+3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等,则n=(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 解析: 注意到二项式(1+3x)n的展开式的通项是Tr+1=Cnr1n-r·(3x)r=Cnr·3r·xr,于是依题意有Cn5·35=Cn6·36,‎ 即 ‎=3×(n≥6),‎ 由此解得n=7.‎ 答案: B ‎8.在(1+x)n的展开式中,奇数项之和为p,偶数项之和为q,则(1-x2)n等于(  )‎ A.0 B.pq C.p2-q2 D.p2+q2‎ 解析: 由于(1+x)n与(1-x)n展开式中奇数项相同,偶数项互为相反数,因此(1-x)n=p-q,所以(1-x2)n=(1-x)n(1+x)n=(p+q)(p-q)=p2-q2.‎ 答案: C ‎9.直线l1∥l2,l1上有4个点,l2上有6个点,以这些点为端点连成线段,他们在l1与l2之间最多的交点个数是(  )‎ A.24 B.45‎ C.80 D.90‎ 解析: 因为在直线l1和l2上分别取2个点构成四边形的个数为C‎42C62=90,又因为每一个四边形的对角线有1个交点,故交点的个数最多为90个.‎ 答案: D ‎10.若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为-5,则n等于(  )‎ A.4 B.6‎ C.8 D.10‎ 解析: 展开式通项为Tk+1=Cnk(2x)n-kk ‎=(-1)k2n-kCnk·xn-2k.‎ 选项A中若n=4,k=4,则Tk+1=(-1)k·24-kC4kx4-2k,‎ 当4-2k=-2时,k=3,当4-2k=-4时,k=4,则T4=(-1)3·24-‎3C43x-2=-8x-2,T5=(-1)‎420C44x-4=x-4,此时系数比不是-5.‎ 选项B中若n=6,则Tk+1=(-1)k26-kC6kx6-2k,当6-2k=-2时,k=4,当6-2k=-4时,k=5,则T5=(-1)4·‎22C64x-2=60x-2,T6=(-1)‎521C65x-4=-12x-4,此时系数比为-5,所以B正确,同理可以验证C、D选项不正确.‎ 答案: B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎11.设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A,常数项为B,若B=‎4A,则a的值是________.‎ 解析: 6展开式的通项为 Tr+1=C6rx6-rr=(-a)rC6rx6- 当r=2时,x3的系数A=(-a)‎2C62=‎15a2,‎ 当r=4时,常数项B=(-a)‎4C64=‎15a4,‎ ‎∵B=‎4A,得‎15a4=4×‎15a2,∵a>0,得a=2.‎ 答案: 2‎ ‎12.在由数字0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有________个.‎ 解析: 所有由0,1,2,3,4,5组成的4位数,共有A51·A53=300个,末尾为0的有A53=60个,末尾为5的有A41·A42=48(个).‎ 故满足题意的数共有300-60-48=192(个).‎ 答案: 192‎ ‎13.如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格,一质点沿网格线从点A到点B的不同路径之中,最短路径有________条.‎ 解析: 把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步,其中四步向右,三步向下,不同走法的区别在于哪三步向下,因此,本题的结论是:C73=35.‎ 答案: 35‎ ‎14.(x+1)3+(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a8(x-1)8则a6=________.‎ 解析: ∵(x+1)3+(x-2)8=[(x-1)+2]3+[(x-1)-1]8‎ ‎∴a6(x-1)6=C82(x-1)6(-1)2=28(x-1)6‎ ‎∴a6=28.‎ 答案: 28‎ 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.(本小题满分12分)某班有男生28名、女生20名,从该班选出学生代表参加校学代会.‎ ‎(1)若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?‎ ‎(2)若学校分配给该班2名代表,且男、女生代表各1名,则有多少种不同的选法?‎ 解析: (1)选出1名代表,可以选男生,也可以选女生,因此完成“选1名代表”这件事分2类:‎ 第1类,从男生中选出1名代表,有28种不同方法;‎ 第2类,从女生中选出1名代表,有20种不同方法.‎ 根据分类加法计数原理,共有28+20=48种不同的选法.‎ ‎(2)完成“选出男、女生代表各1名”这件事,可以分2步完成:‎ 第1步,选1名男生代表,有28种不同方法;‎ 第2步,选1名女生代表,有20种不同方法.‎ 根据分步乘法计数原理,共有28×20=560种不同的选法.‎ ‎16.(本小题满分12分)若n的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是14∶3,求展开式中的常数项.‎ 解析: 由题意有Cn4∶Cn2=14∶3,‎ 解得n=10(n=-5舍去)‎ Tr+1=C10r()10-rr ‎=C10rxrx-2r ‎=rC10rx-2r,‎ 令-2r=0,∴r=2.‎ ‎∴常数项为‎2C102=5.‎ ‎17.(本小题满分12分)有6本不同的书,分给甲、乙、丙三个人.‎ ‎(1)如果每人得两本,有多少种不同的分法?‎ ‎(2)如果一个人得1本,一个人得2本,一个人得3本,有多少种不同的分法?‎ ‎(3)如果把这6本书分成三堆,每堆两本有多少种不同分法?‎ 解析: (1)假设甲先拿,则甲从6本不同的书中选取2本有C62=15种方法,不论甲取走的是哪两本书,乙再去取书时只能有C42=6种,此时剩下的两本书自然给丙,就只有C22=1种方法,由分步乘法计数原理得一共有C62·C42·C22=90种不同分法.‎ ‎(2)先假设甲得1本,乙得2本,丙得3本,则有C‎61C52C33种方法,一共有C‎61C52C33A33=6×10×6=360种不同分法.‎ ‎(3)把6本书分成三堆,每堆2本,与次序无关.所以一共有=15种不同分法.‎ ‎18.(本小题满分14分)若(x2-3x+2)5=a0+a1x+a2x2+…+a10x10.‎ ‎(1)求a2;‎ ‎(2)求a1+a2+…+a10;‎ ‎(3)求(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2.‎ 解析: (1)方法一:(x2-3x+2)5=(x-1)5(x-2)5,‎ ‎(x-1)5展开式的通项公式为 C5r·(-1)r·x5-r(0≤r≤5);‎ ‎(x-2)5展开式的通项公式为 C5s·(-2)s·x5-s(0≤s≤5),‎ 所以(x2-3x+2)5展开式的通项公式为 C5r·C5s·(-1)r+s·2s·x10-r-s,‎ 令r+s=8,得或或.‎ 所以展开式中x2的系数为 C‎53C5525+C‎54C5424+C‎55C5323=800,即a2=800.‎ 方法二:(x2-3x+2)5的本质是5个x2-3x+2相乘,由多项式的乘法法则,产生含x2的项有两种可能:‎ ‎① 5个x2-3x+2中有一个取含x2的项,其他的取常数项,得到的系数是C51·24=80;‎ ‎② 5个x2-3x+2中有两个取x的项,其他的取常数项,得到的系数是C52·(-3)2·23=720,‎ ‎∴展开式中含x2的项的系数是80+720=800,‎ 即a2=800.‎ ‎(2)令f(x)=(x2-3x+2)5‎ ‎=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,‎ a0=f(0)=25=32,‎ a0+a1+a2+…+a10=f(1)=0,‎ ‎∴a1+a2+…+a10=-32.‎ ‎(3)(a0+a2+a4+a6+a8+a10)2-(a1+a3+a5+a7+a9)2‎ ‎=(a0+a1+a2+…+a10)(a0-a1+a2-…+a10)‎ ‎=f(1)·f(-1)=0.‎
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