2019-2020学年高中数学课时跟踪检测十八离散型随机变量的方差新人教A版选修2-3
课时跟踪检测（十八） 离散型随机变量的方差
A级——基本能力达标
1．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
解析：选B ∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
2．(2019·浙江名校联考信息卷)已知随机变量ξ～B，则D(3ξ－1)＝( )
A. B.
C. D．10
解析：选D 因为随机变量ξ～B，所以D(ξ)＝5××＝，所以D(3ξ－1)＝32D(ξ)＝9×＝10.
3．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是( )
A．0和1 B．p和p2
C．p和1－p D．p和(1－p)p
解析：选D 由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．
4．设10≤x1
D(ξ2)
B．D(ξ1)＝D(ξ2)
C．D(ξ1)D(ξ2)．
7
5．已知袋子中装有若干张标有数字1,2,3的卡片，每张卡片上分别标有一个数字，若随机抽取一张卡片，取到标有数字1的卡片的概率为，若抽取的卡片上的数字X的数学期望是2，则X的方差是( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由题意得P(X＝1)＝，设P(X＝2)＝p，P(X＝3)＝q，则p＋q＝，又E(X)＝2，所以1×＋2p＋3q＝2，解得p＝，q＝.所以D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝.
6．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
解析：事件在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
答案：0.5
7已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________.
解析：由E(X)＝30，D(X)＝20，可得
解得p＝.
答案：
8．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
解析：由题意
解得a＝，b＝c＝.
7
答案：
9．A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别为
X1
5%
10%
P
0.8
0.2
X2
2%
8%
12%
P
0.2
0.5
0.3
在A，B两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)．
解：由题设可知Y1和Y2的分布列分别为
Y1
5
10
P
0.8
0.2
Y2
2
8
12
P
0.2
0.5
0.3
E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.
10．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的均值和方差．
解：设事件A表示“该地的1位车主购买甲种保险”，事件B表示“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”，事件C表示“该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种”，事件D表示“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”，则A，B相互独立．
(1)由题意知P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A∪B，
则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2.
7
由题意知X～B(100,0.2)，
所以均值E(X)＝100×0.2＝20，方差D(X)＝100×0.2×0.8＝16.
B级——综合能力提升
1．设二项分布X～B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
解析：选B 由题意得，np＝2.4，np(1－p)＝1.44，
∴1－p＝0.6，∴p＝0.4，n＝6.
2．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1
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