2020高中数学 第1章 解三角形 正弦定理、余弦定理的应用

2020高中数学 第1章 解三角形 正弦定理、余弦定理的应用

正弦定理、余弦定理的应用 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎1. 三角形的三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的最小边为 。‎ ‎ 2. （广东高考）在中，角所对应的边分别为，已知，则 。‎ ‎ 3. 已知△ABC中，3（＋）·＝42，则＝ 。‎ ‎4. 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），试判断该三角形的形状。‎ ‎ 5. 在△ABC中，a2+c2=2b2，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长。‎ ‎（1）求证：B≤；（2）若，且A为钝角，求A。‎ ‎6. （北京高考）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A。‎ ‎（I）求cosA的值； （II）求c的值。‎ ‎7. 有两个高度都为b米的两个测角仪AB和CD，水平距离为a米，测得气球E在它们的正西方向的上空仰角分别是是α和β，试用表示出气球的高度。‎ 3‎ ‎1. 解：设三边分别为，由题意得 ‎，‎ 解得，又，故x=3，最小边为2。‎ ‎ 2. 解：由正弦定理得。‎ ‎ 3. 解：由已知得：，即。‎ ‎—7。‎ ‎4. 方法一：∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B）‎ ‎⇔a2[sin（A－B）－sin（A＋B）]＝b2[－sin（A＋B）－sin（A－B）]，‎ ‎∴‎2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，‎ 由正弦定理，得：sin2Acos Asin B＝sin2Bcos Bsin A，‎ ‎∴sin Asin B（sin Acos A－sin Bcos B）＝0，‎ ‎∴sin ‎2A＝sin 2B，由0<‎2A<2π，0<2B<2π，‎ 得‎2A＝2B或‎2A＝π－2B，‎ 即△ABC是等腰三角形或直角三角形。‎ 方法二：同方法一可得‎2a2cos Asin B＝2b2cos Bsin A，‎ 由正、余弦定理，即得 a2b×＝b‎2a× ，‎ ‎∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），‎ 即（a2－b2）（c2－a2－b2）＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2，‎ ‎∴三角形为等腰三角形或直角三角形。‎ ‎ 5. （1）证明：由余弦定理，得，因，，‎ 由0＜B＜π，得，命题得证。‎ ‎（2）由正弦定理，得，因，故=1，‎ 于是，‎ 因为A为钝角，所以。‎ 所以（，不符合条件，舍去），得。‎ ‎6. 解：（I）因为a=3，b=2，∠B=2∠A. 所以在△ABC中，由正弦定理得，所以，故。‎ 3‎ ‎ （II）由（I）知，所以，又因为∠B=2∠A，所以，所以， 在△ABC中，， 所以。‎ ‎7. 解：过点A作，垂足为G，则A、C、G三点共线。‎ ‎ 在中，，同理，‎ ‎ 故，解得 ‎ 故气球的高度。‎ 3‎