2020高中数学 课时分层作业25 两角和与差的正弦、余弦公式 新人教A版必修4

2020高中数学 课时分层作业25 两角和与差的正弦、余弦公式 新人教A版必修4

课时分层作业(二十五)　两角和与差的正弦、余弦公式 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．化简sin＋sin＝(　　)‎ A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x B　[sin＋sin ‎＝sin x＋cos x＋sin x－cos x ‎＝sin x．]‎ ‎2．cos－sin的值是(　　)‎ A． B．－ C．0 D． A　[cos－sin ‎＝ ‎＝cos＝cos(－4π)＝.]‎ ‎3．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝(　　) ‎ ‎【导学号：84352312】‎ A. B. C. D. C　[∵0＜β＜α＜，‎ ‎∴0＜α－β＜，‎ 由cos α＝得sin α＝，‎ 由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，‎ 7‎ ‎∴sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－× ‎＝＝，‎ ‎∴β＝.]‎ ‎4．如图311，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于(　　)‎ 图311‎ A. B. C. D. B　[由题意知sin∠BEC＝，‎ cos∠BEC＝，‎ 又∠CED＝－∠BEC，‎ 所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.]‎ ‎5．函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)‎ ‎ 【导学号：84352313】‎ A．[－2,2] B． C．[－1,1] D． B　[f(x)＝sin x－cos ‎＝sin x－cos x＋sin x ‎＝sin x－cos x 7‎ ‎＝sin，‎ 所以函数f(x)的值域为[－，]．‎ 故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)的值为________．‎ 　[∵cos α＝－，α∈，‎ ‎∴sin α＝＝.‎ ‎∵sin β＝－，β∈，‎ ‎∴cos β＝＝，‎ ‎∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ‎＝×＋×＝.]‎ ‎7．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则角C等于________. ‎ ‎【导学号：84352314】‎ ‎30°　[已知两式两边分别平方相加，得 ‎25＋24(sin Acos B＋cos Asin B)＝37，‎ 即25＋24sin(A＋B)＝37，‎ ‎∴sin C＝sin(A＋B)＝，‎ ‎∴C＝30°或150°.‎ 当C＝150°时，A＋B＝30°，‎ 此时3sin A＋4cos B＜3sin 30°＋4cos 0°＝与已知矛盾，∴C＝30°.]‎ ‎8．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.‎ ‎－　[f(x)＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.‎ 由已知得sin(θ－φ)＝1，∴cos(θ－φ)＝0，‎ ‎∴cos θ＝cos[(θ－φ)＋φ]＝cos(θ－φ)cos φ－sin(θ－φ)sin φ＝－sin φ 7‎ ‎＝－.]‎ 三、解答题 ‎9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值. ‎ ‎【导学号：84352315】‎ ‎[解]　∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ‎＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ‎＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，‎ ‎∴sin β＝－，又β是第三象限角，‎ ‎∴cos β＝－＝－，‎ ‎∴sin ‎＝sin βcos＋cos βsin ‎＝×＋× ‎＝－.‎ ‎10．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．‎ ‎[解]　∵0＜α＜＜β＜，‎ ‎∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.‎ 又sin＝，‎ cos＝，‎ ‎∴cos＝－，‎ sin＝－，‎ ‎∴cos(α＋β)＝sin 7‎ ‎＝sin ‎＝sincos－cossin ‎＝×－×＝－.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是(　　)‎ A．等边三角形　　　　　 B．不含60°的等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 D　[∵A＋B＋C＝180°，∴cos(B＋C)＝cos(180°－A)＝－cos A，sin(A＋C)＝sin(180°－B)＝sin B，‎ 由sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)‎ 得sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，‎ ‎∴sin(A＋B)＝1，即sin C＝1，‎ ‎∴C＝，即△ABC是直角三角形．]‎ ‎2．已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，则cos等于(　　) ‎ ‎【导学号：84352316】‎ A．－ B．－ C． D． C　[∵sin＋sin α＝sin α＋cos α＋sin α ‎＝＝cos ‎＝－，‎ ‎∴cos＝－，‎ ‎∴cos＝cos＝－cos＝－cos＝.]‎ ‎3．若tan α＝2tan，则＝________.‎ 7‎ ‎3　[＝＝ ‎＝＝ ‎＝＝3.]‎ ‎4．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.‎ 　[(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝2＋2cos(α－β)＝2＋＝.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)若ω和φ的值．‎ ‎(2)若f＝，求cos的值. ‎ ‎【导学号：84352317】‎ ‎[解]　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….‎ 由－≤φ＜，得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－.‎ ‎(2)由(1)得f ‎＝sin＝，‎ 7‎ 所以sin＝.‎ 由＜α＜得0＜α－＜，‎ 所以cos＝ ‎＝＝.‎ 因此cos＝sin α ‎＝sin ‎＝sincos＋cossin ‎ ＝×＋×＝.‎ 7‎