2020高中数学 第3章 不等式组与简单的线性规划问题3 简单的线性规划问题习题 苏教版必修5

2020高中数学 第3章 不等式组与简单的线性规划问题3 简单的线性规划问题习题 苏教版必修5

简单的线性规划问题 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎*1. 设z＝2y－2x＋4，式中的x，y满足条件，则z的取值范围是________。‎ ‎*2. 某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法。 ‎ ‎*3. 在二元一次方程组表示的平面区域内，使得x＋2y取得最小值的整点坐标为________。‎ ‎**4. 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2。若目标函数z＝ax＋y（其中a＞0）仅在点（3，1）处取得最大值，则a的取值范围为________。 ‎ ‎**5. 如果点P在平面区域内，点Q在曲线x2＋（y＋2）2＝1上，那么|PQ|的最小值为________。‎ ‎**6 . 一批长‎400 cm的条形钢材，需要将其截成‎518 mm与‎698 mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________。‎ ‎**7. 已知变量x，y满足，‎ ‎（1）设y＝－2x＋p，求p的最大值和最小值；‎ ‎（2）求的取值范围；‎ ‎（3）求x2＋y2的取值范围。 ‎ ‎**8. 已知实数x，y满足，若目标函数z＝x－y的最小值的取值范围是[－2，－1]，求目标函数的最大值的取值范围。‎ ‎***9. 某家具厂有方木料‎90 m3‎，木工板‎600 m3‎，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料‎0.1 m3‎，木工板‎2 m3‎；生产每个书橱需要方木料‎0.2 m3‎，木工板‎1 m3‎ 5‎ ‎，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元。问：怎样安排生产可以获利最大？‎ 5‎ ‎1. [4，8] ‎ 解析：作出满足不等式组的可行域（如图所示）。‎ 作直线2y－2x＝0，并将其平移，‎ 由图象可知当直线经过点A（0，2）时，zmax＝2×2－2×0＋4＝8；‎ 当直线经过点B（1，1）时，zmin＝2×1－2×1＋4＝4。‎ 所以z的取值范围是[4，8]。‎ ‎2. 16‎ 解析：设票面8角的买x套，票面2元的买y套。由题意得：‎ 即 画出如图平面区域得 y＝2时，x＝2，3，4，5，6，7，8；‎ y＝3时，x＝2，3，4，5，6；‎ y＝4时，x＝2，3，4；‎ y＝5时，x＝2。‎ 共有7＋5＋3＋1＝16种买法。‎ ‎3. （－1，－2）‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图所示：‎ ‎∵平面区域不包括边界，‎ 5‎ ‎∴平面区域内的整点共有（－1，－1），（－1，－2），（－2，－1）三个。‎ 代入检验知，整点为（－1，－2）时，x＋2y取得最小值。‎ ‎4. （1，＋∞）‎ 解析：由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z＝ax＋y在点（3，1）处取得最大值，结合图形可知a＞1。‎ ‎5. －1‎ 解析：首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x2＋（y＋2）2＝1，如图所示，从而可知点P到Q的距离最小值是可行域上的点到（0，－2）的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ|min＝。‎ ‎6. 99.65%‎ 解析：设‎518 mm和‎698 mm的毛坯个数分别为x，y，最大利用率为z，则z＝。‎ 又∵‎ ‎∴为最优解，此时z＝＝99.65%。‎ ‎7. 解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示。‎ ‎（1）p的几何意义为直线y＝－2x＋p在y轴上的截距，由图可知直线y＝－2x＋p经过（1，1）时，pmin＝3；经过（5，2）时，pmax＝12。‎ ‎（2）的几何意义为平面区域内的点与原点连线的斜率，由图可知。‎ ‎（3）x2＋y2的几何意义为平面区域内的点与原点距离的平方，由图可知2≤x2＋y2≤29。‎ 5‎ ‎8. 解：不等式组表示的可行域如图所示，目标函数变形为y＝x－z，当z最小时就是直线y＝x－z在y轴上的截距最大时。当z的最小值为－1，即直线y＝x＋1时，由，可得此时点A的坐标是（2，3），此时m＝2＋3＝5；当z的最小值为－2，即直线y＝x＋2时，由可得此时点A的坐标是（3，5），此时m＝3＋5＝8。故m的取值范围是[5，8]。‎ 而目标函数取最大值时，y＝x－z在y轴上截距最小，此时目标函数过B（m－1，1），‎ 于是zmax＝m－1－1＝m－2。‎ 因为m的取值范围是[5，8]，所以目标函数最大值的取值范围是[3，6]。‎ ‎9. 解：设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为 利润z＝80x＋120y，作出不等式表示的平面区域如图所示，将直线z＝80x＋120y平移可知：当生产100张书桌，400张书橱时，利润最大，为z＝80×100＋120×400＝56 000（元）。‎ 5‎