专题18+三角恒等变换-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题18+三角恒等变换-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 运用转化与化归思想 使用情景：含不同角的三角函数式类型 解题模板：第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；‎ 第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1 已知，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ 第三步，得出结论:‎ ‎ ，故答案为.‎ ‎【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，属于基础试题，本题的解答中注意角的整体性和配凑．‎ ‎【变式演练1】【2018年佛山市高三教学质量检测（二）】已知，则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：‎ 已知，由同角关系式求得，然后由两角差的余弦公式求值.‎ 点睛：‎ 在应用同角间的三角函数关系特别是平方关系求函数值时，一定要先确定角的象限，这样才能确定（或）的正负，否则易出现错误结论.‎ ‎【变式演练2】已知 均为锐角，且， ．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 考点：1. 同角三角函数基本关系；2. 两角差的余弦公式 方法二 运用函数方程思想 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程；‎ 第二步 求解方程组；‎ 第三步 得出结论.‎ 例2 已知，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一步，将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知数的方程：‎ 由可得： ‎ 第二步，得出结论：‎ 所以原式，故选：B ‎【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解. ‎ ‎【变式演练3】设是方程的两根，则的值为（ ）‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 考点：1．韦达定理；2．两角和的正切公式．‎ 名师点睛：此题考查两角和的正切公式的整体思想，是方程的两个根，但不要求方程的两根分别是多少，而用韦达定理，整体求两根之和，两根之积，然后代入．‎ ‎【变式演练4】【江西省重点中学协作体2018届高三下学期第一次联考数学（理）试题】‎ 若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件得，‎ 将上式两边分别平方，得，‎ 即，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴．选B．‎ 方法三 运用换元思想 使用情景：一般三角函数类型 解题模板：第一步 运用换元法将未知向已知转化；‎ 第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换；‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 若求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围.‎ ‎【变式演练4】【四省名校（南宁二中等）2018届高三上学期第一次大联考数学（文）试题】‎ 已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得： ，‎ 则： ，利用二倍角公式有：‎ ‎.‎ 本题选择A选项. ‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国III文，4】已知，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【考点】二倍角正弦公式 ‎【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎ (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎2.【2018年全国I卷】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据两点都在角的终边上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函数的定义式，求得，从而得到，再结合，从而得到，从而确定选项.‎ ‎【详解】‎ 由三点共线，从而得到，‎ 因为，‎ 解得，即，‎ 所以，故选B. ‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关角的终边上点的纵坐标的差值的问题，涉及到的知识点有共线的点的坐标的关系，余弦的倍角公式，余弦函数的定义式，根据题中的条件，得到相应的等量关系式，从而求得结果.‎ ‎3. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .‎ ‎【答案】8.‎ 考点：三角恒等变换，切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 ‎4．【2018年全国卷Ⅲ】若，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由公式可得。‎ 详解：‎ 故答案为B.‎ ‎5.【2015高考重庆，文6】若,则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A.‎ ‎【考点定位】正切差角公式及角的变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.‎ ‎6.【2018年全国卷II】已知，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.‎ ‎7.【2018年浙江卷】已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．‎ ‎（Ⅰ）求sin（α+π）的值；‎ ‎（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .‎ ‎【解析】‎ 分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果. ‎ 点睛：三角函数求值的两种类型：‎ ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎【反馈练习】‎ 1． ‎【湖北省长望浏宁四县2018年高三3月联合调研考试数学试题】若 ‎，则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵‎ ‎∴，‎ ‎.‎ 故选：D ‎2．【河南省八市学评2018届高三下学期第一次测评数学】已知，则 ( )‎ A． B． C． D． 6‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎3.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试】设，若，‎ 则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以原式等于 ‎ 而 ， ‎ ‎ ，又因为，‎ 所以，可求得 ，‎ 那么，‎ 那么，故选B. ‎ ‎4．【陕西省榆林市2018届高考模拟】若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.‎ ‎5．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期第七次模拟】设，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 所以 ‎，‎ 故选D。‎ ‎6．【河北省涞水波峰中学2018届高三上学期联考】已知，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎7．【四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试题】已知是锐角，若，则 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】， 是锐角，‎ 则 故选 ‎8．【山西省2018届高三第一次模拟考试】已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎9．【百校联盟2018届高三开学摸底联考数学】如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地， 外的地方种草， 的内接正方形为一水池，其余的地方种花，若， ，设的面积为，正方形的面积为，当固定， 变化时，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 令，则， ‎ ‎， 函数在上递减，‎ 因此当时， 有最小值， ，此时， ‎ 当时，“规划合理度”最小，最小值为，故答案为.‎ ‎10．【2018年全国统一考试模拟考】已知函数在半个周期内的图象的如图所示， 为图象的最高点， ， 是图象与直线的交点，且.‎ ‎（1）求的值及函数的值域；‎ ‎（2）若，且，求的值.‎ ‎【答案】(1) .（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用辅助角公式化简函数解析式为.由， ，可得， 是等腰直角三角形.由点到直线的距离为，得函数的周期为，从而可得解析式，，进而可得函数的值域；（2）由，且，可求出的正弦值和余弦值， ，利用两角和的正弦公式可得结果.‎ ‎（2）由（1），知 因为，所以 因为，所以，‎ 所以，所以 ‎.‎