江苏省南通市2021届高三月考模拟测试（2020

江苏省南通市2021届高三月考模拟测试（2020

江苏南通 1 江苏省南通市 2021 届高三月考模拟测试 数学试题 2020.9 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1． 是 成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． （ ） A． B． C．1 D． 3．设 为 的边 的延长线上一点， ，则（ ） A． B． C． D． 4． 已知直线 ： 与圆心为 ，半径为 的圆相交于 ， 两点，另一 直线 ： 与圆 交于 ， 两点，则四边形 面积的最大值为 （ ） A． B． C． D． 5． 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶 点都在半径为 的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ） A． B． C． D． 6． 当动点 在正方体 的棱 上运动时，异面直线 与 所成角的 取值范围（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，过 作 垂直 轴的直线交椭圆 于 ， 两点，点 在 轴上方．若 ， 的内切圆的 0 3x< < 1 2x − < 1 2i 1 2i 1 i 1 i − ++ =+ − 1− i− i D ABC△ BC 3BC CD=  1 4 3 3AD AB AC= −   4 1 3 3AD AB AC= +   1 4 3 3AD AB AC= − +   4 1 3 3AD AB AC= −   1l 3 6 0x y+ − = ( )0,1M 5 A B 2l 2 2 3 3 0kx y k+ − − = M C D ACBD 10 2 5 2 ( )5 2 1+ ( )5 2 1− 1 3 3 4 3 3 3 4 3 12 P 1 1 1 1ABCD A B C D− DC 1D P 1BC π ,6 π 4      π ,6 π 3      π ,4 π 3      π ,3 π 2     ( )2 2 2 2: 1 0x yE a ba b + = > > 1F 2F 1F x E A B A x 3AB = 2ABF△ 江苏南通 2 面积为 ，则直线 的方程是（ ） A． B． C． D． 8． 已知 ， ，若对 ， ，使得 成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9．函数 的定义域为 ，且 与 都为奇函数，则（） A. 为奇函数 B. 为周期函数 C. 为奇函数 D. 为偶函数 10．设 是等差数列， 是其公差， 是其前 项和.若 则下列结论正确的是 11． 已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（） A. 的方程为 B. 的离心率为 C.曲线 经过 的一个焦点 D.直线 与 有两个公共点 12．声音是由物体震动产生的波，期中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 ， 我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是（） A. 是 的一个周期 B． 在 上有 3 个零点 9π 16 2AF 3 2 3 0x y+ − = 2 3 2 0x y+ − = 4 3 4 0x y+ − = 3 4 3 0x y+ − = ( ) 3ln 4 4 xf x x x = − + ( ) 2 2 4g x x ax= − − + ( ]1 0,2x∀ ∈ [ ]2 1,2x∃ ∈ ( ) ( )1 2f x g x≥ a 1,8  − +∞  25 8ln 2 ,16 − +∞  1 5,8 4  −   5, 4  −∞   ( )f x R ( 1)f x + ( 2)f x + ( )f x ( )f x ( 3)f x + ( 4)f x + { } )( *Nnan ∈ d nS n ,, 87665 SSSSS >=< 0. 的最大值均为与 nSSSD 76. C (3, 2) 3 3y x= ± C 2 2 13 x y− = C 3 2 1xy e −= − C 2 1 0x y− − = C siny A tω= 1( ) sin sin 22f x x x= + 2π ( )f x ( )f x [ ]0,2π 江苏南通 3 C. 的最大值为 D． 在 上是增函数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13．若 6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有 种(用数字填 空) 14．在 的展开式中， 的系数为______． 15． △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 的面积为 S, 的最大值为__________. 16．已知 ，若方程 有 2 个不同的实根，则 实数 m 的取值范围是________.(结果用区间表示) 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．(本小题满分 10 分) 在 中， ， ． （1）求 ； （2）若 ，求 的周长． 18．(本小题满分 12 分) 已知正项等比数列 满足 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 . ( ) ( ) ln , 0 2 4 ,2 4 x x e f x f e x e x e < ≤=  − < < ( ) 0f x mx− = ( )f x 3 3 4 ( )f x 0, 2 π     512x x  −   2x 2 2 2 7, , . = 2a b c a b c bc+ − ∆且 ， ABC 3 6cos cosa S B C= +，则 ABC△ 3sin 2sinA B= tan 35C = cos2C 1AC BC− = ABC△ { }na 3 1 12S S− = 2 12 3 14a S+ = { }na 2 2 1 2 2 1 1 log logn a n b a a+ − = { }nb n nT 江苏南通 4 19．(本小题满分 12 分) 某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过 2 次每次收取维修费 元； 方案二：交纳延保金 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 元． 某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜 集并整理了 100 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表： 维修次数 0 1 2 3 机器台数 20 10 40 30 以上 台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记 表示这两台机器超 过质保期后延保两年内共需维修的次数． （1）求 的分布列； （2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？ 20．(本小题满分 12 分) 如图所示，在四面体 中， ，平面 平面 ， ， 且 ． （1）证明： 平面 ； （2）设 为棱 的中点，当四面体 的体积取得最大值时，求二面角 的 余弦值． 6000 1500 7740 a 100 X X ABCD AD AB⊥ ABD ⊥ ABC 2 2AB BC AC= = 4AD BC+ = BC ⊥ ABD E AC ABCD C BD E− − 江苏南通 5 21．(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，点 在椭圆 上运动，若 面积的最大值为 ，椭圆 的离心率为 ． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过 点作圆 ： ， 的两条切线，分别与椭圆 交于两点 ， (异于点 )，当 变化时，直线 是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不 是，请说明理由． 22．(本小题满分 12 分) 已知函数 ， ． （1）求证： ； （2）用 表示 中的最大值，记 ，讨论函数 零点 的个数． ( )2 2 2 2: 1 0x yO a b a b + = > > A B P O PAB△ 2 3 O 1 2 O B E ( )22 22x y r+ − = ( )0 2r< < O C D B r CD ( ) 2 1 1 3ln 2 44 f x x axx = + + + − ( ) lng x x= ( ) 21 1 14f x ax  ≥ − +   { }max ,p q p q， ( ) ( ) ( ){ }max ,h x f x g x= ( )h x 江苏南通 6 江苏省南通市 2021 届高三月考模拟测试 数学参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1. A 2. A 3. C 4.B 5.C 6. C 7. D 8. A 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.ABC 10. ABD 11.AC 12.ABC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案直接填写在答题卡相应 位置上。 13．72 14．80 15． 16． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤。 17．（1）∵ ，∴ ，∴ ． （2）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ． 由余弦定理可得 ， 则 ， 的周长为 ． 6 1( , )e −∞ tan 35C = 1cos 6C = 21 17cos2 2 16 18C  = × − = −   ABC△ A B C a b c 3sin 2sinA B= 3 2a b= 1AC BC b a− = − = 2a = 3b = 2 2 2 2 cos 13 2 11c a b ab C= + − = − = 11c = ABC△ 5 11+ 江苏南通 7 18．（1）设数列 的公比为 由已知 ，由题意得 ， 所以 ，解得 ， . 因此数列 的通项公式为 . （2）由（1）知， ， ∴ . 19．（1） 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6， ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 （2）选择延保方案一，所需费用 元的分布列为： (元) 选择延保方案二，所需费用 元的分布列为： { }na q 0q > 2 1 1 1 1 + 12 3 2 14 a q a q a a q  = + = 27 5 18 0q q− − = 2q = 1 2a = { }na 2n na = 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1( )log log (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n a n b a a n n n n+ − = = = −+ − − + 1 1 1 1 1 1 1 1(1 ) (1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n = − + − + + − = − =− + + + X ( ) 1 1 10 5 5 25P X = = × = ( ) 1 1 11 210 5 25P X = = × × = ( ) 1 1 1 2 172 210 10 5 5 100P X = = × + × × = ( ) 1 2 1 3 13 2 210 5 5 10 5P X = = × × + × × = ( ) 2 2 3 1 114 25 5 10 10 50P X = = × + × × = ( ) 2 3 65 25 10 25P X = = × × = ( ) 3 3 96 10 10 100P X = = × = X∴ X P 1 25 1 25 17 100 1 5 11 50 6 25 9 100 1Y ( )1 1 1 11 6 96000 7500 9000 10500 12000 85804 5 50 25 100E Y = × + × + × + × + × = 2Y 2Y 7740 7740 a+ 7740 2a+ 江苏南通 8 (元) ， 当 ，即 时，选择方案二， 当 ，即 时，选择方案一，方案二均可， 当 ，即 时，选择方案一． 20. （1）证明：因为 ，平面 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ． 因为 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 平面 ． （2）解：设 ，则 ， 四面体 的体积 ． ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减． 故当 时，四面体 的体积取得最大值． 以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ， P 67 100 6 25 9 100 ( ) ( ) ( )2 67 6 9 217740 7740 7740 2 7740100 25 100 50 aE Y a a= × + × + + × + = + ( ) ( )1 2 21840 50 aE Y E Y∴ − = − ( ) ( )1 2 21840 050 aE Y E Y− = − > 0 2000a< < ( ) ( )1 2 21840 050 aE Y E Y− = − = 2000a = ( ) ( )1 2 21840 050 aE Y E Y− = − < 2000a > AD AB⊥ ABD ⊥ ABC ABD  ABC AB= AD ⊂ ABD AD ⊥ ABC BC ⊂ ABC AD BC⊥ 2 2AB BC AC= = 2 2 2AB BC AC+ = AB BC⊥ AD AB A= BC ⊥ ABD ( )0 4AD x x= < < 4AB BC x= = − ABCD ( ) ( ) ( )2 3 21 1 14 8 163 2 6V f x x x x x x= = × − = − + ( )0 4x< < ( ) ( ) ( )( )21 13 16 16 4 3 46 6f x x x x x= − + = − −′ 40 3x< < ( ) 0f x′ > ( )V f x= 4 43 x< < ( ) 0f x′ < ( )V f x= 4 3AD x= = ABCD B B xyz− 江苏南通 9 则 ， ， ， ， ． 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，得 ， 同理可得平面 的一个法向量为 ， 则 ． 由图可知，二面角 为锐角，故二面角 的余弦值为 ． 21. （1）由题可知当点 在椭圆 的上顶点时， 最大， 此时 ，∴ ， ， ， ∴椭圆 的标准方程为 ． （2）设过点 与圆 相切的直线方程为 ，即 ， ∵直线与圆 ： 相切，∴ ， 即得 ． 设两切线的斜率分别为 ， ，则 ， 设 ， ，由 ， ∴ ，即 ，∴ ； 同理： ， ； ( )0,0,0B 80, ,03A     8,0,03C      8 40, ,3 3D     4 4, ,03 3E     BCD ( ), ,x y z=n 0 0 BC BD   ⋅ = ⋅ =   n n 8 03 8 4 03 3 x y z   = +  =    2z = − ( )0,1, 2= −n BDE ( )1, 1,2= −m 5 30 65 6 −= = − × C BD E− − C BD E− − 30 6 P O PABS△ 1 2 2 32PABS ab ab= × = =△ 2 2 2 2 3 1 22 ab c aa a b c  =  = ⇒ =   − = 3b = 1c = O 2 2 14 3 x y+ = ( )2,0B E ( )2y k x= − 2 0kx y k− − = E ( )22 22x y r+ − = 2 2 2 1 kd r k − −= = + ( )2 2 24 8 4 0r k k r− + + − = 1k ( )2 1 2k k k≠ 1 2 1k k = ( )1 1,C x y ( )2 2,D x y ( ) ( )1 2 2 2 22 2 1 1 1 2 3 4 16 16 12 0 14 3 y k x k x k x kx y = −  ⇒ + − + − = + = 2 1 1 2 1 16 122 3 4 kx k −= + 2 1 1 2 1 8 6 3 4 kx k −= + 1 1 2 1 12 3 4 ky k −= + 2 2 2 1 2 2 2 2 1 8 6 8 6 3 4 4 3 k kx k k − −= = + + 2 1 2 2 2 2 1 12 12 3 4 4 3 k ky k k − −= = + + 江苏南通 10 ∴ ， ∴直线 的方程为 ． 整理得 ， ∴直线 恒过定点 ． 22．（1）证明：设 ，定义域为 ， 则 ． 当 时， ；当 时， ， 故 在 内是减函数，在 内是增函数， 所以 是 的极小值点，也是 的最小值点， 所以 ，所以 ． （2）解：函数 的定义域为 ， ， 当 时， ；当 时， ， 所以 在 内是减函数，在 内是增函数， 所以 是 的极小值点，也是 的最小值点， 即 ， 若 ，则 ， 当 时， ；当 时， ； ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 12 12 4 3 3 4 8 6 8 6 4 1 4 3 3 4 CD k k y y k k kK x x k k k k k − −− − + += = =− − − +− + + CD ( ) 2 1 1 1 2 22 1 11 12 8 6 3 4 3 44 1 k k ky x k kk  −+ = −  + ++   ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 1 1 1 7 14 4 1 2 1 4 1 k k ky x x k k k = − = − + + + CD ( )14,0 ( ) ( ) 21 1 11 ln 14x f x a xx x ϕ   = − − + = + −      ( )0,+∞ ( ) 2 2 1 1 1xx x x x ϕ′ −= − = 0 1x< < ( ) 0xϕ′ < 1x > ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ ( )0,1 ( )1,+∞ 1x = ( )xϕ ( )xϕ ( ) ( ) ( )min 1 0x xϕ ϕ ϕ≥ = = ( ) 21 1 14f x ax  ≥ − +   ( )f x ( )0,+∞ ( ) ( )( )2 3 2 3 3 2 1 11 1 1 2 1 2 2 2 2 x xx xf x x x x x x ′ + −− −= − − = = 0 1x< < ( ) 0f x′ < 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 1x = ( )f x ( )f x ( ) ( )min 1f x f a= = 0a = ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 3 11 1 3 2 44 4 x xf x g x xx x − +− = + − = − 0 1x< < ( ) ( )f x g x> 1x = ( ) ( )f x g x= 江苏南通 11 当 时， ． 所以 ，于是 只有一个零点 ． 当 ，则当 时， ，此时 ， 当 时， ， ，此时 ， 所以 没有零点． 当 ，则当 时，根据（1）可知， ， 而 ，所以 ， 又因为 ，所以 在 上有一个零点 ， 从而一定存在 ，使得 ， 即 ，所以 ． 当 时， ， 所以 ，从而 ， 于是 有两个零点 和 1． 故当 时， 有两个零点． 综上，当 时， 有一个零点，当 时， 没有零点，当 时， 有两 个零点． 1x > ( ) ( )f x g x< ( ) ( ) ( ) , 0 1 , 1 f x x h x g x x  < <=  ≥ ( )h x 1x = 0a > 0 1x< ≤ ( ) ( )f x g x> ( ) ( ) 0h x f x a= ≥ > 1x > ( ) 0f x a> > ( ) 0g x > ( ) 0h x > ( )h x 0a < 0 1x< < ( ) 21 1 14f x ax  ≥ − +   10 1 2 1a < < − + ( )21 1 2 1 1 042 1 f a a a   > − + − + = − +  ( ) ( )min 1 0f x f a= = < ( )f x ( )0,1 0x ( )0 1,c x∈ ( ) ( )f c g c= 2 1 1 3 02 44 acc + − + = 2 3 1 1 4 24 a cc − = + x c> ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 1 1 1 1 2 02 4 2 2 44 4 4 c x c xg x f x ax x c cx cxx x c − + − = − − + − = − − + + = − + >   ( ) ( )g x f x> ( ) ( ) ( ) , 0 , f x x c h x g x x c  < ≤=  > ( )h x 0x 0a < ( )h x 0a = ( )h x 0a > ( )h x 0a < ( )h x