2011年高考数学人教版湖北卷

2011年高考数学人教版湖北卷

‎2011年数学人教版湖北卷 一、选择题 ‎1、（湖北理2）已知,则=‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2、（湖北理6）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 ‎，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎3、（湖北理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量（单位：太贝克）与时间（单位：年）满足函数关系：，其中为时铯137的含量，已知时，铯137的含量的变化率是（太贝克/年），则 A. 5太贝克 B. 太贝克 C. 太贝克 D. 150太贝克 ‎4、（湖北理9）若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的 ‎ A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 ‎ C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件 二、填空题 ‎5、（湖北文15）里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。‎ 三、解答题 ‎6、（湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为‎60千米/小时．研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的表达式；‎ ‎（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）‎ 本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.‎ ‎7、（湖北理21）（Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设…，均为正数，证明：‎ ‎（1）若……，则；‎ ‎（2）若…=1，则…+。‎ ‎8、（湖北文20）设函数，，其中，a、b为常数，已知曲线与在点（2,0）处有相同的切线。‎ ‎(I) 求a、b的值，并写出切线的方程；‎ ‎(II)若方程有三个互不相同的实根0、、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。‎ 四、选择题 ‎9、湖北文将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则 ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ 五、填空题 ‎10、过点（—1,—2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为__________。‎ 六、选择题 ‎11、（湖北理4）将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则 ‎ A．n=0 B．n=‎1 ‎ C． n=2 D．n 3‎ 七、填空题 ‎12、（湖北理14）如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴一与轴重合）所在的平面为，。‎ ‎（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的 坐标为 ；‎ ‎（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。‎ ‎13、（湖北理14）如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴一与轴重合）所在的平面为，。‎ ‎（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的 坐标为 （2，2） ；‎ ‎（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。‎ 八、解答题 ‎14、（湖北理18） ‎ 如图，已知正三棱柱的各棱长都是4，是的中点，动点在侧棱上，且不与点重合．‎ ‎（Ⅰ）当=1时，求证：⊥；‎ ‎（Ⅱ）设二面角的大小为，求的最小值．‎ ‎15、（湖北理20） ‎ 平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；‎ ‎（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）‎ 九、选择题 ‎16、湖北文5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为 ‎ A．18 B．36‎ ‎ C．54 D．72‎ 十、填空题 ‎17、湖北文13．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________。（结果用最简分数表示）‎ ‎18、湖北文11．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。‎ 十一、选择题 ‎19、湖北理7．如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为 ‎ A．0．960 B．0．‎864 ‎ C．0．720 D．0．576‎ ‎20、（湖北理5）已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝‎ ‎ Ａ．0．6 B．0．‎4 ‎ C．0．3 D．0．2‎ ‎21、（湖北理7）如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为 ‎ A．0．960 B．0．‎864 ‎ C．0．720 D．0．576‎ ‎22、湖北理5．已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝‎ ‎ Ａ．0．6 B．0．‎4 ‎ C．0．3 D．0．2‎ ‎23、如图，用三类不同的元件连接成一个系统，正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知正常工作的概率依次为、、，则系统正常工作的概率为 K A1‎ A2‎ A. B. C. D. ‎ ‎24、湖北理5.已知随机变量服从正态分布，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎25、湖北文 有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间内的频数为 ‎ ‎ A．18 B．36‎ ‎ C．54 D．72‎ 十二、填空题 ‎26、（湖北理12）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示）‎ ‎27、湖北理12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示）‎ ‎28、某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家。为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家。‎ ‎29、湖北理15．给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：‎ 由此推断，当时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种，（结果用数值表示）‎ ‎30、n=1‎ n=2‎ n=3‎ n=4‎ 给个则上而下相连的正方形着黑色或白色.当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当时，黑色正方形互不相邻着色方案共 有 种，至少有两个黑色正方形相邻着色方案共 有 种.（结果用数值表示）‎ ‎31、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为 .（结果用最简分数表示）‎ ‎32、在展开式中含的项的系数为 .（结果用数值表示）‎ 十三、选择题 ‎33、（湖北理3）已知函数，若，则x的取值范围为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 十四、解答题 ‎34、（湖北理16）‎ 设的内角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，已知 ‎（Ⅰ）求的周长 ‎（Ⅱ）求的值 本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）‎ 十五、选择题 ‎35、（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥  b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为 ‎ A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]‎ ‎36、（湖北理8）已知向量a=（x+z,3）,b=（2,y-z），且a⊥  b．若x,y满足不等式，则z的取值范围为 ‎ A．[-2，2] B．[-2，3] C．[-3，2] D．[-3，3]‎ ‎37、已知定义在R上的奇函数和偶函数满足 ‎，若，则 A. B. C. D. ‎ ‎38、若实数a,b满足且，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的 ‎ A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件 ‎ C．充要条件 D．即不充分也不必要的条件 ‎39、（湖北理1）为虚数单位，则=‎ ‎ A．- B．‎-1 ‎ C． D．1‎ ‎40、已知，，则 A. B. C. D. ‎ ‎41、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量。已知t=30时，铯137含量的变化率是‎-10In2（太贝克／年），则M（60）=‎ ‎ A．5太贝克 B．‎75In2太贝克 ‎ C．‎150In2太贝克 D．150太贝克 ‎42、为虚数单位，则 A. B. C. D.‎ ‎43、若实数满足，且，则称与互补，记 ‎，那么是与互补 A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 ‎44、已知则 A. B. C. D.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A ‎2、B ‎【解析】由条件，，即 ‎，由此解得，，‎ 所以，，所以选B.‎ ‎3、D ‎【解析】因为，则，解得，所以，那么 ‎（太贝克），所以选D.‎ ‎4、C 二、填空题 ‎5、6，10000‎ 三、解答题 ‎6、解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设，显然在是减函数，由已知得，解得 故函数的表达式为=‎ ‎（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得 当时，为增函数，故当时，其最大值为；‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，等号成立．‎ 所以，当时，在区间上取得最大值．‎ 综上，当时，在区间上取得最大值，‎ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．‎ ‎7、解：（Ⅰ）的定义域为，令，‎ 在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值 ‎（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知当时有即，‎ ‎∵，∴‎ ‎∵∴即 ‎（2）①先证，令，则 由（1）知 ‎∴；‎ ‎②再证…+，记 则于是由（1）得 所以…+。综合①②，（2）得证 ‎8、解：(I)，由于曲线曲线与在点（2,0）处有相同的切线，故有，由此解得：；‎ 切线的方程：‘‎ ‎(II)由(I)得，依题意得：方程有三个互不相等的根 ‎，故是方程的两个相异实根，所以 ‎；‎ 又对任意的，恒成立，特别地，取时，‎ 成立，即，由韦达定理知：，故，对任意的，有，则：‎ ‎；又 所以函数在上的最大值为0，于是当时对任意的，恒成立；综上：的取值范围是。‎ 四、选择题 ‎9、 C 五、填空题 ‎10、1或 六、选择题 ‎11、C 七、填空题 ‎12、（2，2） ‎ ‎13、‎ 八、解答题 ‎14、本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）‎ ‎ 解法1：过E作于N，连结EF。‎ ‎ （I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，‎ ‎ 底面ABC侧面A‎1C。‎ ‎ 又度面侧面A，C=AC，且底面ABC，‎ ‎ 所以侧面A‎1C，NF为EF在侧面A‎1C内的射影，‎ 在中，=1，‎ 则由，得NF//AC1，‎ 又故。‎ 由三垂线定理知 ‎（II）如图2，连结AF，过N作于M，连结ME。‎ 由（I）知侧面A‎1C，根据三垂线定理得 所以是二面角C—AF—E的平面角，即，‎ 设 在中，‎ 在 故 又 故当时，达到最小值；‎ ‎，此时F与C1重合。‎ 解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得 于是 则 故 ‎（II）设，‎ 平面AEF的一个法向量为，‎ 则由（I）得F（0，4，）‎ ‎，于是由可得 取 ‎ 又由直三棱柱的性质可取侧面AC1的一个法向量为，‎ ‎ 于是由为锐角可得，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 由，得，即 ‎ 故当，即点F与点C1重合时，取得最小值 ‎15、解：（I）设动点为M，其坐标为，‎ ‎ 当时，由条件可得 即，‎ 又的坐标满足 故依题意，曲线C的方程为 当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ 当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。‎ ‎（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为 当时，‎ C2的两个焦点分别为 对于给定的，‎ C1上存在点使得的充要条件是 ‎②‎ ‎①‎ 由①得由②得 当 或时，‎ 存在点N，使S=|m|a2；‎ 当 或时，‎ 不存在满足条件的点N，‎ 当时，‎ 由，‎ 可得 令，‎ 则由，‎ 从而，‎ 于是由，‎ 可得 综上可得：‎ 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，存在点N，使得 当时，在C1上，不存在满足条件的点N。‎ 九、选择题 ‎16、B 十、填空题 ‎17、 ‎ ‎18、20‎ 十一、选择题 ‎19、B ‎20、C ‎21、B ‎22、C ‎23、【答案】B 解析：至少有一个正常工作的概率为 ‎，‎ 系统正常工作概率为，所以选B.‎ ‎24、【答案】C x y O ‎4‎ ‎2‎ 解析：‎ 如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于 直线对称，所以，并且 则 所以选C.‎ ‎25、B 十二、填空题 ‎26、‎ ‎27、‎ ‎28、20‎ ‎29、21，43‎ ‎30、‎ 解析：设个正方形时黑色正方形互不相邻的着色方案数 为，由图可知，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由此推断，，故黑色正方形互不相邻着色方案共有21种；由于给6个正方形着黑色或白色，每一个小正方形有2种方法，所以一共有种方法，由于黑色正方形互不相邻着色方案共有21 种，所以至少有两个黑色正方形相邻着色方案共有种着色方案，故分别 填.‎ ‎31、‎ 解析：从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，从这30瓶饮料中任取2瓶，没有取到1瓶已过了保质期饮料为事件B，则A与B是对立事件，因为 ‎，所以，所以填.‎ ‎32、17‎ ‎【解析】二项式展开式的通项公式为，令，含的项的系数为，故填17.‎ 十三、选择题 ‎33、B 十四、解答题 ‎34、解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ 的周长为 ‎ （Ⅱ）‎ ‎ ‎ ‎ ，故A为锐角，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 十五、选择题 ‎35、D ‎36、D ‎37、【答案】B 解析：由条件，，即 ‎，由此解得，，‎ 所以，，所以选B.‎ ‎38、C ‎39、A ‎40、【答案】A ‎41、D ‎42、【答案】A ‎43、【答案】C ‎44、A