2016年四川省高考数学试卷（文科）

2016年四川省高考数学试卷（文科）

2016 年四川省高考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5 分）设 i 为虚数单位，则复数（1+i）2=（ ） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 2．（5 分）设集合 A={x|1≤x≤5}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元素的个数是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（5 分）抛物线 y2=4x 的焦点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0） 4．（5 分）为了得到函数 y=sin（x+ ）的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所 有的点（ ） A．向左平行移动 个单位长度B．向右平行移动 个单位长度 C．向上平行移动 个单位长度 D．向下平行移动 个单位长度 5．（5 分）设 p：实数 x，y 满足 x＞1 且 y＞1，q：实数 x，y 满足 x+y＞2，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5 分）已知 a 为函数 f（x）=x3﹣12x 的极小值点，则 a=（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 7．（5 分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司 2015 年 全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（ ） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 8．（5 分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在 所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（ ） A．35 B．20 C．18 D．9 9．（5 分）已知正三角形 ABC 的边长为 2 ，平面 ABC 内的动点 P，M 满足| |=1， = ，则| |2 的最大值是（ ） A． B． C． D． 10．（5 分）设直线 l1，l2 分别是函数 f（x）= 图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．（5 分）sin750°= ． 12．（5 分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ． 13．（5 分）从 2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为 a，b，则 logab 为 整数的概率是 ． 14．（5 分）若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f（x） =4x，则 f（﹣ ）+f（2）= ． 15．（5 分）在平面直角坐标系中，当 P（x，y）不是原点时，定义 P 的“伴随点” 为 P′（ ， ），当 P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命 题：  ①若点 A 的“伴随点”是点 A′，则点 A′的“伴随点”是点 A． ‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上． ƒ③若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是 ． 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对 居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 （单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成 9 组，制成了如 图所示的频率分布直方图． （I）求直方图中的 a 值； （II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．说明 理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数． 17．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°， BC=CD= AD． （I）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由； （II）证明：平面 PAB⊥平面 PBD． 18．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 + = ． （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若 b2+c2﹣a2= bc，求 tanB． 19．（12 分）已知数列{an}的首项为 1，Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn+1=qSn+1， 其中 q＞0，n ∈ N+ （Ⅰ）若 a2，a3，a2+a3 成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 en，且 e2=2，求 e12+e22+…+en2． 20．（13 分）已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点 是正三角形的三个顶点，点 P（ ， ）在椭圆 E 上． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC ︳•︳MD︳ 21．（14 分）设函数 f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）= ﹣ ，其中 a ∈ R，e=2.718… 为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）证明：当 x＞1 时，g（x）＞0； （Ⅲ）确定 a 的所有可能取值，使得 f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立． 2016 年四川省高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（5 分）（2016•四川）设 i 为虚数单位，则复数（1+i）2=（ ） A．0 B．2 C．2i D．2+2i 【分析】利用复数的运算法则即可得出． 【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i， 故选：C． 2．（5 分）（2016•四川）设集合 A={x|1≤x≤5}，Z 为整数集，则集合 A∩Z 中元 素的个数是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】利用交集的运算性质即可得出． 【解答】解：∵集合 A={x|1≤x≤5}，Z 为整数集， 则集合 A∩Z={1，2，3，4，5}． ∴集合 A∩Z 中元素的个数是 5． 故选：B． 3．（5 分）（2016•四川）抛物线 y2=4x 的焦点坐标是（ ） A．（0，2） B．（0，1） C．（2，0） D．（1，0） 【分析】根据抛物线的标准方程及简单性质，可得答案． 【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦点坐标是（1，0）， 故选：D 4．（5 分）（2016•四川）为了得到函数 y=sin（x+ ）的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点（ ） A．向左平行移动 个单位长度B．向右平行移动 个单位长度 C．向上平行移动 个单位长度 D．向下平行移动 个单位长度 【分析】根据函数图象平移“左加右减“的原则，结合平移前后函数的解析式，可 得答案． 【解答】解：由已知中平移前函数解析式为 y=sinx， 平移后函数解析式为：y=sin（x+ ）， 可得平移量为向左平行移动 个单位长度， 故选：A 5．（5 分）（2016•四川）设 p：实数 x，y 满足 x＞1 且 y＞1，q：实数 x，y 满足 x+y＞2，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】由 x＞1 且 y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立，例如取 x=3，y= ． 【解答】解：由 x＞1 且 y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取 x=3，y= ． ∴p 是 q 的充分不必要条件． 故选：A． 6．（5 分）（2016•四川）已知 a 为函数 f（x）=x3﹣12x 的极小值点，则 a=（ ） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 【分析】可求导数得到 f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出 f（x）的 极小值点，从而得出 a 的值． 【解答】解：f′（x）=3x2﹣12； ∴x＜﹣2 时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2 时，f′（x）＜0，x＞2 时，f′（x）＞0； ∴x=2 是 f（x）的极小值点； 又 a 为 f（x）的极小值点； ∴a=2． 故选 D． 7．（5 分）（2016•四川）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该 公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比 上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （ ） （参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30） A．2018 年 B．2019 年 C．2020 年 D．2021 年 【分析】设第 n 年开始超过 200 万元，可得 130×（1+12%）n﹣2015＞200，两边 取对数即可得出． 【解答】解：设第 n 年开始超过 200 万元， 则 130×（1+12%）n﹣2015＞200， 化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3， n﹣2015＞ =3.8． 取 n=2019． 因此开始超过 200 万元的年份是 2019 年． 故选：B． 8．（5 分）（2016•四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳 县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是 比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个 实例，若输入 n，x 的值分别为 3，2，则输出 v 的值为（ ） A．35 B．20 C．18 D．9 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的 x=2，n=3， 故 v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1， 满足进行循环的条件，v=9，i=0， 满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1 不满足进行循环的条件， 故输出的 v 值为： 故选：C 9．（5 分）（2016•四川）已知正三角形 ABC 的边长为 2 ，平面 ABC 内的动点 P， M 满足| |=1， = ，则| |2 的最大值是（ ） A． B． C． D． 【分析】如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C ．A ．点 P 的轨迹方程为： =1，令 x= +cosθ，y=3+sinθ，θ ∈ [0，2π）．又 = ，可得 M ，代入| |2= +3sin ， 即可得出． 【解答】解：如图所示，建立直角坐标系． B（0，0），C ． A ． ∵M 满足| |=1， ∴点 P 的轨迹方程为： =1， 令 x= +cosθ，y=3+sinθ，θ ∈ [0，2π）． 又 = ，则 M ， ∴| |2= + = +3sin ≤ ． ∴| |2 的最大值是 ． 故选：B． 10．（5 分）（2016•四川）设直线 l1，l2 分别是函数 f（x）= 图象 上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A， B，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D．（1，+∞） 【分析】设出点 P1，P2 的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线 l1 与 l2 的斜 率，由两直线垂直求得 P1，P2 的横坐标的乘积为 1，再分别写出两直线的点斜式 方程，求得 A，B 两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得 P 的横坐标， 然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB 的面积的取值范围． 【解答】解：设 P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2）， 当 0＜x＜1 时，f′（x）= ，当 x＞1 时，f′（x）= ， ∴l1 的斜率 ，l2 的斜率 ， ∵l1 与 l2 垂直，且 x2＞x1＞0， ∴ ，即 x1x2=1． 直线 l1： ，l2： ． 取 x=0 分别得到 A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2）， |AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2． 联立两直线方程可得交点 P 的横坐标为 x= ， ∴ |AB|•|xP|= = ． ∵函数 y=x+ 在（0，1）上为减函数，且 0＜x1＜1， ∴ ，则 ， ∴ ． ∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）． 故选：A． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11．（5 分）（2016•四川）sin750°= ． 【分析】利用终边相同角的诱导公式及特殊角的三角函数值即可得答案． 【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°= ， 故答案为： ． 12．（5 分）（2016•四川）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积 是 ． 【分析】几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，棱锥的高为 1，代入体积公式 计算即可． 【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积 S= = ，棱锥的高为 h=1， ∴棱锥的体积 V= Sh= = ． 故答案为： ． 13．（5 分）（2016•四川）从 2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为 a，b， 则 logab 为整数的概率是 ． 【分析】由已知条件先求出基本事件总数，再利用列举法求出 logab 为整数满足 的基本事件个数，由此能求出 logab 为整数的概率． 【解答】解：从 2，3，8，9 中任取两个不同的数字，分别记为 a，b， 基本事件总数 n= =12， logab 为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共 2 个， ∴logab 为整数的概率 p= ． 故答案为： ． 14．（5 分）（2016•四川）若函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 ＜x＜1 时，f（x）=4x，则 f（﹣ ）+f（2）= ﹣2 ． 【分析】根据函数奇偶性和周期性的性质将条件进行转化求解即可． 【解答】解：∵函数 f（x）是定义 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜x＜1 时，f （x）=4x， ∴f（2）=f（0）=0， f（﹣ ）=f（﹣ +2）=f（﹣ ）=﹣f（ ）=﹣ =﹣ =﹣2， 则 f（﹣ ）+f（2）=﹣2+0=﹣2， 故答案为：﹣2． 15．（5 分）（2016•四川）在平面直角坐标系中，当 P（x，y）不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P′（ ， ），当 P 是原点时，定义“伴随点”为它自身， 现有下列命题：  ①若点 A 的“伴随点”是点 A′，则点 A′的“伴随点”是点 A． ‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上． ƒ③若两点关于 x 轴对称，则他们的“伴随点”关于 y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是 ②③ ． 【分析】根据“伴随点”的定义，分别进行判断即可，对应不成立的命题，利用特 殊值法进行排除即可． 【解答】解：①设 A（0，1），则 A 的“伴随点”为 A′（1，0）， 而 A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是 A，故①错误， ②若点在单位圆上，则 x2+y2=1， 即 P（x，y）不是原点时，定义 P 的“伴随点”为 P（y，﹣x）， 满足 y2+（﹣x）2=1，即 P′也在单位圆上，故②正确， ③若两点关于 x 轴对称，设 P（x，y），对称点为 Q（x，﹣y）， 则 Q（x，﹣y）的“伴随点”为 Q′（﹣ ， ）， 则 Q′（﹣ ， ）与 P′（ ， ）关于 y 轴对称，故③正确， ④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线 y=1 上， ∴（﹣1，1）的“伴随点”为（ ， ），即（ ， ）， （0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1 的“伴随点”为（ ，﹣ ），即（ ， ﹣ ）， 则（ ， ），（1，0），（ ，﹣ ）三点不在同一直线上，故④错误， 故答案为：②③ 三、解答题（共 6 小题，满分 75 分） 16．（12 分）（2016•四川）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的 节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人 的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图． （I）求直方图中的 a 值； （II）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数．说明 理由； （Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数． 【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出 9 个矩形 的面积即频率，再根据直方图的总频率为 1 求出 a 的值； （II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于 3 吨的频率，结合 样本容量为 30 万，进而得解． （Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的 值． 【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理 可得：2=1.4+2a， ∴解得：a=0.3． （II）估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 3.6 万，理由如下： 由 已 知 中 的 频 率 分 布 直 方 图 可 得 月 均 用 水 量 不 低 于 3 吨 的 频 率 为 （0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12， 又样本容量=30 万， 则样本中月均用水量不低于 3 吨的户数为 30×0.12=3.6 万． （Ⅲ）根据频率分布直方图，得； 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5， ∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数 x， 令 0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5， 解得 x=0.06； ∴中位数是 2+0.06=2.06． 17．（12 分）（2016•四川）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD． （I）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM∥平面 PAB，并说明理由； （II）证明：平面 PAB⊥平面 PBD． 【分析】（I）M 为 PD 的中点，直线 CM∥平面 PAB．取 AD 的中点 E，连接 CM， ME，CE，则 ME∥PA，证明平面 CME∥平面 PAB，即可证明直线 CM∥平面 PAB； （II）证明：BD⊥平面 PAB，即可证明平面 PAB⊥平面 PBD． 【解答】证明：（I）M 为 PD 的中点，直线 CM∥平面 PAB． 取 AD 的中点 E，连接 CM，ME，CE，则 ME∥PA， ∵ME ⊄ 平面 PAB，PA ⊂ 平面 PAB， ∴ME∥平面 PAB． ∵AD∥BC，BC=AE， ∴ABCE 是平行四边形， ∴CE∥AB． ∵CE ⊄ 平面 PAB，AB ⊂ 平面 PAB， ∴CE∥平面 PAB． ∵ME∩CE=E， ∴平面 CME∥平面 PAB， ∵CM ⊂ 平面 CME， ∴CM∥平面 PAB； （II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB 与 CD 相交， ∴PA⊥平面 ABCD， ∵BD ⊂ 平面 ABCD， ∴PA⊥BD， 由（I）及 BC=CD= AD，可得∠BAD=∠BDA=45°， ∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB， ∵PA∩AB=A， ∴BD⊥平面 PAB， ∵BD ⊂ 平面 PBD， ∴平面 PAB⊥平面 PBD． 18．（12 分）（2016•四川）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c， 且 + = ． （Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC； （Ⅱ）若 b2+c2﹣a2= bc，求 tanB． 【分析】（Ⅰ）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用正弦定 理，即可证明． （Ⅱ）由余弦定理求出 A 的余弦函数值，利用（Ⅰ）的条件，求解 B 的正切函 数值即可． 【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC 中，∵ + = ， ∴由正弦定理得： ， ∴ = ， ∵sin（A+B）=sinC． ∴整理可得：sinAsinB=sinC， （Ⅱ）解：b2+c2﹣a2= bc，由余弦定理可得 cosA= ． sinA= ， = + = =1， = ， tanB=4． 19．（12 分）（2016•四川）已知数列{an}的首项为 1，Sn 为数列{an}的前 n 项和， Sn+1=qSn+1，其中 q＞0，n ∈ N+ （Ⅰ）若 a2，a3，a2+a3 成等差数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设双曲线 x2﹣ =1 的离心率为 en，且 e2=2，求 e12+e22+…+en2． 【分析】（Ⅰ）根据题意，由数列的递推公式可得 a2 与 a3 的值，又由 a2，a3，a2+a3 成等差数列，可得 2a3=a2+（a2+a3），代入 a2 与 a3 的值可得 q2=2q，解可得 q 的值， 进而可得 Sn+1=2Sn+1，进而可得 Sn=2Sn﹣1+1，将两式相减可得 an=2an﹣1，即可得数 列{an}是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答 案； （Ⅱ）根据题意 Sn+1=qSn+1，同理有 Sn=qSn﹣1+1，将两式相减可得 an=qan﹣1，分析 可得 an=qn ﹣ 1 ；又由双曲线 x2 ﹣ =1 的离心率为 en ，且 e2=2，分析可得 e2= =2， 解可得 a2 的值，由 an=qn﹣1 可得 q 的值，进而可得数列{an}的通项公式，再次由 双曲线的几何性质可得 en2=1+an2=1+3n﹣1，运用分组求和法计算可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{an}的首项为 1，即 a1=1， 又由 Sn+1=qSn+1，则 S2=qa1+1，则 a2=q， 又有 S3=qS2+1，则有 a3=q2， 若 a2，a3，a2+a3 成等差数列，即 2a3=a2+（a2+a3）， 则可得 q2=2q，（q＞0）， 解可得 q=2， 则有 Sn+1=2Sn+1，① 进而有 Sn=2Sn﹣1+1，② ①﹣②可得 an=2an﹣1， 则数列{an}是以 1 为首项，公比为 2 的等比数列， 则 an=1×2n﹣1=2n﹣1； （Ⅱ）根据题意，有 Sn+1=qSn+1，③ 同理可得 Sn=qSn﹣1+1，④ ③﹣④可得：an=qan﹣1， 又由 q＞0， 则数列{an}是以 1 为首项，公比为 q 的等比数列，则 an=1×qn﹣1=qn﹣1； 若 e2=2，则 e2= =2， 解可得 a2= ， 则 a2=q= ，即 q= ， an=1×qn﹣1=qn﹣1=（ ）n﹣1， 则 en2=1+an2=1+3n﹣1， 故 e12+e22+…+en2=n+（1+3+32+…+3n﹣1）=n+ ． 20．（13 分）（2016•四川）已知椭圆 E： + =1（a＞b＞0）的一个焦点与短 轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 P（ ， ）在椭圆 E 上． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 与椭圆 E 交于 C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC ︳•︳MD︳ 【分析】（Ⅰ）由题意可得 a=2b，再把已知点的坐标代入椭圆方程，结合隐含条 件求得 a，b 得答案； （Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及 AB 中点坐标，得到 OM 所 在直线方程，再与椭圆方程联立，求出 C，D 的坐标，把︳MA︳•︳MB︳化为 ，再由两点间的距离公式求得︳MC︳•︳MD︳的值得答案． 【解答】（Ⅰ）解：如图， 由题意可得 ，解得 a2=4，b2=1， ∴椭圆 E 的方程为 ； （Ⅱ）证明：设 AB 所在直线方程为 y= ， 联立 ，得 x2+2mx+2m2﹣2=0． ∴△=4m2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，即 ． 设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 则 ， |AB|= = ． ∴x0=﹣m， ，即 M（ ）， 则 OM 所在直线方程为 y=﹣ ， 联立 ，得 或 ． ∴C（﹣ ， ），D（ ，﹣ ）． 则︳MC︳•︳MD︳= = = ． 而︳MA︳•︳MB︳= （10﹣5m2）= ． ∴︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳． 21．（14 分）（2016•四川）设函数 f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）= ﹣ ，其中 a ∈ R，e=2.718…为自然对数的底数． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）证明：当 x＞1 时，g（x）＞0； （Ⅲ）确定 a 的所有可能取值，使得 f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立． 【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）要证 g（x）＞0（x＞1），即 ﹣ ＞0，即证 ，也就是证 ； （ Ⅲ ） 由 f （ x ） ＞ g （ x ）， 得 ， 设 t （ x ） = ，由题意知，t（x）＞0 在（1，+∞）内恒成立，再构 造函数，求导数，即可确定 a 的取值范围． 【解答】（Ⅰ）解：由 f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得 f′（x）=2ax﹣ = （x＞0）， 当 a≤0 时，f′（x）＜0 在（0，+∞）成立，则 f（x）为（0，+∞）上的减函数； 当 a＞0 时，由 f′（x）=0，得 x= = ， ∴当 x ∈ （0， ）时，f′（x）＜0，当 x ∈ （ ，+∞）时，f′（x）＞0， 则 f（x）在（0， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数； 综上，当 a≤0 时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当 a＞0 时，f（x）在（0， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数； （Ⅱ）证明：要证 g（x）＞0（x＞1），即 ﹣ ＞0， 即证 ，也就是证 ， 令 h（x）= ，则 h′（x）= ， ∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则 h（x）min=h（1）=e， 即当 x＞1 时，h（x）＞e，∴当 x＞1 时，g（x）＞0； （Ⅲ）解：由 f（x）＞g（x），得 ， 设 t（x）= ， 由题意知，t（x）＞0 在（1，+∞）内恒成立， ∵t（1）=0， ∴有 t′（x）=2ax = ≥0 在（1，+∞）内恒成立， 令φ（x）= ， 则φ′（x）=2a = ， 当 x≥2 时，φ′（x）＞0， 令 h（x）= ，h′（x）= ，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min=h （1）=﹣1． 又 2a≥1，e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0， 综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增， ∴t′（x）＞t′（1）≥0，即 t（x）在区间（1，+∞）单调递增， ∴a≥ ．