2012年安徽省高考数学试卷(理科)

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2012年安徽省高考数学试卷(理科)

‎2012年安徽省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.(5分)复数z满足(z﹣i)(2﹣i)=5.则z=(  )‎ A.﹣2﹣2i B.﹣2+2i C.2﹣2i D.2+2i ‎2.(5分)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是(  )‎ A.f(x)=|x| B.f (x)=x﹣|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=﹣x ‎3.(5分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.8‎ ‎4.(5分)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎5.(5分)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(  )‎ A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎6.(5分)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.(5分)(x2+2)()5的展开式的常数项是(  )‎ A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3‎ ‎8.(5分)在平面直角坐标系中,点0(0,0),P(6,8),将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是(  )‎ A.(﹣7,﹣) B.(﹣7,) C.(﹣4,﹣2) D.(﹣4,2)‎ ‎9.(5分)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎10.(5分)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(  )‎ A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11.(5分)若x,y满足约束条件,则x﹣y的取值范围是  .‎ ‎12.(5分)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是  .‎ ‎13.(5分)在极坐标系中,圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρ∈R)的距离是  .‎ ‎14.(5分)若平面向量满足|2|≤3,则的最小值是  .‎ ‎15.(5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是  (写出所有正确命题的编号).‎ ‎①若ab>c2,则C<‎ ‎②若a+b>2c,则C<‎ ‎③若a3+b3=c3,则C<‎ ‎④若(a+b)c≤2ab,则C>‎ ‎⑤若(a2+b2)c2≤2a2b2,则C>.‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ ‎16.(12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R,有g(x+)=g(x),且当x∈[0,]时,g(x)=﹣f(x),求g(x)在区间[﹣π,0]上的解析式.‎ ‎17.(12分)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n+m道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.‎ ‎(Ⅰ)求X=n+2的概率;‎ ‎(Ⅱ)设m=n,求X的分布列和均值(数学期望)‎ ‎18.(12分)平面图形ABB1A1C1C如图4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=,A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A2A,A2B,A2C,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.‎ ‎(Ⅰ)证明:AA1⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求AA1的长;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值.‎ ‎19.(13分)设函数f(x)=aex++b(a>0).‎ ‎(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;‎ ‎(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=,求a,b的值.‎ ‎20.(13分)如图,点F1(﹣c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:(a>b>0)的左右焦点,经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q.‎ ‎(Ⅰ)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.‎ ‎21.(13分)数列{xn}满足x1=0,xn+1=﹣x2n+xn+c(n∈N*).‎ ‎(Ⅰ)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;‎ ‎(Ⅱ)求c的取值范围,使{xn}是递增数列.‎ ‎ ‎ ‎2012年安徽省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.(5分)(2012•安徽)复数z满足(z﹣i)(2﹣i)=5.则z=(  )‎ A.﹣2﹣2i B.﹣2+2i C.2﹣2i D.2+2i ‎【分析】复数的乘法转化为除法,化简复数方程,利用复数的分子分母同乘分母的共轭复数,然后整理即可.‎ ‎【解答】解:(z﹣i)(2﹣i)=5⇒z﹣i=⇒z=+i=+i=+i=2+2i.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2012•安徽)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是(  )‎ A.f(x)=|x| B.f (x)=x﹣|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=﹣x ‎【分析】分别根据函数解析式求出f(2x)与2f(x),看其是否相等,从而可得到所求.‎ ‎【解答】解:f(x)=|x|,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x),故满足条件;‎ f(x)=x﹣|x|,f(2x)=2x﹣|2x|=2(x﹣|x|)=2f(x),故满足条件;‎ f(x)=x+1,f(2x)=2x+1≠2(x+1)=2f(x),故不满足条件;‎ f(x)=﹣x,f(2x)=﹣2x=2(﹣x)=2f(x),故满足条件;‎ 故选C ‎ ‎ ‎3.(5分)(2012•安徽)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.8‎ ‎【分析】列出循环中x,y的对应关系,不满足判断框结束循环,推出结果.‎ ‎【解答】解:由题意循环中x,y的对应关系如图:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 当x=8时不满足循环条件,退出循环,输出y=4.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2012•安徽)公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16=(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【分析】由公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,知,故a7=4,=32,由此能求出log2a16.‎ ‎【解答】解:∵公比为的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,‎ ‎∴,‎ ‎∴a7=4,‎ ‎∴=32,‎ ‎∴log2a16=log232=5.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2012•安徽)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则(  )‎ A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 ‎【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数,然后利用方差公式求出甲与乙的方差,从而可得到结论.‎ ‎【解答】解:=×(4+5+6+7+8)=6,‎ ‎=×(5+5+5+6+9)=6,‎ 甲的成绩的方差为×(22×2+12×2)=2,‎ 以的成绩的方差为×(12×3+32×1)=2.4.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2012•安徽)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的(  )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵b⊥m,∴当α⊥β,则由面面垂直的性质可得a⊥b成立,‎ 若a⊥b,则α⊥β不一定成立,‎ 故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2012•安徽)(x2+2)()5的展开式的常数项是(  )‎ A.﹣3 B.﹣2 C.2 D.3‎ ‎【分析】(x2+2)()5的展开式的常数项是第一个因式取x2,第二个因式取;第一个因式取2,第二个因式取(﹣1)5,故可得结论.‎ ‎【解答】解:第一个因式取x2,第二个因式取,可得=5;‎ 第一个因式取2,第二个因式取(﹣1)5,可得2×(﹣1)5=﹣2‎ ‎∴(x2+2)()5的展开式的常数项是5+(﹣2)=3‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2012•安徽)在平面直角坐标系中,点0(0,0),P(6,8),将向量绕点O逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是(  )‎ A.(﹣7,﹣) B.(﹣7,) C.(﹣4,﹣2) D.(﹣4,2)‎ ‎【分析】由点0(0,0),P(6,8),知,设,则cosθ=,sinθ=,由向量绕点逆时针方向旋转后得向量,由此能求出结果.‎ ‎【解答】解:∵点0(0,0),P(6,8),‎ ‎∴,‎ 设,‎ 则cosθ=,sinθ=,‎ ‎∵向量绕点逆时针方向旋转后得向量,‎ 设Q(x,y),则x=10cos(θ+)=10(cosθcos﹣sinθsin)=﹣7,‎ y=10sin(θ+)=10(sinθcos+cosθsin)=﹣,‎ ‎∴=(﹣7,﹣).‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2012•安徽)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【分析】设直线AB的倾斜角为θ,利用|AF|=3,可得点A到准线l:x=﹣1的距离为3,从而cosθ=,进而可求|BF|,|AB|,由此可求AOB的面积.‎ ‎【解答】解:设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π)及|BF|=m,‎ ‎∵|AF|=3,‎ ‎∴点A到准线l:x=﹣1的距离为3‎ ‎∴2+3cosθ=3‎ ‎∴cosθ=‎ ‎∵m=2+mcos(π﹣θ)‎ ‎∴‎ ‎∴△AOB的面积为S==‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2012•安徽)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为(  )‎ A.1或3 B.1或4 C.2或3 D.2或4‎ ‎【分析】由题意,,再分类讨论:仅有甲与乙,丙没交换纪念品;仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,即可得出收到4份纪念品的同学人数.‎ ‎【解答】解:由题意,‎ ‎①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ‎②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人 综上所述,收到4份纪念品的同学人数为2或4人 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11.(5分)(2012•安徽)若x,y满足约束条件,则x﹣y的取值范围是 [﹣3,0] .‎ ‎【分析】画出约束条件表示的可行域,推出三角形的三个点的坐标,直接求出z=x﹣y的范围.‎ ‎【解答】解:约束条件,表示的可行域如图,‎ 由解得A(0,3)、‎ 由解得B(0,)、‎ 由解得C(1,1);‎ 结合函数的图形可知,当直线y=x﹣z平移到A时,截距最大,z最小;当直线y=x﹣z平移到B时,截距最小,z最大 所以z=x﹣y在A点取得最小值,在C点取得最大值,‎ 最大值是1﹣1=0,最小值是0﹣3=﹣3;‎ 所以z=x﹣y的范围是[﹣3,0].‎ 故答案为:[﹣3,0]‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2012•安徽)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 92 .‎ ‎【分析】判断几何体的形状,利用三视图的数据,求出几何体的表面积即可.‎ ‎【解答】解:几何体是底面为直角梯形高为4的直四棱柱,S上=S下=;S侧=.‎ 几何体的表面积为 S==92.‎ 故答案为:92.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2012•安徽)在极坐标系中,圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρ∈R)的距离是  .‎ ‎【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程,再用点到直线的距离公式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:圆ρ=4sinθ化为直角坐标方程为x2+(y﹣2)2=4‎ 直线θ=化为直角坐标方程为x﹣y=0‎ ‎∴圆心到直线的距离是 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2012•安徽)若平面向量满足|2|≤3,则的最小值是 ﹣ .‎ ‎【分析】由平面向量满足|2|≤3,知,故≥=4||||≥﹣4,由此能求出的最小值.‎ ‎【解答】解:∵平面向量满足|2|≤3,‎ ‎∴,‎ ‎∴≥=4||||≥﹣4,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 故的最小值是﹣.‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2012•安徽)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,则下列命题正确的是 ①②③ (写出所有正确命题的编号).‎ ‎①若ab>c2,则C<‎ ‎②若a+b>2c,则C<‎ ‎③若a3+b3=c3,则C<‎ ‎④若(a+b)c≤2ab,则C>‎ ‎⑤若(a2+b2)c2≤2a2b2,则C>.‎ ‎【分析】①利用余弦定理,将c2放大为ab,再结合均值定理即可证明cosC>,从而证明C<;②利用余弦定理,将c2放大为()2,再结合均值定理即可证明cosC>,从而证明C<;③利用反证法,假设C≥时,推出与题设矛盾,即可证明此命题正确;④⑤只需举反例即可证明其为假命题,可举符合条件的等边三角形 ‎【解答】解:①ab>c2⇒cosC=>=⇒C<,故①正确;‎ ‎②a+b>2c⇒cosC=>=≥=⇒C<,故②正确;‎ ‎③当C≥时,c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2>a3+b3与a3+b3=c3矛盾,故③正确;‎ ‎④举出反例:取a=b=c=2,满足(a+b)c≤2ab得:C=<,故④错误;‎ ‎⑤举出反例:取a=b=c=,满足(a2+b2)c2≤2a2b2,此时有C=,故⑤错误 故答案为①②③‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ ‎16.(12分)(2012•安徽)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x ‎(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R,有g(x+)=g(x),且当x∈[0,]时,g(x)=﹣f(x),求g(x)在区间[﹣π,0]上的解析式.‎ ‎【分析】利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式,‎ ‎(1)直接利用周期公式求解即可.‎ ‎(2)求出函数g(x)的周期,利用x∈[0,]时,g(x)=‎ ‎﹣f(x),对x分类求出函数的解析式即可.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=cos(2x+)+sin2x ‎=cos2x﹣sin2x+(1﹣cos2x)=﹣sin2x.‎ ‎(1)函数的最小正周期为T==π.‎ ‎(2)当x∈[0,]时g(x)==sin2x.‎ 当x∈[﹣]时,x+∈[0,],g(x)=g(x+)=sin2(x+)=﹣sin2x.‎ 当x∈[)时,x+π∈[0,],g(x)=g(x+π)=sin2(x+π)=sin2x.‎ g(x)在区间[﹣π,0]上的解析式:g(x)=.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2012•安徽)某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束.试题库中现共有n+m道试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.‎ ‎(Ⅰ)求X=n+2的概率;‎ ‎(Ⅱ)设m=n,求X的分布列和均值(数学期望)‎ ‎【分析】(Ⅰ)根据题意,可知X=n+2表示两次调题均为A类试题,故可求概率;‎ ‎(Ⅱ)设m=n,则每次调用的是A类型试题的概率为,随机变量X可取n,n+1,n+2,求出相应的概率,即可得到X的分布列和均值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)X=n+2表示两次调题均为A类试题,其概率为=‎ ‎(Ⅱ)设m=n,则每次调用的是A类型试题的概率为 随机变量X可取n,n+1,n+2‎ P(X=n)=(1﹣p)2=;P(X=n+1)=p=,P(X=n+2)=p2=‎ 分布列如下 ‎ X ‎ n ‎ n+1‎ ‎ n+2‎ ‎ P ‎∴E(X)=n×+(n+1)×+(n+2)×=n+1‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2012•安徽)平面图形ABB1A1C1C如图4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=,A1B1=A1C1=.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A2A,A2B,A2C,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.‎ ‎(Ⅰ)证明:AA1⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求AA1的长;‎ ‎(Ⅲ)求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)证明AA1⊥BC,只需证明BC⊥平面OO1A1A,取BC,B1C1的中点为点O,O1,连接AO,OO1,A1O,A1O1,即可证得;‎ ‎(Ⅱ)延长A1O1到D,使O1D=OA,则可得AD∥OO1,AD=OO1,可证OO1⊥面A1B1C1,从而AD⊥面A1B1C1,即可求AA1的长;‎ ‎(Ⅲ)证明∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角,在△OAA1‎ 中,利用余弦定理,可求二面角A﹣BC﹣A1的余弦值.‎ ‎【解答】(Ⅰ)证明:取BC,B1C1的中点为点O,O1,连接AO,OO1,A1O,A1O1,‎ ‎∵AB=AC,∴AO⊥BC ‎∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC ‎∴AO⊥平面BB1C1C 同理A1O1⊥平面BB1C1C,∴AO∥A1O1,∴A、O、A1、O1共面 ‎∵OO1⊥BC,AO⊥BC,OO1∩AO=O,∴BC⊥平面OO1A1A ‎∵AA1⊂平面OO1A1A,∴AA1⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)解:延长A1O1到D,使O1D=OA,则∵O1D∥OA,∴AD∥OO1,AD=OO1,‎ ‎∵OO1⊥BC,平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1,‎ ‎∴OO1⊥面A1B1C1,‎ ‎∵AD∥OO1,‎ ‎∴AD⊥面A1B1C1,‎ ‎∵AD=BB1=4,A1D=A1O1+O1D=2+1=3‎ ‎∴AA1==5;‎ ‎(Ⅲ)解:∵AO⊥BC,A1O⊥BC,∴∠AOA1是二面角A﹣BC﹣A1的平面角 在直角△OO1A1中,A1O=‎ 在△OAA1中,cos∠AOA1=﹣‎ ‎∴二面角A﹣BC﹣A1的余弦值为﹣.‎ ‎ ‎ ‎19.(13分)(2012•安徽)设函数f(x)=aex++b(a>0).‎ ‎(Ⅰ)求f(x)在[0,+∞)内的最小值;‎ ‎(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=,求a,b的值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设t=ex(t≥1),则,求出导函数,再进行分类讨论:①当a≥1时,y′>0,在t≥1上是增函数;②当0<a<1时,利用基本不等式,当且仅当at=1(x=﹣lna)时,f(x)取得最小值;‎ ‎(Ⅱ)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=,建立方程组,即可求得a,b的值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设t=ex(t≥1),则 ‎∴‎ ‎①当a≥1时,y′≥0,∴在t≥1上是增函数,‎ ‎∴当t=1(x=0)时,f(x)的最小值为 ‎②当0<a<1时,,当且仅当at=1(x=﹣lna)时,f(x)的最小值为b+2;‎ ‎(Ⅱ)求导函数,可得)‎ ‎∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=,‎ ‎∴,即,解得.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2012•安徽)如图,点F1(﹣c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:(a>b>0)的左右焦点,经过F1‎ 做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2垂线交直线于点Q.‎ ‎(Ⅰ)如果点Q的坐标是(4,4),求此时椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.‎ ‎【分析】(Ⅰ)将点P(﹣c,y1)(y1>0)代入,可求得P,根据点Q的坐标是(4,4),PF1⊥QF2,即可求得椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)利用PF1⊥QF2,求得,从而可求,又,求导函数,可得x=﹣c时,y′==,故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点.‎ ‎【解答】(Ⅰ)解:将点P(﹣c,y1)(y1>0)代入得 ‎∴P ‎∵点Q的坐标是(4,4),PF2⊥QF2‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴a=2,c=1,b=‎ ‎∴椭圆C的方程为;‎ ‎(Ⅱ)证明:设Q,∵PF2⊥QF2‎ ‎∴‎ ‎∴y2=2a ‎∴‎ ‎∵P,∴‎ ‎∵,∴‎ ‎∴y′=‎ ‎∴当x=﹣c时,y′==‎ ‎∴直线PQ与椭圆C只有一个交点.‎ ‎ ‎ ‎21.(13分)(2012•安徽)数列{xn}满足x1=0,xn+1=﹣x2n+xn+c(n∈N*).‎ ‎(Ⅰ)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;‎ ‎(Ⅱ)求c的取值范围,使{xn}是递增数列.‎ ‎【分析】(Ⅰ)通过证明必要条件与充分条件,推出{xn}是从递减数列的充分必要条件是c<0;‎ ‎(Ⅱ)由(I)得,c≥0,通过①当c=0时,②当c>0时,推出0<c<1,当c时,证明xn+1>xn.=⇔.当c 时,说明数列{xn}是从递减数列矛盾.得到0<c时,数列{xn}是递增数列.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当c<0时,xn+1=﹣x2n+xn+c<xn,‎ ‎∴{xn}是单调递减数列 充分条件 当{xn}是单调递减数列时 x1=0>x2=﹣x21+x1+c ‎∴c<0‎ 综上{xn}是从递减数列的充分必要条件是c<0;‎ ‎(Ⅱ)由(I)得,c≥0‎ ‎①当c=0时,xn=x1=0,此时数列为常数列,不符合题意;‎ ‎②当c>0时,x2=c>x1=0,x3=﹣c2+2c>x2=c ‎∴0<c<1‎ ‎⇔‎ ‎⇔0=x1≤xn<,=﹣(xn+1﹣xn)(xn+1+xn﹣1),‎ 当0<c时,⇒xn﹣xn+1+1>0⇔xn+2﹣xn+1﹣1<0,⇔xn+2﹣xn+1与xn+1﹣xn同号,‎ 由x2﹣x1=c>0⇒xn+1﹣xn>0⇔xn+1>xn.‎ ‎=⇔.‎ 当c时,存在N使xN⇒xN+xN+1>1⇒xN+2﹣xN+1与xN+1﹣xN异号,‎ 与数列{xn}是从递减数列矛盾.‎ 所以当0<c时,数列{xn}是递增数列.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;minqi5;zlzhan;maths;刘长柏;xize(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日
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