2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）

‎2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　） ‎ A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z ‎9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）‎ A．10 B．20 C．30 D．60‎ ‎11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　）‎ A．[） B．[） C．[） D．[）‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）‎ ‎13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=　 　．‎ ‎14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为　 　．‎ ‎15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为　 　．‎ ‎16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎17．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC ‎（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．‎ ‎19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi ‎（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎（xi﹣）2‎ ‎（wi﹣）2‎ ‎（xi﹣）（yi﹣）‎ ‎（wi﹣）（yi﹣）‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=i，=‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx ‎（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；‎ ‎（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．‎ ‎　‎ 选修4一1:几何证明选讲 ‎22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．‎ ‎　‎ 选修4一4：坐标系与参数方程 ‎23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎　‎ 选修4一5：不等式选讲 ‎24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】先化简复数，再求模即可．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足=i，‎ ‎∴1+z=i﹣zi，‎ ‎∴z（1+i）=i﹣1，‎ ‎∴z==i，‎ ‎∴|z|=1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°‎ ‎=sin20°cos10°+cos20°sin10°‎ ‎=sin30°‎ ‎=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（　　）‎ A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．‎ ‎【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），‎ 该同学通过测试的概率为=0.648．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，‎ 所以﹣＜y0＜．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 ‎【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，‎ 解得r=，‎ 故米堆的体积为××π×（）2×5≈，‎ ‎∵1斛米的体积约为1.62立方，‎ ‎∴÷1.62≈22，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为 ‎，然后结合已知表示为的形式．‎ ‎【解答】解：由已知得到如图 由===；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　） ‎ A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z C．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z ‎【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．‎ ‎【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．‎ 再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．‎ 由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；‎ 再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；‎ 故输出的n值为7，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）‎ A．10 B．20 C．30 D．60‎ ‎【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为Tr+1=，‎ 令r=2，则（x2+x）3的通项为=，‎ 令6﹣k=5，则k=1，‎ ‎∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．‎ ‎【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，‎ 截圆柱的平面过圆柱的轴线，‎ 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，‎ ‎∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，‎ 又∵该几何体的表面积为16+20π，‎ ‎∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设函数f（x）=ex（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（　　）‎ A．[） B．[） C．[） D．[）‎ ‎【分析】设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．‎ ‎【解答】解：设g（x）=ex（2x﹣1），y=ax﹣a，‎ 由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，‎ ‎∵g′（x）=ex（2x﹣1）+2ex=ex（2x+1），‎ ‎∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，‎ ‎∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，‎ 当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，‎ 直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，‎ 故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）‎ ‎13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=　1　．‎ ‎【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），‎ ‎∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），‎ ‎∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，‎ ‎∴ln（+x）（﹣x）=0，‎ ‎∴lna=0，‎ ‎∴a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为　（x﹣）2+y2=　．‎ ‎【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．‎ ‎【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．‎ 可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），‎ 设圆的圆心（a，0），则，解得a=，‎ 圆的半径为：，‎ 所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．‎ 故答案为：（x﹣）2+y2=．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为　3　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．‎ 设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，‎ 由图象知OA的斜率最大，‎ 由，解得，即A（1，3），‎ kOA==3，‎ 即的最大值为3．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是　（﹣，+）　．‎ ‎【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．‎ ‎【解答】解：方法一：‎ 如图所示，延长BA，CD交于点E，则 在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，‎ ‎∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴（x+m）sin15°=1，‎ ‎∴x+m=+，‎ ‎∴0＜x＜4，‎ 而AB=x+m﹣x=+﹣x，‎ ‎∴AB的取值范围是（﹣，+）．‎ 故答案为：（﹣，+）．‎ 方法二：‎ 如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，‎ 倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；‎ 当直线移动时，运用极限思想，‎ ‎①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；‎ ‎②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；‎ 故答案为：（﹣，+）．‎ ‎【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：‎ ‎17．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3‎ ‎（I）求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：‎ ‎（Ⅱ）求出bn=，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3‎ 两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）=4an+1，‎ 即2（an+1+an）=an+12﹣an2=（an+1+an）（an+1﹣an），‎ ‎∵an＞0，∴an+1﹣an=2，‎ ‎∵a12+2a1=4a1+3，‎ ‎∴a1=﹣1（舍）或a1=3，‎ 则{an}是首项为3，公差d=2的等差数列，‎ ‎∴{an}的通项公式an=3+2（n﹣1）=2n+1：‎ ‎（Ⅱ）∵an=2n+1，‎ ‎∴bn===（﹣），‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．‎ ‎【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面 ABCD，BE=2DF，AE丄EC．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC ‎（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩‎ AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；‎ ‎（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连接BD，‎ 设BD∩AC=G，‎ 连接EG、EF、FG，‎ 在菱形ABCD中，‎ 不妨设BG=1，‎ 由∠ABC=120°，‎ 可得AG=GC=，‎ BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，‎ 可知AE=EC，又AE⊥EC，‎ 所以EG=，且EG⊥AC，‎ 在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，‎ 在直角三角形FDG中，可得FG=，‎ 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF==，‎ 从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，‎ ‎（或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1，‎ 可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG）‎ AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，‎ 由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；‎ ‎（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，‎ 建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），‎ F（﹣1，0，），C（0，，0），‎ 即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），‎ 故cos＜，＞===﹣．‎ 则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎（xi﹣）2‎ ‎（wi﹣）2‎ ‎（xi﹣）（yi﹣）‎ ‎（wi﹣）（yi﹣）‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=i，=‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，‎ ‎（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；‎ ‎（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，‎ ‎（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；‎ ‎（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，‎ ‎=﹣=563﹣68×6.8=100.6，‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，‎ 因此y关于x的回归方程为=100.6+68，‎ ‎（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，‎ 年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，‎ ‎（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68‎ ‎）﹣x=﹣x+13.6+20.12，‎ 当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．‎ ‎【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．‎ ‎（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．‎ ‎（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）‎ ‎【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．‎ ‎（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．‎ ‎【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，‎ 由曲线C：y=可得：y′=，‎ ‎∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．‎ 同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．‎ ‎（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：‎ 设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2‎ ‎），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．‎ 联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，‎ ‎∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．‎ ‎∴k1+k2=+==．‎ 当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，‎ ‎∴∠OPM=∠OPN．‎ ‎∴点P（0，﹣a）符合条件．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx ‎（i）当 a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；‎ ‎（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．‎ ‎【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．‎ ‎（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．‎ 当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；‎ 当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．‎ ‎【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．‎ 设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，‎ ‎∴，解得，a=．‎ 因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；‎ ‎（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，‎ ‎∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，‎ 故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．‎ 当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，‎ ‎∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；‎ 若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；‎ 当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．‎ ‎①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，‎ 而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，‎ 当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．‎ ‎②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．‎ 若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．‎ 若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．‎ 若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，‎ ‎∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a 时，f（x）在（0，1）内有一个零点．‎ 综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．‎ 当时，h（x）有一个零点；‎ 当a=或时，h（x）有两个零点；‎ 当时，函数h（x）有三个零点．‎ ‎【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ 选修4一1:几何证明选讲 ‎22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，‎ 在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，‎ 连接OE，则∠OBE=∠OEB，‎ 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，‎ ‎∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）设CE=1，AE=x，‎ 由已知得AB=2，BE=，‎ 由射影定理可得AE2=CE•BE，‎ ‎∴x2=，即x4+x2﹣12=0，‎ 解方程可得x=‎ ‎∴∠ACB=60°‎ ‎【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．‎ ‎　‎ 选修4一4：坐标系与参数方程 ‎23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．‎ ‎（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，‎ 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：‎ ‎（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，‎ 化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．‎ ‎（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入 圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，‎ 可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，‎ 求得ρ1=2，ρ2=，‎ ‎∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，‎ ‎△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．‎ ‎【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．‎ ‎　‎ 选修4一5：不等式选讲 ‎24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，‎ 即①，或②，‎ 或③．‎ 解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．‎ 综上可得，原不等式的解集为（，2）．‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，‎ 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），‎ B（2a+1，0），‎ 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），‎ 由△ABC的面积大于6，‎ 可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．‎ 故要求的a的范围为（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎