2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）

‎2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　）‎ A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅‎ ‎2．（5分）复数z=的共轭复数是（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C． D．1‎ ‎4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（　　）‎ A．（1﹣，2） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（0，1+）‎ ‎6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ A．A+B为a1，a2，…，an的和 B．为a1，a2，…，an的算术平均数 C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 ‎7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　）‎ A．π B．4π C．4π D．6π ‎9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎11．（5分）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）‎ ‎12．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　）‎ A．3690 B．3660 C．1845 D．1830‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为　　．‎ ‎14．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　　．‎ ‎15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　　．‎ ‎16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．‎ ‎19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC ‎（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．‎ ‎20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．‎ ‎22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：‎ ‎（1）CD=BC；‎ ‎（2）△BCD∽△GBD．‎ ‎23．选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（　　）‎ A．A⊊B B．B⊊A C．A=B D．A∩B=∅‎ ‎【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断 ‎【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，‎ ‎∵B={x|﹣1＜x＜1}，‎ 在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=‎ ‎∴B⊊A．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2012•新课标）复数z=的共轭复数是（　　）‎ A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i ‎【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．‎ ‎【解答】解：复数z====﹣1+i．‎ 所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2012•新课标）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn ‎）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C． D．1‎ ‎【分析】所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1．‎ ‎【解答】解：由题设知，所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，‎ ‎∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，‎ ‎∴|PF2|=|F2F1|‎ ‎∵P为直线x=上一点 ‎∴‎ ‎∴‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2012•新课标）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（　　）‎ A．（1﹣，2） B．（0，2） C．（﹣1，2） D．（0，1+）‎ ‎【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围 ‎【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）‎ 由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2‎ 即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4‎ ‎∴b=2，a=1+即C（1+，2）‎ 则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），‎ 直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）‎ 当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣‎ ‎∴‎ 故选A ‎　‎ ‎6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，B，则（　　）‎ A．A+B为a1，a2，…，an的和 B．为a1，a2，…，an的算术平均数 C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数 ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，‎ 可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数 其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（　　）‎ A．6 B．9 C．12 D．18‎ ‎【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．‎ ‎【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；‎ 底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，‎ 此几何体的体积为V=×6×3×3=9．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2012•新课标）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为（　　）‎ A．π B．4π C．4π D．6π ‎【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球的体积．‎ ‎【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，‎ 所以球的半径为：=．‎ 所以球的体积为：=4π．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期，利用对称轴以及φ的范围，确定φ的值即可．‎ ‎【解答】解：因为直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，‎ 所以T==2π．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，‎ 所以φ=．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（　　）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．‎ ‎【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），‎ y2=16x的准线l：x=﹣4，‎ ‎∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，‎ ‎∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），‎ 将A点坐标代入双曲线方程得=4，‎ ‎∴a=2，2a=4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2012•新课标）当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　）‎ A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）‎ ‎【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可 ‎【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2‎ 要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，‎ 数形结合可知只需2＜logax，‎ ‎∴‎ 即对0＜x≤时恒成立 ‎∴‎ 解得＜a＜1‎ 故选 B ‎　‎ ‎12．（5分）（2012•新课标）数列{an}满足an+1+（﹣1）nan=2n﹣1，则{an}的前60项和为（　　）‎ A．3690 B．3660 C．1845 D．1830‎ ‎【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…利用 数列的结构特征，求出{an}的前60项和．‎ ‎【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）n an=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，‎ a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．‎ 从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a11+a9=2，a12+a10=40，a15+a13=2，a16+a14=56，…‎ 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，‎ 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．‎ ‎{an}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（5分）（2012•新课标）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为　y=4x﹣3　．‎ ‎【分析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．‎ ‎【解答】解：求导函数，可得y′=3lnx+4，‎ 当x=1时，y′=4，‎ ‎∴曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为y﹣1=4（x﹣1），即y=4x﹣3．‎ 故答案为：y=4x﹣3．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2012•新课标）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=　﹣2　．‎ ‎【分析】由题意可得，q≠1，由S3+3S2=0，代入等比数列的求和公式可求q ‎【解答】解：由题意可得，q≠1‎ ‎∵S3+3S2=0‎ ‎∴‎ ‎∴q3+3q2﹣4=0‎ ‎∴（q﹣1）（q+2）2=0‎ ‎∵q≠1‎ ‎∴q=﹣2‎ 故答案为：﹣2‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．‎ ‎【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求 ‎【解答】解：∵，=1‎ ‎∴=‎ ‎∴|2|====‎ 解得 故答案为：3‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2012•新课标）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=　2　．‎ ‎【分析】函数可化为f（x）==，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和．‎ ‎【解答】解：函数可化为f（x）==，‎ 令，则为奇函数，‎ ‎∴的最大值与最小值的和为0．‎ ‎∴函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2．‎ 即M+m=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．‎ ‎（1）求A；‎ ‎（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．‎ ‎【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；‎ ‎（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．‎ ‎【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：‎ sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，‎ 又，sinC≠0，‎ 所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，‎ 所以A=；‎ ‎（2）S△ABC=bcsinA=，所以bc=4，‎ a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，‎ 即有，‎ 解得b=c=2．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．‎ ‎（Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．‎ ‎（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：‎ 日需求量n ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 频数 ‎10‎ ‎20‎ ‎16‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；‎ ‎（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；‎ ‎（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数，利用100天的销售量除以100即可得到结论；‎ ‎（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故可求当天的利润不少于75元的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当日需求量n≥17时，利润y=85；当日需求量n＜17时，利润y=10n﹣85；（4分）‎ ‎∴利润y关于当天需求量n的函数解析式（n∈N*）（6分）‎ ‎（Ⅱ）（i）这100天的日利润的平均数为元；（9分）‎ ‎（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7．（12分）‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2012•新课标）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC ‎（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；‎ ‎（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．‎ ‎【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，‎ ‎∴DC1⊥BC．‎ 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，‎ ‎∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，‎ ‎∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，‎ ‎∴平面BDC1⊥平面BDC；‎ ‎（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，‎ 又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，‎ ‎∴（V﹣V1）：V1=1：1，‎ ‎∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；‎ ‎（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．‎ ‎（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：‎ ‎，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．‎ ‎【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A到准线l的距离，‎ ‎∵△ABD的面积S△ABD=，‎ ‎∴=，‎ 解得p=2，所以F坐标为（0，1），‎ ‎∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．‎ ‎（2）由题设，则，‎ ‎∵A，B，F三点在同一直线m上，‎ 又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．‎ 由点A，B关于点F对称得：‎ 得：，直线，切点 直线 坐标原点到m，n距离的比值为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2012•新课标）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；‎ ‎（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；‎ ‎【解答】解：（I）函数f（x）=ex﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=ex﹣a，‎ 若a≤0，则f′（x）=ex﹣a≥0，所以函数f（x）=ex﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．‎ 若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=ex﹣a＜0；‎ 当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex﹣a＞0；‎ 所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．‎ ‎（II）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k） （ex﹣1）+x+1‎ 故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①‎ 令g（x）=，则g′（x）=‎ 由（I）知，当a=1时，函数h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，‎ 而h（1）＜0，h（2）＞0，‎ 所以h（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，‎ 故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）‎ 当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；‎ 所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．‎ 又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）‎ 由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：‎ ‎（1）CD=BC；‎ ‎（2）△BCD∽△GBD．‎ ‎【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；‎ ‎（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．‎ ‎【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点 ‎∴DF∥BC，AD=DB ‎∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形 ‎∴CF∥BD，CF=BD ‎∴CF∥AD，CF=AD ‎∴四边形ADCF是平行四边形 ‎∴AF=CD ‎∵，∴BC=AF，∴CD=BC．‎ ‎（2）由（1）知，所以．‎ 所以∠BGD=∠DBC．‎ 因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．‎ 所以△BCD～△GBD．‎ ‎　‎ ‎23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．‎ ‎（1）求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为 点A，B，C，D的直角坐标为 ‎（2）设P（x0，y0），则为参数）‎ t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ‎∵sin2φ∈[0，1]‎ ‎∴t∈[32，52]‎ ‎　‎ ‎24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，‎ 再取并集即得所求．‎ ‎（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为[﹣3，0]．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：邢新丽；qiss；刘长柏；minqi5；zlzhan；xize；caoqz；吕静；wfy814；xintrl（排名不分先后）‎ ‎2017年2月3日