高二数学周练试题（含解析）

高二数学周练试题（含解析）

‎【2019最新】精选高二数学周练试题（含解析）‎ 第Ⅰ卷 （选择题60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，代入方程得到 ‎ 故选D；‎ ‎2. 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，‎ a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ，由余弦定理得， ，‎ 移项得到，，得到 A＝.故选C；‎ 点睛：利用上b＝c得到，再得到，最终得到角.‎ ‎3. 在内，分别为角所对的边，成等差数列，且，，则的值为(　　)‎ - 15 - / 15‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】成等差数列，故 ， ‎ ‎ ， ，得到 故选C；‎ ‎4. 在等差数列中,,其前项和为,若,则（　　）‎ A. -2012 B. -2013 C. 2012 D. 2013‎ ‎【答案】B ‎【解析】等差数列其前n项和为， 是等差数列，公差为 ，，‎ ‎ ，，故 ，代入 ‎ ‎ ，得到 -2013.‎ 点睛：是等差数列，则 是等差数列，利用这个结论，得到。‎ ‎5. 已知数列的前项和，‎ 则的值为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵Sn=1﹣5+9﹣13+17﹣21+…+（﹣1）n﹣1（4n﹣3）‎ ‎∴S15=（1﹣5）+（9﹣13）+…（49﹣53）+57=（﹣4）×7+57=29‎ - 15 - / 15‎ S22=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（81﹣85）=﹣4×11=﹣44‎ S31=（1﹣5）+（9﹣13）+（17﹣21）+…+（113﹣117）+121=﹣4×15+121=61‎ ‎∴S15+S22﹣S31=29﹣44﹣61=﹣76 ‎ 故选：A．‎ 点睛：利用数列相邻的两项结合和为定值﹣4，把数列的两项结合一组，根据n 的奇偶性来判断结合的组数，当n为偶数时，结合成 組，每组为﹣4；当为奇数时，结合成組，每组和为﹣4，剩余最后一个数为正数，再求和．‎ ‎6. 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是 (　　)‎ A. a1，a3，a9成等比数列 B. a2，a3，a6成等比数列 C. a2，a4，a8成等比数列 D. a3，a6，a9成等比数列 ‎【答案】D 考点：等比数列的性质 ‎7. 设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3，S4＝15，则S6＝ (　　)‎ A. 31 B. 32 C. 63 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．‎ - 15 - / 15‎ 解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，‎ 所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，‎ 即3，12，S6﹣15成等比数列，‎ 可得122=3（S6﹣15），‎ 解得S6=63‎ 故选：C 考点：等比数列的前n项和．‎ ‎8. 如图所示，在△ABC中，已知，角C的平分线CD把三角形面积分为两部分，则cosA等于(　　)‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵A：B=1：2，即B=2A，‎ ‎∴B＞A，‎ ‎∴AC＞BC，‎ ‎∵角平分线CD把三角形面积分成3：2两部分，‎ ‎∴由角平分线定理得：BC：AC=BD：AD=2：3，‎ ‎∴由正弦定理 得： ，‎ 整理得： ，‎ 则cosA= ．‎ 故选C - 15 - / 15‎ 点睛：由A与B的度数之比，得到B=2A，且B大于A，可得出AC大于BC，利用角平分线定理根据角平分线CD将三角形分成的面积之比为3：2，得到BC与AC之比，再利用正弦定理得出sinA与sinB之比，将B=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，即可求出cosA的值．‎ ‎9. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)‎ A. a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B. b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C. a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D. a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：A．a＝8，b＝16，A＝30°，则B=90°，有一解；B．b＝18，c＝20，B＝60°，由正弦定理得解得，因为，有两解；C．a＝5，c＝2，A＝90°，有一解； D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解是正确的．故选D．‎ 考点：三角形解得个数的判断．‎ ‎10. 如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　) ‎ A. 20(＋) n mile/h B. 20(－) n mile/h C. 20(＋) n mile/h D. 20(－) n mile/h ‎【答案】B ‎【解析】由题意知SM=20，∠NMS=45°，‎ - 15 - / 15‎ ‎∴SM与正东方向的夹角为75°，MN与正东方向的夹角为，60°‎ ‎∴SNM=105°‎ ‎∴∠MSN=30°，‎ ‎△MNS中利用正弦定理可得， ，‎ MN=n mile， ‎ ‎∴货轮航行的速度v=n mile/h．‎ 故选：B．‎ 点睛：由题意知SM=20，∠SNM=105°，∠NMS=45°，∠MSN=30°，△MNS中利用正弦定理可得，代入可求MN，进一步利用速度公式即可．‎ ‎11. 等差数列前项和为,已知 则 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为 两式相加得 ‎，故 所以，又两式相减，易得，，故 - 15 - / 15‎ ‎，选B.‎ 考点：等差数列 点评：本题多项式为载体考查等差数列，关键是能结合等式合理变形得出，从而求解，属中档题.‎ ‎12. 已知定义在上的函数是奇函数且满足 数列 满足 ，（其中 为的前项和），则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵函数f（x）是奇函数 ‎∴f（﹣x）=﹣f（x）‎ ‎∵f（﹣x）=f（x），‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（﹣x）‎ ‎∴f（3+x）= ‎ ‎∴f（x）是以3为周期的周期函数．‎ ‎∵数列{an}满足a1=﹣1，，‎ ‎∴a1=﹣1，且Sn=2an+n，‎ ‎∴a5=﹣31，a6=﹣63‎ ‎∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3‎ 故选C．‎ 点睛：先由函数f（x）是奇函数，f（‎ - 15 - / 15‎ ‎ ﹣x）=f（x），推知f（3+x）=f（x），得到f（x）是以3为周期的周期函数．再由a1=﹣1，且Sn=2an+n，推知a5=﹣31，a6=﹣63计算即可．‎ 第Ⅱ卷（填空题、解答题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上．‎ ‎13. 在等差数列中,当且仅当 时, 取得最大值,且，则使的n的最大值是________.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】因为，所以 又因为当且仅当 时, 取得最大值，所以 ‎ 故答案为11.‎ ‎14. 设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则q＝________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.‎ 考点：等比数列的性质与应用 ‎15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若tan A＝7tan B，，则c＝___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵tanA=7tanB， ‎ 可得：sinAcosB=7sinBcosA， ‎ - 15 - / 15‎ 整理可得：8a2﹣8b2=6c2，①又 ②‎ ‎∴联立①②即可解得c=4．‎ 点睛：由已知利用同角三角函数基本关系式，余弦定理可得8a2﹣8b2=6c2，结合已知=3，即可解得c的值．‎ ‎..................‎ ‎【答案】129‎ ‎【解析】设数列{an}的首项为a1，公比为q，‎ 由已知得2a3=a4+a5，∴2a1q2=a1q3+a1q4‎ ‎∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，‎ 解得q=1或q=﹣2，‎ 当q=1时，与Sk=33，Sk+1=﹣63矛盾，故舍去，‎ ‎∴q=﹣2，‎ ‎∴Sk=，Sk+1=，解之得qk=﹣32，a1=3，‎ ‎∴Sk+2=，‎ 故答案为：129．‎ 点睛：根据a4，a3，a5成等差数列，求出公比q，代入Sk=33，Sk+1=﹣63，求出qk﹣1代入Sk+2即可求出结果．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 在中，已知(sin A＋sin B＋sin C)·(sin B＋sin C－sin A)＝3sin - 15 - / 15‎ ‎ Bsin C.‎ ‎(Ⅰ)求角A的值；‎ ‎(Ⅱ)求sin B－cos C的最大值．‎ ‎【答案】(1) ;(2)1.‎ ‎【解析】试题分析：由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，再由余弦定理得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝，A＝。（2）sin B－cos C，两角化一角，求最值；‎ ‎(Ⅰ)∵(sin A＋sin B＋sin C)(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C，‎ ‎∴由正弦定理得(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，‎ ‎∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝ .‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝ .‎ ‎(Ⅱ)由A＝ 得B＋C＝，‎ ‎∴sin B－cos C ‎＝sin B－cos ‎ ‎＝sin.‎ ‎∵0＜B＜，∴＜B＋＜，‎ ‎∴当B＋＝，即B＝时， sin B－cos C的最大值为1.‎ ‎18. 已知各项均不相同的等差数列的前四项和, 且成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设为数列的前项和,求.‎ - 15 - / 15‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）设公差为，列出关于的方程组，求解的值，即可得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，即可利用裂项相消求解数列的和.‎ 试题解析：（1）设公差为.由已知得,解得或（舍去）, 所以,故.‎ ‎（2）,‎ 考点：等差数列的通项公式；数列的求和.‎ ‎19. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.‎ ‎(Ⅰ)求a，c的值；‎ ‎(Ⅱ)求sin(A－B)的值．‎ ‎【答案】(1) a＝3，c＝3;(2) in(A－B)＝ .‎ ‎【解析】(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，又a＋c＝6，b＝2，cosB＝，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.‎ ‎(2)在△ABC中，sinB＝，由正弦定理得sinA＝，因为a＝c，所以A为锐角，所以cosA＝，因此sin(A－B)＝sinAcosB－cosAsinB＝.‎ ‎20. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.‎ ‎(Ⅰ)求数列{an}的通项公式．‎ - 15 - / 15‎ ‎(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)，令cn＝b2n(n∈N*)．求数列{cn}的前n项和Rn.‎ ‎【答案】(1) an＝2n－1，n∈N* ;(2) Rn .‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d；由等差数列的定义得an＝2n－1；‎ ‎（2）bn＝Tn－Tn－1＝，cn＝b2n＝ ＝(n－1) n－1‎ 得到Rn＝。‎ ‎(Ⅰ)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.‎ 由S4＝4S2，得d＝2a1，又因为a2n＝2an＋1，‎ 所以a2＝2a1＋1得d＝a1＋1，得a1＝1，d＝2.因为an＝2n－1，n∈N*. ‎ ‎(Ⅱ)由(1)知Tn＝λ－，所以n≥2时，‎ bn＝Tn－Tn－1＝，故cn＝b2n＝ ＝(n－1) n－1，n∈N*‎ 所以Rn＝0×0＋1×1＋2×2＋3×3＋…＋(n－1)×n－1，‎ 则Rn＝0×1＋1×2＋2×2＋3×4＋…＋(n－1)×n，‎ 两式相减得Rn＝1＋2＋3＋4＋…＋n－1－(n－1) n ‎＝ ，‎ 整理得Rn＝.‎ 点睛：第二问bn＝Tn－Tn－1＝，再错位相减的数列的和；注意书写的格式，以免计算出错。‎ ‎21. 如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，‎ - 15 - / 15‎ DE＝1，EC＝，EA＝2，‎ ‎∠ADC＝，∠BEC＝.‎ ‎(Ⅰ)求sin∠CED的值；‎ ‎(Ⅱ)求BE的长．‎ ‎【答案】(1) sin∠CED＝ ;(2) BE＝4 .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，解得CD＝2；在△CDE中，由正弦定理得sin∠CED＝；（2）cos ∠AEB＝cos－α，cos α＝ ＝ Rt△EAB中，cos∠AEB＝，BE＝4。‎ ‎(Ⅰ)在△CDE中，由余弦定理得，EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC.‎ 由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0.解得CD＝2(CD＝－3舍去)．‎ 在△CDE中，由正弦定理得， ，‎ 于是sin α＝ ，即sin∠CED＝.‎ ‎(Ⅱ)由题设知，0＜α＜，于是由(1)知，cos α＝ ＝.‎ 而∠AEB＝－α，所以cos ∠AEB＝cos－α ＝coscos α＋sinsin α＝－cos α＋ sin α＝ .‎ 在Rt△EAB中，cos∠AEB＝ ＝ ，故BE＝4 .‎ ‎22. 已知数列,满足．‎ - 15 - / 15‎ ‎ （Ⅰ）求；‎ ‎ （Ⅱ）设，证明数列是等差数列；‎ ‎ （Ⅲ）设，不等式恒成立时，求实 ‎ 数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) 时，恒成立.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将依次代入递推公式即可得到数列前四项（2）要证数列是等差数列，需证明为常数，转化时借助于的递推公式（3）首先将通项整理出来，代入求得，将不等式整理化简得恒成立，转化为函数求最大值小于零 试题解析：（1）∴‎ ‎（2）‎ ‎∴数列是以－4为首项，－1为公差的等差数列．且 ‎（Ⅲ）由于，所以，从而；‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 由条件可知恒成立，设；‎ 当时，恒成立；当时，不可能恒成立，‎ 当时，对称轴，在为单调递减函数．‎ ‎；∴时 恒成立．综上所述：时，恒成立 - 15 - / 15‎ 考点：1．等差数列的判定；2．数列求和；3．不等式与函数的转化；4．函数求最值 - 15 - / 15‎