2020高中数学 专题强化训练2 推理与证明 新人教A版选修2-2

2020高中数学 专题强化训练2 推理与证明 新人教A版选修2-2

专题强化训练(二)　推理与证明 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，以上推理的错误的原因是(　　)‎ ‎ 【导学号：31062178】‎ A．大前提错误导致结论错 B．小前提错误导致结论错 C．推理形式错误导致结论错 D．大前提和小前提错误导致结论错 A　[推理形式没有错误，而大前提“y＝ax是增函数”是不正确的，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数；当a＞1时，y＝ax是增函数．故选A.]‎ ‎2．用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是(　　)‎ A．假设是有理数 ‎ B．假设是有理数 C．假设或是有理数 ‎ D．假设＋是有理数 D　[应对结论进行否定，则＋不是无理数，即＋是有理数．]‎ ‎3．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为(　　)‎ A.＋＋＝1　　　　　　 B.＋＋＝1‎ C.＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1‎ A　[类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．]‎ ‎4．下面四个推理不是合情推理的是(　　)‎ A．由圆的性质类比推出球的有关性质 B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°‎ C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分 6‎ D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 C　[逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．]‎ ‎5．已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定 (　　)‎ A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正负都可能 A　[f(x)＝x3＋x是奇函数且在R上是增函数，‎ 由a＋b>0，得a>－b，故f(a)>f(－b)．‎ 可得f(a)＋f(b)>0.‎ 同理f(a)＋f(c)>0，f(a)＋f(c)>0.‎ 所以f(a)＋f(b)＋f(c)>0.故选A]．‎ 二、填空题 ‎6．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________. ‎ ‎【导学号：31062179】‎ ‎[解析]　当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.‎ ‎[答案]　1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2‎ ‎7．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图22所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图22截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．‎ 图22‎ ‎[解析]　类比如下：正方形⇔正方体；截下直角三角形⇔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方⇔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和⇔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.(这个结论是正确的，证明略)‎ ‎[答案]　S2＝S＋S＋S ‎8．观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×‎ 6‎ ＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________.‎ ‎[解析]　由已知中的等式：×＝1－ ×＋×＝1－，‎ ×＋×＋×＝1－，…，‎ 所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－.‎ ‎[答案]　1－ 三、解答题 ‎9. 已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2.求证a，b中至少有一个是非负数．‎ ‎[解]　假设a，b中没有一个是非负数，即a＜0，b＜0，所以 a＋b＜0.‎ 又a＋b＝x2－1＋2x＋2＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，这与假设所得结论矛盾，故假设不成立，‎ 所以，a，b中至少有一个是非负数．‎ ‎10．已知a＋b＋c＝abc，求证：＋＋＝. ‎ ‎【导学号：31062180】‎ ‎[证明]　欲证原式，即证：a(1－b2)(1－c2)＋b(1－a2)(1－c2)＋c(1－a2)(1－b2)＝4abc 左边全部展开，得 左＝abc(ab＋bc＋ca)－ab2－ac2－ba2－bc2－ca2－cb2＋a＋b＋c，‎ 利用abc＝a＋b＋c，得：‎ 上式＝4abc＝右边．‎ 故原等式成立．‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为(　　)‎ A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝ C．a＝0，b＝c＝ 6‎ D．不存在这样的a、b、c ‎ A　[令n＝1，得1＝3(a－b)＋c，‎ 令n＝2，得1＋2×3＝9(‎2a－b)＋c，‎ 令n＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(‎3a－b)＋c.‎ 即，‎ ‎∴a＝，b＝c＝.故选A.]‎ ‎2．对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：‎ ‎22＝1＋3‎ ‎32＝1＋3＋5‎ ‎42＝1＋3＋5＋7‎ ‎23＝3＋5‎ ‎33＝7＋9＋11‎ ‎43＝13＋15＋17＋19‎ 根据上述分解规律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整数是21，则m＋n＝(　　)‎ A．10 B．11‎ C．12 D．13‎ B　[∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝×6＝36，‎ ‎∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11，‎ ‎43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29，‎ ‎∵n3的分解中最小的数是21，‎ ‎∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11.]‎ ‎3．观察①sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝；②sin26°＋cos236°＋sin 6°cos36°＝.由两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________. ‎ ‎【导学号：31062181】‎ ‎[解析]　观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，‎ 由此猜想：‎ sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝.‎ 可以证明此结论是正确的，证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝＋‎ 6‎ eq f(1＋cos(60°＋2α),2)＋[sin(30°＋2α)－sin 30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos 2α]＋sin(30°＋2α)－＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin 30°]＋sin(30°＋2α)－＝－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝.‎ ‎[答案]　sin2α＋cos2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝ ‎4．给出下列不等式：①a＞b＞0，且a2＋＝1，则ab＞a2b2；②a，b∈R，且ab＜0，则≤－2；③a＞b＞0，m＞0，则＞；④≥4(x≠0)．其中正确不等式的序号为________．‎ ‎[解析]　①a>b>0，∴a≠.‎ ‎∴a2＋＝1＞2＝ab.‎ ‎∴1－ab>0.∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0.∴ab>a2b2.①正确．‎ ‎②＋2＝.‎ ‎∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴≤－2.②正确；‎ ‎③－＝.‎ ‎∵a>b>0，m>0，‎ ‎∴b(b＋m)>0，b－a<0.‎ ‎∴<0.‎ ‎∴＜.③不正确．‎ ‎④＝|x|＋≥4.④正确．‎ ‎[答案]　①②④‎ ‎5．在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有kAC·kBC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明. ‎ ‎【导学号：31062182】‎ ‎[解]　类比得到的结论是：在椭圆＋＝1(a>b>0)中，A、B 6‎ 分别是椭圆长轴的左右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A、B的任意一点，则kAC·kBC＝－.‎ 证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则kAP·kBP＝·＝.‎ 由于A、B、P三点在椭圆上，‎ ‎∴ 两式相减得，＋＝0，‎ ‎∴＝－，即kAP·kBP＝－.‎ 故在椭圆＋＝1(a>b>0)中，长轴两个端点为A、B、C为异于A、B的椭圆上的任意一点，则有kAC·kBC＝－.‎ 6‎