2020年高中数学第二章数列章末检测新人教A版必修5

2020年高中数学第二章数列章末检测新人教A版必修5

章末检测(二)　数列 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在等差数列{an}中，a3＝－6，a7＝a5＋4，则a1等于(　　)‎ A．－10　　　　　　　　 B．－2‎ C．2 D．10‎ 解析：设公差为d，∴a7－a5＝2d＝4，∴d＝2，又a3＝a1＋2d，∴－6＝a1＋4，∴a1＝－10.‎ 答案：A ‎2．在等比数列{an}中，a4，a12是方程x2＋3x＋1＝0的两根，则a8等于(　　)‎ A．1 B．－1‎ C．±1 D．不能确定 解析：由题意得，a4＋a12＝－3<0，a4·a12＝1>0，‎ ‎∴a4<0，a12<0，∴a8<0，‎ 又∵a＝a4·a12＝1，∴a8＝－1.‎ 答案：B ‎3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an＝(　　)‎ A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1‎ 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝2，也满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ 答案：B ‎4．若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是(　　)‎ ‎①{a2n}是等比数列；②是等比数列；‎ ‎③{lg an}是等差数列；④{lg a}是等差数列．‎ A．①③ B．③④‎ C．②③④ D．①②③④‎ 解析：因为an＝qn(q>0，n∈N*)，所以{an}是等比数列，因此{a2n}，是等比数列，{lg an}，{lg a}是等差数列．‎ 答案：D ‎5．已知数列2，x，y,3为等差数列，数列2，m，n,3为等比数列，则x＋y＋mn的值为(　　)‎ A．16 B．11‎ 6‎ C．－11 D．±11‎ 解析：根据等差中项和等比中项知x＋y＝5，mn＝6，所以x＋y＋mn＝11，故选B.‎ 答案：B ‎6．已知Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n＋1·n，则S6＋S10＋S15等于(　　)‎ A．－5 B．－1‎ C．0 D．6‎ 解析：由题意可得S6＝－3，S10＝－5，S15＝－7＋15＝8，所以S6＋S10＋S15＝0.‎ 答案：C ‎7．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝‎4a，a2＝2，则a1＝(　　)‎ A．1 B. C．2 D. 解析：设{an}的公比为q，则有a1q2·a1q6＝‎4aq6，解得q＝2(舍去q＝－2)，所以由a2＝a1q＝2，得a1＝1.故选A.‎ 答案：A ‎8．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d.若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：∵a＝a‎1a2k，∴(8＋k)2d2＝9d(8＋2k)d，∴k＝4(舍去k＝－2)．‎ 答案：B ‎9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为(　　)‎ A．900元 B．1 800元 C．2 400元 D．3 600元 解析：把每次降价后的价格看做一个等比数列，首项为a1，公比为1－＝，则a4＝8 100×2＝2 400.‎ 答案：C ‎10．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于(　　)‎ A．12 B．16‎ C．9 D．16或9‎ 解析：由题意得，120°n＋n(n－1)×5°＝180°(n－2)，化简整理，得n2－25n 6‎ ‎＋144＝0，‎ 解得n＝9或n＝16.当n＝16时，最大角为120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，不合题意．∴n≠16.故选C.‎ 答案：C ‎11．设{an}是公差为－2的等差数列，若a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，则a3＋a6＋a9＋…＋a99的值为(　　)‎ A．－78 B．－82‎ C．－148 D．－182‎ 解析：∵a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，d＝－2，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋2d)＋…＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋33×2d＝50＋33×(－4)＝－82.‎ 答案：B ‎12．定义：称为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．2n－1 B．4n－1‎ C．4n－3 D．4n－5‎ 解析：设数列{an}的前n项和为Sn，由已知得＝＝，∴Sn＝n(2n－1)＝2n2－n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3，当n＝1时，a1＝S1＝2×12－1＝1适合上式，∴an＝4n－3.‎ 答案：C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a5＝－2，a8＝16，则S6等于________．‎ 解析：∵{an}为等比数列，∴a8＝a5q3，∴q3＝＝－8，∴q＝－2.又a5＝a1q4，∴a1＝＝－，∴S6＝＝＝.‎ 答案： ‎14．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________.‎ 解析：设等差数列公差为d，则S3＝‎3a1＋×d＝‎3a1＋3d＝3，a1＋d＝1，①‎ 又S6＝‎6a1＋×d＝‎6a1＋15d＝24，即‎2a1＋5d＝8.②‎ 联立①②两式得a1＝－1，d＝2，故a9＝a1＋8d＝－1＋8×2＝15.‎ 6‎ 答案：15‎ ‎15．在等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1>0，S16>0，S17<0，则当n＝________时，Sn最大．‎ 解析：∵，‎ ‎∴a8>0，而a1>0，‎ ‎∴数列{an}是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n＝8时，Sn最大．‎ 答案：8‎ ‎16．已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 016＝________.‎ 解析：由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝，‎ 则f(x)＝x.‎ ‎∴an＝＝＝－，‎ S2 016＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 016‎ ‎＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)‎ ‎＝－1.‎ 答案：－1‎ 三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解析：(1)设{an}的公比为q，‎ 依题意得解得 因此an＝3n－1.‎ ‎(2)因为bn＝log3an＝n－1，且为等差数列，‎ 所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.‎ ‎18．(12分)已知等差数列{an}，a6＝5，a3＋a8＝5.‎ ‎(1)求{an}的通项公式an；‎ ‎(2)若数列{bn}满足bn＝a2n－1，求{bn}的通项公式bn.‎ 解析：(1)设{an}的首项是a1，公差为d，‎ 依题意得 ‎∴ 6‎ ‎∴an＝5n－25(n∈N*)．‎ ‎(2)∵an＝5n－25，‎ ‎∴bn＝a2n－1＝5(2n－1)－25＝10n－30，‎ ‎∴bn＝10n－30(n∈N*)．‎ ‎19．(12分)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7.问：b6与数列{an}的第几项相等？‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a4－a3＝2，所以d＝2.‎ 又因为a1＋a2＝10，所以‎2a1＋d＝10，故a1＝4.‎ 所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n∈N*)．‎ ‎(2)设等比数列{bn}的公比为q.‎ 因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，‎ 所以q＝2，b1＝4.‎ 所以b6＝4×26－1＝128.‎ 由128＝2n＋2，得n＝63.‎ 所以b6与数列{an}的第63项相等．‎ ‎20．(12分)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.‎ ‎(1)求an及Sn；‎ ‎(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，‎ 由题意，得，解得.‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1.‎ Sn＝na1＋n(n－1)d＝3n＋n(n－1)×2＝n2＋2n.‎ ‎(2)由(1)知an＝2n＋1，‎ ‎∴bn＝＝＝· ‎＝，‎ ‎∴Tn＝ ‎＝＝.‎ ‎21．(13分)设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1‎ 6‎ 成等差数列．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1，‎ 当n≥2时，有 两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．‎ 又因为a2＝2S1＋a1＝‎3a1，an≠0，‎ 所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．‎ 因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．‎ ‎(2)因为Sn＝＝a1·3n－a1，‎ bn＝1－Sn＝1＋a1－a1·3n.‎ 要使{bn}为等比数列，当且仅当1＋a1＝0，即a1＝－2，‎ 所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列．‎ ‎22．(13分)求和：x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn(x≠0)．‎ 解析：设Sn＝x＋3x2＋5x3＋…＋(2n－1)xn，‎ ‎∴xSn＝x2＋3x3＋5x4＋…＋(2n－3)xn＋(2n－1)xn＋1.‎ ‎∴(1－x)Sn＝x＋2x2＋2x3＋…＋2xn－(2n－1)xn＋1‎ ‎＝2(x＋x2＋x3＋…＋xn)－x－(2n－1)xn＋1‎ ‎＝2－x－(2n－1)xn＋1(x≠1)，‎ 当x≠1时，1－x≠0，‎ Sn＝－.‎ 当x＝1时，Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝＝n2.‎ 所以Sn＝ 6‎