2020版高中数学 第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)

2020版高中数学 第二章 2.1.2 离散型随机变量的分布列(二)

‎2.1.2　‎离散型随机变量的分布列(二)‎ 学习目标　1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布．‎ 知识点一　两点分布 随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．‎ 知识点二　超几何分布 思考　在含有5名男生的100名学生中，任选3人，求恰有2名男生的概率表达式．‎ 答案　.‎ 梳理　一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列 X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m 13‎ P ‎…‎ 为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．‎ 类型一　两点分布 例1　(1)某运动员射击命中10环的概率为0.9，求他在一次射击中命中10环的次数的分布列；‎ ‎(2)若离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎9c‎2－c ‎3－‎‎8c 求出c，并说明X是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？‎ 考点　离散型随机变量的分布列 题点　两点分布 解　(1)设该运动员射击一次命中10环的次数为X，‎ 则P(X＝1)＝0.9，P(X＝0)＝1－0.9＝0.1.‎ X ‎0‎ ‎1‎ P ‎0.1‎ ‎0.9‎ ‎(2)由(‎9c2－c)＋(3－‎8c)＝1，解得c＝或c＝，‎ 又‎9c2－c≥0,3－‎8c≥0，所以≤c≤，所以c＝.‎ X的取值为0,1，故X服从两点分布，成功概率为3－‎8c＝.‎ 反思与感悟　两步法判断一个分布是否为两点分布 ‎(1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.‎ ‎(2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布．‎ 跟踪训练1　已知一批100件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数，求X的分布列．‎ 13‎ 考点　离散型随机变量的分布列 题点　两点分布 解　由题意知，X服从两点分布，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－＝.所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P 类型二　超几何分布 例2　一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球．‎ ‎(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；‎ ‎(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．‎ 考点　超几何分布 题点　求超几何分布的分布列 解　(1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为CCC＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为P＝＝.‎ ‎(2)由题意知X＝0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 引申探究 ‎1．在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列．‎ 解　由题意可知η＝0,1，服从两点分布．又P(η＝1)＝＝，所以η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ 13‎ P ‎2．将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次球，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？‎ 解　(1)取出3个球颜色都不相同的概率 P＝＝.‎ ‎(2)由题意知X＝0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝.‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 反思与感悟　超几何分布的求解步骤 ‎(1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．‎ ‎(2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．‎ ‎(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．‎ 跟踪训练2　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．‎ ‎(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；‎ 13‎ ‎(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．‎ 考点　超几何分布 题点　求超几何分布的分布列 解　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．‎ 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.‎ ‎(2)根据题意，X的所有可能取值为1,2,3.‎ P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去表示1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(　　)‎ A．0 B. C. D. 考点　离散型随机变量的分布列 题点　两点分布 答案　C 解析　由题意知该分布为两点分布，‎ 又P(ξ＝1)＝2P(ξ＝0)且P(ξ＝1)＋P(ξ＝0)＝1，‎ ‎∴P(ξ＝0)＝.‎ ‎2．已知在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)‎ A．P(X＝2) B．P(X≤2)‎ C．P(X＝4) D．P(X≤4)‎ 13‎ 考点　超几何分布 题点　利用超几何分布求概率 答案　C 解析　X服从超几何分布，基本事件总数为C，所求事件数为CC，∴P(X＝4)＝.‎ ‎3．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)等于(　　)‎ A．0.8 B．‎0.2 C．0.4 D．0.1‎ 考点　离散型随机变量的分布列 题点　两点分布 答案　A 解析　因为Y＝3X－2，所以X＝(Y＋2)．当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8.‎ ‎4．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不超过1人的概率为________．‎ 考点　超几何分布 题点　利用超几何分布求概率 答案　 解析　设所选女生数为随机变量X，则X服从超几何分布，所以P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.‎ ‎5．交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列．‎ 考点　超几何分布 题点　求超几何分布的分布列 解　设抽奖人所得钱数为随机变量ξ，则ξ＝2,6,10.‎ P(ξ＝2)＝＝，‎ P(ξ＝6)＝＝，‎ P(ξ＝10)＝＝.‎ 13‎ 故ξ的分布列为 ξ ‎2‎ ‎6‎ ‎10‎ P ‎1．两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量．‎ ‎2．超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道N，M和n就可以根据公式：‎ P(X＝k)＝求出X取不同值k时的概率．学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合条件以及组合知识理解M，N，n，k的含义．‎ 一、选择题 ‎1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(　　)‎ A. B. C．1－ D. 考点　超几何分布 题点　利用超几何分布求概率 答案　D 解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋.‎ ‎2．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　)‎ A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 考点　超几何分布 题点　超几何分布的概念 13‎ 答案　B 解析　由超几何分布的定义可知B正确．‎ ‎3．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 考点　超几何分布 题点　利用超几何分布求概率 答案　C 解析　记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝.‎ ‎4．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a等于(　　)‎ A．1 B．2或‎8 C．2 D．8‎ 考点　超几何分布 题点　利用超几何分布求概率 答案　B 解析　由题意知，＝，‎ 解得a＝2或8.‎ ‎5．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)‎ A．P(02‎ ‎02‎ 轿车数量(辆)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎45‎ ‎5‎ ‎45‎ 每辆利润(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ 将频率视为概率，解答下列问题：‎ ‎(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；‎ ‎(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．‎ 考点　离散型随机变量的分布列 题点　求离散型随机变量的分布列 解　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)依题意得，X1的分布列为 X1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P X2的分布列为 X2‎ ‎1.8‎ ‎2.9‎ P 四、探究与拓展 ‎14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝________.‎ 考点　超几何分布 题点　利用超几何分布求概率 答案　 解析　设10个球中有白球m个，‎ 13‎ 则＝1－，‎ 解得m＝5或m＝14(舍去)．‎ 所以P(X＝2)＝＝.‎ ‎15．为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者做接待工作，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)．若身高在‎175 cm以上(包括‎175 cm)定义为“高个子”，身高在‎175 cm以下(不包括‎175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．‎ ‎(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？‎ ‎(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列．‎ 考点　超几何分布 题点　求超几何分布的分布列 解　(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2(人)，“非高个子”有18×＝3(人)．‎ 用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，‎ 则它的对立事件表示“没有一个‘高个子’被选中”，‎ 则P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.‎ 因此，至少有一人是“高个子”的概率是.‎ ‎(2)依题意，X的可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ 13‎ P(X＝3)＝＝.‎ 因此，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 13‎