2020年高中数学第三章复数代数形式的加、减运算及其几何意义

2020年高中数学第三章复数代数形式的加、减运算及其几何意义

‎3.2.1‎‎ 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为(　　)‎ A．1－2i　　　　　　　　 B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i 解析：向量对应的复数是2＋i，‎ 则对应的复数为－2－i，‎ ‎∵＝＋，‎ ‎∴对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.‎ 答案：D ‎2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，‎ 故z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．‎ 答案：D ‎3．设复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i，则|z1－z2|的最大值为(　　)‎ A．5 B. C．6 D. 解析：z1－z2＝(cos θ－sin θ)＋2i，‎ 所以|z1－z2|＝＝，‎ 因此当sin 2θ＝－1时，|z1－z2|取最大值，故选D.‎ 答案：D ‎4．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．半圆 C．直线 D．射线 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，‎ 由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|得 5‎ ‎＝，‎ 化简可得3x－4y＝0，‎ 所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线．‎ 答案：C ‎5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C. D. 解析：由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，d＝＝.‎ 答案：C ‎6．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．‎ 解析：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ ‎∴解得 ‎∴λ＋μ＝1.‎ 答案：1‎ ‎7．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cos θ＋i(－4＋5sin θ)，则x2＋y2的最大值是________．‎ 解析：∵x＋yi＝(3＋5cos θ)＋i(－4＋5sin θ)，‎ ‎∴x2＋y2＝(3＋5cos θ)2＋(－4＋5sin θ)2‎ ‎＝50＋30cos θ－40sin θ＝50＋50cos(θ＋φ)，‎ 其中sin φ＝，cos φ＝.‎ ‎∴(x2＋y2)max＝50＋50＝100.‎ 答案：100‎ ‎8．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－‎2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．‎ 5‎ 解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－‎2a＋3i，‎ 所以得a－b＝－4.‎ 答案：－4‎ ‎9．计算：‎ ‎(1)(2－i)＋(－2i)；‎ ‎(2)(3＋2i)＋(－2)i；‎ ‎(3) (1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；‎ ‎(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．‎ 解析：(1)原式＝(2＋)－(＋2)i＝－i.‎ ‎(2)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.‎ ‎(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋ ‎＝(1－1＋5)＋(2＋1)i＝5＋3i.‎ ‎(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ‎＝8＋2i.‎ ‎10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．‎ ‎(1)求向量对应的复数；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解析：(1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(－1,2)．‎ 则D(，)，点D对应的复数是＋i，‎ ＝－＝(，)－(1,0)＝(－，)，‎ ‎∴对应复数为－＋i.‎ ‎(2)＝－＝(1,1)，‎ ‎||＝，‎ ＝－＝(－2,2)，||＝＝2，‎ ＝－＝(－3,1)，||＝，‎ 5‎ ‎∴||2＝||2＋||2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形．‎ ‎∴S△ABC＝||·||‎ ‎＝××2＝2.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．定义运算＝|ad－bc|，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R，x>0)，符合条件＝x的点Z在复平面上所表示的曲线的形状是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 解析：由已知可得|z－1|＝x，∴|x－1＋yi|＝x.‎ ‎∴(x－1)2＋y2＝x2.∴y2＝2x－1.‎ 答案：C ‎2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．4 D．16‎ 解析：　由|z－4i|＝|z＋2|得 ‎|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，‎ ‎∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，‎ 即x＋2y＝3，‎ ‎∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，‎ 当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.‎ 答案：C ‎3．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M‎1M2‎的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于(　　)‎ A．10 B．25‎ C．100 D．200‎ 解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以、为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M‎1M2‎的中点，∵||＝＝5，∴|M‎1M2‎|＝10.‎ ‎∴|z1|2＋|z2|2＝||2＋||2＝||2＝100.‎ 5‎ 答案：C ‎4．已知复数z1＝1－2i和z2＝4＋3i分别对应复平面内的A，B两点，求：‎ ‎(1)A，B两点间的距离；‎ ‎(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式．‎ 解析：(1)|A|＝|z2－z1|＝|(4＋3i)－(1－2i)|‎ ‎＝|3＋5i|＝.‎ 所以A，B两点间的距离为.‎ ‎(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A，B两点的距离相等，‎ 设点Z对应的复数为z，‎ 由复数模的几何意义，‎ 知|z－(1－2i)|＝|z－(4＋3i)|.‎ 设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上式，得 ‎|(x－1)＋(y＋2)i|＝|(x－4)＋(y－3)i|，‎ 即(x－1)2＋(y＋2)2＝(x－4)2＋(y－3)2.‎ 整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x＋5y－10＝0.‎ 所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z－(1－2i)|＝|z－(4＋3i)|，实数表示的一般形式为3x＋5y－10＝0.‎ ‎5．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i，a∈R，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝∅，求a的取值范围．‎ 解析：因为z1＝1＋2ai，z2＝a－i，|z－z1|<，‎ 即|z－(1＋2ai)|<，|z－z2|≤2，‎ 即|z－(a－i)|≤2，‎ 由复数减法及模的几何意义知，集合A是以(1,‎2a)为圆心，为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B是以(a，－1)为圆心，2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即≥3，解得a≤－2或a≥.‎ 5‎