高中数学必修2同步练习：平面与平面垂直的判定

高中数学必修2同步练习：平面与平面垂直的判定

必修二 2.3.2平面与平面垂直的判定 一、选择题 ‎1、在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)‎ A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC ‎2、在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝，则二面角B－AC－D的余弦值为(　　)‎ A． B． C． D． ‎3、过两点与一个已知平面垂直的平面(　　)‎ A．有且只有一个 B．有无数个 C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在 ‎4、设有直线M、n和平面α、β，则下列结论中正确的是(　　)‎ ‎①若M∥n，n⊥β，M⊂α，则α⊥β；‎ ‎②若M⊥n，α∩β＝M，n⊂α，则α⊥β；‎ ‎③若M⊥α，n⊥β，M⊥n，则α⊥β．‎ A．①② B．①③ C．②③ D．①②③‎ ‎5、下列命题中正确的是(　　)‎ A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β ‎6、下列命题：‎ ‎①两个相交平面组成的图形叫做二面角；‎ ‎②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；‎ ‎③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；‎ ‎④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．‎ 其中正确的是(　　)‎ A．①③ B．②④ C．③④ D．①②‎ 二、填空题 ‎7、已知α、β是两个不同的平面，M、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：‎ ‎①M⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④M⊥α．‎ 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________________．‎ ‎8、如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．‎ ‎9、过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．‎ 三、解答题 ‎10、如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．‎ ‎(1)求证：BC⊥ 平面PAC．‎ ‎(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．‎ ‎11、如图，在直三棱柱ABC—A1B‎1C1中，E、F分别是A1B、A‎1C的中点，点D在B‎1C1上，A1D⊥B‎1C．‎ 求证：(1)EF∥平面ABC；‎ ‎(2)平面A1FD⊥平面BB‎1C1C．‎ ‎12、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝．‎ ‎(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；‎ ‎(2)求二面角A—BE—P的大小．‎ ‎13、如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．‎ 求证：平面BEF⊥平面BGD．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[‎ 如图所示，∵BC∥DF，‎ ‎∴BC∥平面PDF．‎ ‎∴A正确．‎ 由BC⊥PE，BC⊥AE，‎ ‎∴BC⊥平面PAE．‎ ‎∴DF⊥平面PAE．‎ ‎∴B正确．‎ ‎∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．‎ ‎∴D正确．]‎ ‎2、B　[‎ 如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．‎ ‎∵DO＝OB＝BD＝，‎ ‎∴∠BOD＝60°．]‎ ‎3、C　[当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]‎ ‎4、B　[②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．]‎ ‎5、C ‎6、B　[①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B．]‎ 二、填空题 ‎7、①③④⇒②(或②③④⇒①)‎ ‎8、5‎ 解析　由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，‎ 又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，‎ ‎∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，‎ ‎∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，‎ ‎∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，‎ ‎∴面PDC⊥面PDA．‎ ‎9、45°‎ 解析　可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．‎ 三、解答题 ‎10、(1)证明　∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA⊥BC．‎ 又∠BCA＝90°，‎ ‎∴AC⊥BC．‎ 又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．‎ ‎(2)解　∵DE∥BC，又由(1)知，‎ BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC．‎ 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，‎ ‎∴DE⊥AE，DE⊥PE．‎ ‎∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，‎ ‎∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．‎ ‎∴在棱PC上存在一点E，‎ 使得AE⊥PC．‎ 这时∠AEP＝90°，‎ 故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．‎ ‎11、证明　(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC．‎ 因为EF⊄平面ABC．‎ BC⊂平面ABC．‎ 所以EF∥平面ABC．‎ ‎(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．‎ 又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．‎ 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．‎ ‎12、(1)证明　如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．‎ 因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．‎ 又AB∥CD，所以BE⊥AB．‎ 又因为PA⊥平面ABCD，‎ BE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，‎ 因此BE⊥平面PAB．‎ 又BE⊂平面PBE，‎ 所以平面PBE⊥平面PAB．‎ ‎(2)解　由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，‎ 所以PB⊥BE．又AB⊥BE，‎ 所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．‎ 在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，则∠PBA＝60°．‎ 故二面角A—BE—P的大小是60°．‎ ‎13、证明　∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，‎ ‎∴BG⊥AC，DG⊥AC，‎ ‎∴AC⊥平面BGD．‎ 又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．‎ ‎∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．‎