2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 1 集合

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2019学年高中数学暑假作业 集合、函数、基本初等函数 1 集合

一、集 合 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.若集合A={y|y=2x+2},B={x|﹣x2+x+2≥0},则(  )‎ A.A⊆B B.A∪B=R C.A∩B={2} D.A∩B=∅‎ ‎2.已知集合A={x|0<x<2},集合B={x|﹣1<x<1},集合C={x|mx+1>0},若A∪B⊆C,则实数m的取值范围为(  )‎ A.{m|﹣2≤m≤1} B.{m|﹣≤m≤1} C.{m|﹣1≤m≤} D.{m|﹣≤m≤}‎ ‎3.设集合A={x∈Z|(x+1)(x﹣4)=0},B={x|x≤a},若A∩B=A,则a的值可以是(  )‎ A.1 B.‎2 ‎C.3 D.4‎ ‎4.已知集合A={(x,y)|y2<x},B={(x,y)|xy=﹣2,x∈Z,y∈Z},则A∩B=(  )‎ A.∅ B.{(2,﹣1)}‎ C.{(﹣1,2),(﹣2,1)} D.{(1,﹣2),(﹣1,2),(﹣2,1)}‎ ‎5.已知集合A={y|0≤y<2,y∈N},B={x|x2﹣4x﹣5≤0,x∈N},则A∩B=(  )‎ A.{1} B.{0,1} C.[0,2) D.∅‎ ‎6.已知集合A={x|x2﹣2x≤0},B={y|y=log2(x+2),x∈A},则A∩B为(  )‎ A.(0,1) B.[0,1] C.(1,2) D.[1,2]‎ ‎7.已知R是实数集,集合 A={x|22x+1≥16},B={x|(x﹣1)(x﹣3)<0,则(∁RA)∩B=(  )‎ A.(1,2) B.[1,2] C.(1,3) D.(1,)‎ ‎8.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知M={x|0≤x≤3},N={y|y≤1},则M*N=(  )‎ A.(1,3] B.(﹣∞,0)∪(1,3] C.(﹣∞,3] D.(﹣∞,0]∪[1,3]‎ ‎9.已知集合A={1,2,3,…,2017},B={}.若B⊆A,且对任意的i,j(i∈{1,2,3,4,5},j∈{1,2,3,4,5}),都有|ai﹣aj|≠1.则集合B的个数用组合数可以表示成(  )‎ A.C B. C. D.C ‎10.用C(A)表示非空集合A中的元素个数,定义A*B=‎ 7‎ ‎,若A={x|x2﹣ax﹣2=0,a∈R},B={x||x2+bx+2|=2,b∈R},且A*B=2,则b的取值范围(  )‎ A.b≥2或b≤﹣2 B.b>2或b<﹣‎2‎ C.b≥4或b≤﹣4 D.b>4或b<﹣4‎ ‎11.设集合S={1,2,…,2016},若X是S的子集,把X中所有元素之和称为X的“容量”,(规定空集容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为S的奇(偶)子集,记S的奇子集个数为m,偶子集个数为n,则m,n之间的关系为(  )‎ A.m=n B.m>n C.m<n D.无法确定 ‎12.设函数f(x)=(a,b,c∈R)的定义域和值域分别为A,B,若集合{(x,y)|x∈A,y∈B}对应的平面区域是正方形区域,则实数a,b,c满足(  )‎ A.|a|=4 B.a=﹣4且b2+‎16c>0‎ C.a<0且b2+‎4ac≤0 D.以上说法都不对 二.填空题(共4小题)‎ ‎13.设集合A={1,3},B={a+2,5},A∩B={3},则A∪B=   .‎ ‎14.设[x]表示不大于x的最大整数,集合A={x|[x]2﹣2[x]=3},B={x|2x>8},则A∩B=   .‎ ‎15.若对任意的x∈D,均有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的“折中函数”.已知函数f(x)=(k﹣1)x﹣1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”,则实数k的值构成的集合是   .‎ ‎16.已知集合A={(x,y)|(x﹣1)2+(y﹣2)2≤},B={(x,y)||x﹣1|+2|y﹣2|≤a},且A⊆B,则实数a的取值范围是   .‎ 三.解答题(共2小题)‎ ‎17.已知函数f(x)=的定义域为集合A,函数g(x)=的定义域为集合B.‎ ‎(1)求集合A、B;‎ ‎(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.‎ ‎18.已知:集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.‎ 7‎ ‎(1)函数f(x)=是否属于集合M?说明理由;‎ ‎(2)设函数f(x)=lg∈M,求正实数a的取值范围;‎ ‎(3)证明:函数f(x)=2x+x2∈M.‎ ‎ ‎ 7‎ 必修一集合、函数、基本初等函数参考答案 一、集合 ‎1.【解答】解:y=2x+2>2,∴集合A={y|y=2x+2}=(2,+∞).‎ 由﹣x2+x+2≥0,化为x2﹣x﹣2≤0,解得﹣1≤x≤2.‎ ‎∴B={x|﹣x2+x+2≥0}=[﹣1,2].∴A∩B=∅,故选:D.‎ ‎2.【解答】解:由题意,A∪B={x|﹣1<x<2},‎ ‎∵集合C={x|mx+1>0},A∪B⊆C,‎ ‎①m<0,x<﹣,∴﹣≥2,∴m≥﹣,∴﹣≤m<0;‎ ‎②m=0时,成立;③m>0,x>﹣,∴﹣≤﹣1,∴m≤1,∴0<m≤1,‎ 综上所述,﹣≤m≤1,‎ 故选B. ‎ ‎3.【解答】解:由(x+1)(x﹣4)=0,解得x=﹣1,4.‎ ‎∴A={﹣1,4},又B={x|x≤a},A∩B=A,则a的值可以是4.‎ 故选:D.‎ ‎4.【解答】解:集合A={(x,y)|y2<x},在平面直角坐标系内表示平面区域阴影面积;‎ B={(x,y)|xy=﹣2,x∈Z,y∈Z},在平面直角坐标系内表示孤立的两组点;‎ 由,求得点P(,﹣);如图所示,‎ 则x=2,y=﹣1时满足条件,∴A∩B={(2,﹣1)}.故选:B.‎ ‎ 5.【解答】解:集合A={y|0≤y<2,y∈N}={0,1},‎ B={x|x2﹣4x﹣5≤0,x∈N}={x|﹣1≤x≤5,x∈N}={0,1,2,3,4,5},‎ 7‎ 则A∩B={0,1}.故选:B.‎ ‎6.【解答】解:集合A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}=[0,2],‎ B={y|y=log2(x+2),x∈A},‎ 由x∈A,x+2∈[2,4],可得log2(x+2)∈[1,2],‎ 即有B=[1,2],则A∩B=[1,2].故选:D.‎ ‎7.【解答】解:集合 A={x|22x+1≥16}={x|22x+1≥24}={x|2x+1≥4}={x|x≥},‎ B={x|(x﹣1)(x﹣3)<0}={x|1<x<3},∁RA={x|x<},‎ 可得(∁RA)∩B={x|1<x<}=(1,).故选:D. ‎ ‎8.【解答】解:M∪N=(﹣∞,3],M∩N=[0,1];‎ ‎∴M*N=(﹣∞,0)∪(1,3].故选B.‎ ‎9.【解答】解:我们把任意四对相邻的两个数看作四个数队,其余的数组成一个数队.从上述5个数对种各选一个数,必然不相邻.也就是满足:|ai﹣aj|≠1.∴共可以组成上述的数对有2013种情形,‎ ‎∴集合B的个数用组合数可以表示成.故选:B.‎ ‎10.【解答】解:∵A*B=2,C(A)=2‎ ‎∴C(B)=0或4;∴|x2+bx+2|=2,当b=0时,方程只有1解,‎ 故b≠0,∴x2+bx+2=2有2个解故x2+bx+2=﹣2即x2+bx+4=0不同的解,‎ ‎∴△=b2﹣4×4>0,∴b>4或b<﹣4.故选D.‎ ‎11.【解答】解:集合S的子集可以分为两类:A含有1的子集,B中不含有1的子集,这两类子集个含有22015个,而且对于B类中的任意子集T,必在A类中存在唯一一个子集T∪{1}与之对应,且若T为奇子集,则T∪{1}是偶子集;若T为偶子集,则T∪{1}是奇子集.∴B类中有x个奇子集,y个偶子集,则A类中必有x个偶子集,y个奇子集,∴S的奇子集与偶子集的个数相等.‎ 故S的奇子集与偶子集个数相等,m=n.故选:A.‎ ‎12.【解答】解:设y=ax2+bx+c与x轴相交于两点(x1,0),(x2,0),a<0.则,x1x2=.‎ ‎∴|x1﹣x2|===.‎ 7‎ 由题意可得:,由=,解得a=﹣4.‎ ‎∴实数a,b,c满足a=﹣4,△=b2+‎16c>0,故选:B. ‎ 二.填空题(共4小题)‎ ‎13.【解答】解:集合A={1,3},B={a+2,5},A∩B={3},可得a+2=3,解得a=1,即B={3,5},则A∪B={1,3,5}.故答案为:{1,3,5}.‎ ‎14.【解答】解:由[x]2﹣2[x]=3,解得:[x]=3或[x]=﹣1,‎ 故2<x≤3或﹣2<x≤﹣1,∴A=(2,3]∪(﹣2,﹣1],‎ 而B={x|2x>8}={x|x>3},故A∩B=∅.故答案为:∅. ‎ ‎15.【解答】解:根据题意,可得0≤(k﹣1)x﹣1≤(x+1)lnx在x∈[1,2e]上恒成立.当x∈[1,2e]时,函数f(x)=(k﹣1)x﹣1的图象为一条线段,‎ 于是,,解得k≥2.‎ 另一方面,在x∈[1,2e]上恒成立.‎ 令=,则.‎ 由于1≤x≤2e,所以,于是函数x﹣lnx为增函数,‎ 从而x﹣lnx≥1﹣ln1>0,所以m′(x)≥0,则函数m(x)为[1,2e]上的增函数.所以k﹣1≤[m(x)]min=m(1)即k≤2.综上,k=2.故答案为:{2}. ‎ ‎16.【解答】解:令|x﹣1|=m,|y﹣2|=n,(m≥0,n≥0),‎ 根据集合A得,m2+n2≤,根据集合B得,m+2n≤a,∵A⊆B,‎ ‎∴a≥(a+2b)max,构造辅助函数f(m)=m+2n﹣a+λ(m2+n2﹣)‎ f(n)=m+2n﹣a+λ(m2+n2﹣),∴f′(m)=1+2λm,‎ f′(n)=2+2λn,令f′(m)=1+2λm=0,f′(n)=2+2λn=0,‎ 得到 m=﹣,n=﹣,∵m2+n2=,∴λ=±1,∵m≥0,n≥0,‎ ‎∴λ=1,∴m=,n=1时,m+2n有最大值,∴a≥(m+2n)max=+2=,‎ ‎∴a≥,故答案为:a≥.‎ 7‎ 三.解答题(共2小题)‎ ‎17.【解答】解:(1),‎ x2﹣(‎2a+1)x+a2+a≥0⇒x≥a+1或x≤a ‎∴A=(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞),B=(﹣∞,a]∪[a+1,+∞)…(6分)‎ ‎(2)…(12分)‎ ‎ ‎ ‎18.【解答】解:(1)f(x)=的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),‎ 令,整理得x2+x+1=0,△=﹣3<0,‎ 因此,不存在x∈(﹣∞,0)∪(0,+∞),使得f(x+1)=f(x)+f(1)成立,所以f(x)=; (4分)‎ ‎(2)f(x)=lg的定义域为R,f(1)=lg,a>0,‎ 若f(x)=lg∈M,则存在x∈R使得lg=lg+lg,‎ 整理得存在x∈R使得(a2﹣‎2a)x2+‎2a2x+(‎2a2﹣‎2a)=0.‎ ‎①若a2﹣‎2a=0即a=2时,方程化为8x+4=0,解得x=﹣,满足条件:‎ ‎②若a2﹣‎2a≠0即a∈(﹣∞,2)∪(2,+∞)时,‎ 令△≥0,解得a∈[3﹣,2)∪(2,3+],‎ 综上,a∈[3﹣,3+]; (8分)‎ ‎(3)f(x)=2x+x2的定义域为R,‎ 令2x+1+(x+1)2=(2x+x2)+(2+1),整理得2x+2x﹣2=0,‎ 令g(x)=2x+2x﹣2,所以g(0)•g(1)=﹣2<0,‎ 即存在x0∈(0,1)使得g(x)=2x+2x﹣2=0,‎ 亦即存在x0∈R使得2x+1+(x+1)2=(2x+x2)+(2+1),‎ 故f(x)=2x+x2∈M. (12分)‎ 7‎
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