2020高中数学集合的含义
第2课时 集合的表示
学习目标：1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用．(重点)2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
2．描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I|p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征．
思考：(1)不等式x－2<3的解集中的元素有什么共同特征？
(2)如何用描述法表示不等式x－2<3的解集？
[提示] (1)元素的共同特征为x∈R，且x<5.
(2){x|x<5，x∈R}．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )
(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．方程x2＝4的解集用列举法表示为( )
A．{(－2,2)} B．{－2,2}
C．{－2} D．{2}
B [由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]
3．用描述法表示函数y＝3x＋1图象上的所有点的是( )
【导学号：37102022】
A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}
C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}
C [该集合是点集，故可表示为{(x，y)|y＝3x＋1}，选C.]
4．不等式4x－5<7的解集为________．
{x|4x－5<7} [用描述法可表示为{x|4x－5<7}．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
用列举法表示集合
用列举法表示下列给定的集合：
(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.
(2)小于8的质数组成的集合B.
- 5 -
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C.
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
[解] (1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A＝{0,2,4,6,8,10}．
(2)小于8的质数有2,3,5,7，
所以B＝{2,3,5,7}．
(3)方程2x2－x－3＝0的实数根为－1，.所以C＝.
(4)由得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点为(1,4)，
所以D＝{(1,4)}．
[规律方法] 用列举法表示集合的3个步骤
(1)求出集合的元素.
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次.
(3)用花括号括起来.
提醒：二元方程组的解集，函数的图象点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“,”隔开.如{(2，3)，(5，－1)}.
[跟踪训练]
1．用列举法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N}.
【导学号：37102023】
[解] (1)由解得
故该方程组的解集为{(1,1)}．
(2)因为x∈N，y∈N，x＋y＝3，
所以或或或
故A＝{(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}．
用描述法表示集合
用描述法表示下列集合：
(1)比1大又比10小的实数的集合；
(2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
(3)被3除余数等于1的正整数组成的集合．
[解] (1){x∈R|1
0}．
(3){x|x＝3n＋1，n∈N}．
[规律方法]
- 5 -
描述法表示集合的2个步骤
[跟踪训练]
2.用描述法表示下列集合：
图111
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图111中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合.
【导学号：37102024】
[解] (1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，xy≥0}．
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}．
集合表示方法的综合应用
[探究问题]
1．下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们各自的含义是什么？
(2)它们是不是相同的集合？
提示：(1)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；
集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{P|P是抛物线y＝x2＋1上的点}．
- 5 -
(2)由(1)中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．
2．设集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}．
(1)构成集合A的元素是什么？
(2)方程ax2＋x＋1＝0是关于x的一元二次方程吗，为什么？
提示：(1)构成集合A的元素是方程ax2＋x＋1＝0的根．
(2)不一定．当a＝0时，方程是关于x的一元一次方程；当a≠0时，方程是关于x的一元二次方程．
集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．
思路探究：
[解] (1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；
(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．
综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．
母题探究：1.(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”其他条件不变，求实数k的值组成的集合．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根．
故Δ＝64－64k>0，即k<1.
所以实数k组成的集合为{k|k<1}．
2．(变条件)本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．
[解] 由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．
①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，合题意；
②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≤0，即k≥1.
综合①②可知，实数k的取值集合为{k|k＝0或k≥1}．
[规律方法] 1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3中集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.
2.在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．不等式x－3<2且x∈N*的解集用列举法可表示为( )
【导学号：37102025】
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}
- 5 -
B [由x－3<2可知x<5，又x∈N*，故x可以为1,2,3,4，故选B.]
2．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [集合A中有两个元素：(1,2)，(3,4)．]
3．如果A＝{x|x>－1}，那么( )
【导学号：37102026】
A．－2∈A B．{0}∈A
C．－3∈A D．0∈A
D [∵0>－1，故0∈A，选D.]
4．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
{－1,4} [∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，
∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．]
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)方程组的解集；
(2)所有的正方形；
(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合.
【导学号：37102027】
[解] (1)解方程组得
故解集为{(4，－2)}．
(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．
(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．
- 5 -
