数学文卷·2018届四川省资阳市高三第二次诊断性考试（2018

数学文卷·2018届四川省资阳市高三第二次诊断性考试（2018

资阳市高中2015级第二次诊断性考试 文科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设集合，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2．复数z满足，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3．已知命题p：，，则为 A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎4．已知直线与平行，则实数a的值为 A.－1或2 B. 0或2 C. 2 D.－1‎ ‎5．若，且，则的值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．为考察A、B两种药物预防某疾病的效果，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：‎ 根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是 A. 药物A、B对该疾病均没有预防效果 B. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 C. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果 D. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果 ‎8．某程序框图如图所示，若输入的分别为12，30，则输出的 A. 4 ‎ B. 6 ‎ C. 8‎ D. 10‎ ‎9．若点P为抛物线C：上的动点，F为C的焦点，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎10．一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎11．已知函数，它在处的切线方程为，则k＋b的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12．边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若，则的最大值为 A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．某校高三年级有900名学生，其中男生500名．若按照男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的女生人数为______．‎ ‎14. 设实数满足约束条件则的最小值为______．‎ ‎15．如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北10°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北20°方向上，旗杆顶部D的仰角为45°，则旗杆CD高度为 m.‎ ‎16．已知函数如果存在n（n≥2）个不同实数，使得成立，则n的值为______．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求的前n项和．‎ ‎18．（12分）‎ 某地区某农产品近几年的产量统计如下表：‎ 年 份 ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 年份代码t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 年产量y（万吨）‎ ‎6.6‎ ‎6.7‎ ‎7‎ ‎7.1‎ ‎7.2‎ ‎7.4‎ ‎（1）根据表中数据，建立关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年（）该农产品的产量．‎ 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ ‎19.（12分）‎ 如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形是边长为2的菱形，，，，E，F分别为AC，的中点．‎ ‎（1）求证：直线EF∥平面；‎ ‎（2）设分别在侧棱，上，且，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆C：的离心率，且过点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M，N两点， 求证：直线MN的斜率为定值．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）当时，判断函数的单调性； ‎ ‎（2）当有两个极值点时，求a的取值范围，并证明的极大值大于2．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是曲线上的一动点，的中点为，求点到直线的最小值．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 已知函数（其中）．‎ ‎（1）当a＝－4时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．‎ 资阳市高中2015级第二次诊断性考试 文科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.D 12.C 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。‎ ‎13. 20；14. －5；15. 12；12. 2或3．‎ 三、解答题：共70分。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ ‎（1）当时，，解得，‎ 当时，，. ‎ 所以，则，‎ 所以是以为首项，2为公比的等比数列. ‎ 故. 4分 ‎（2）, ‎ 则①‎ ‎② ‎ ‎①－②得：.‎ 所以． 12分 ‎18．（12分）‎ ‎（1）由题，，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以，又，得，‎ 所以y关于t的线性回归方程为． 8分 ‎（2）由（1）知，‎ 当时，，‎ 即该地区2018年该农产品的产量估计值为7.56万吨． 12分 ‎19.（12分）‎ ‎（1）取的中点G，连接EG，FG，‎ 由于E，F分别为AC，的中点，‎ 所以FG∥．又平面，平面，‎ 所以FG∥平面．‎ 又AE∥且AE＝，‎ 所以四边形是平行四边形．‎ 则∥．又平面，平面，‎ 所以EG∥平面．‎ 所以平面EFG∥平面．又平面，‎ 所以直线EF∥平面． 6分 ‎（2）四边形APQC是梯形，其面积．‎ 由于，E分别为AC的中点.‎ 所以．‎ 因为侧面底面，‎ 所以平面．‎ 即BE是四棱锥的高，可得．‎ 所以四棱锥的体积为．‎ 棱柱的体积．‎ 所以平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为（或者）． 12分 ‎20.（12分）‎ ‎（1）由，设椭圆的半焦距为，所以，‎ 因为C过点，所以，又，解得，‎ 所以椭圆方程为． 4分 ‎（2） 显然两直线的斜率存在，设为，，‎ 由于直线与圆相切，则有，‎ 直线的方程为， ‎ 联立方程组消去得，‎ 因为为直线与椭圆的交点，所以，‎ 同理，当与椭圆相交时，‎ 所以，而，‎ 所以直线的斜率． 12分 ‎21．（12分）‎ ‎（1）由题知．‎ 方法1：由于，，，‎ 又，所以，从而，‎ 于是为(0,＋∞)上的减函数．‎ 方法2：令，则，‎ 当时，，为增函数；当时，，为减函数．‎ 则．由于，所以，‎ 于是为(0,＋∞)上的减函数． 4分 ‎（2）令，则，‎ 当时，，为增函数；当时，， 为减函数．‎ 当x趋近于时， 趋近于，‎ 由于有两个极值点，所以有两不等实根，即有两不等实数根（）．‎ 则有解得．‎ 可知，‎ 又，则， ‎ 当 时，，单调递减；当 时，，单调递增；当 时，，单调递减．‎ 则函数在时取极小值，在时取极大值．‎ 即，‎ 而，即，‎ 所以极大值．‎ 当时，恒成立，‎ 故为上的减函数，所以． 12分 ‎（二）选考题：共10分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎（1）由得的普通方程．‎ 又由，得，‎ 所以，曲线的直角坐标方程为，即． 4分 ‎（2）设，，则，‎ 由于P是的中点，则，所以，‎ 得点的轨迹方程为，轨迹为以为圆心，1为半径的圆．‎ 圆心到直线的距离．‎ 所以点到直线的最小值为． 10分 ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ ‎（1）当a=－4时，求不等式，即为，‎ 所以|x－2|≥2，即x－2≤－2或x－2≥2，‎ 原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}． 4分 ‎（2）不等式即为|2x+a|+|x－2|≥3a²－|2－x |，‎ 即关于x的不等式|2x+a|+|4－2x |≥3a²恒成立．‎ 而|2x+a|+|4－2x|≥|a＋4|，‎ 所以|a＋4|≥3a²，‎ 解得a＋4≥3a²或a＋4≤－3a²，‎ 解得或．‎ 所以a的取值范围是． 10分