2020高中数学 课时分层作业7 函数的最大（小）值与导数 新人教A版选修2-2

2020高中数学 课时分层作业7 函数的最大（小）值与导数 新人教A版选修2-2

课时分层作业(七)　函数的最大(小)值与导数 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　)‎ A．f(a)－g(a)　　　 B．f(b)－g(b)‎ C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)‎ A　[令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，‎ 又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，‎ ‎∴F(x)在[a，b]上单调递减，‎ ‎∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]‎ ‎2．函数y＝的最大值为(　　)‎ A．e－1 B．e C．e2 D． A　[令y′＝＝＝0(x＞0)，‎ 解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0.‎ y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，‎ 所以ymax＝.]‎ ‎3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为(　　)‎ ‎ 【导学号：31062064】‎ A．4e－1 B．1‎ C．e2 D．3e2‎ C　[∵f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.‎ 又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0，‎ ‎∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0；‎ 当0＜x＜1时f′(x)＞0.‎ ‎∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增．‎ 又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2，‎ ‎∴f(x)的最大值为e2.]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－‎ 6‎ m的值为(　　)‎ A．16 B．12‎ C．32 D．6‎ C　[∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，‎ 可知M－m＝24－(－8)＝32.]‎ ‎5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为(　　)‎ A．0≤a<1 B．00时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．‎ ‎[解析]　由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x 6‎ ‎)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.‎ ‎[答案]　[e，＋∞)‎ 三、解答题 ‎9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　易知f(x)的定义域为.‎ ‎(1)f′(x)＝＋2x＝ ‎＝.‎ 当－0；‎ 当－1－时，f′(x)>0，‎ 从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln 2＋.‎ 又因为f－f＝ln＋－ln－ ‎＝ln＋＝<0，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为 f＝＋ln.‎ ‎10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.‎ ‎(1)求f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)若f(x)≥2 017对于∀x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.‎ 由f′(x)<0，得x<－1或x>3，‎ 所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．‎ 6‎ ‎(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.‎ 因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，‎ 故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.‎ 要使f(x)≥2 017对于∀x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 017，解得a≥2 022.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是(　　)‎ A．－13 B．－15‎ C．10 D．15‎ A　[对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，‎ 由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，‎ 即－3×4＋‎2a×2＝0，∴a＝3.‎ 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，‎ 易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，‎ ‎∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.‎ 又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，‎ 且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，‎ f′(n)min＝f′(－1)＝－9，‎ 故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]‎ ‎2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，) B．(－1,4)‎ C．(－1,2] D．(－1,2)‎ C　[由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.‎ 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－1)‎ ‎－1‎ ‎(－1,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎－2‎ ‎2‎ 由此得a2－12＜－1＜a，‎ 解得－1＜a＜.‎ 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.‎ 综上，－1＜a≤2.]‎ ‎3．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________.‎ ‎ 【导学号：31062067】‎ 6‎ ‎[解析]　设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)‎ 由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.‎ 又f(－1)＝1，f＝，f(0)＝1，f(1)＝9，‎ 故f(x)在[－1,1]上的最小值为1.‎ 故a≤1.‎ ‎[答案]　(－∞，1]‎ ‎4．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若∃x0∈[－1,4]，使f(x0)＝‎2a成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎[解析]　∵f(x0)＝‎2a，即x－x＋6x0＋a＝‎2a，‎ 可化为x－x＋6x0＝a，‎ 设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.‎ ‎∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.‎ 由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.‎ ‎[答案]　 ‎5．已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【导学号：31062068】‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ 令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎－ek－1‎ 所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，‎ 函数f(x)在[0,1]上单调递增，‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；‎ 当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，‎ 6‎ 由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；‎ 当k－1≥1，即k≥2时，‎ 函数f(x)在[0,1]上单调递减，‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.‎ 6‎