2020高中数学 课时分层作业23 基本不等式 新人教A版必修5
课时分层作业(二十三) 基本不等式：≤
(建议用时：40分钟)
[学业达标练]
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
【导学号：91432353】
A．当x>0且x≠1时，lg x＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0
2x
C.≤1 D．x＋≥2
C [对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立，故选C.]
3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )
【导学号：91432354】
A.＋<1 B.＋≥1
C.＋<2 D.＋≥2
B [因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.]
4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
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A.> B.<
C.＝ D.≤
A [因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d
均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>.]
5．若x>0，y>0，且＋＝1，则xy有( )
【导学号：91432355】
A．最大值64 B．最小值
C．最小值 D．最小值64
D [由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy
有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.]
二、填空题
6．若a>0，b>0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．
4 [∵a>0，b>0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b
＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时
取等
号，则a3＋b3的最小值为4.]
7．已知00，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
[因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，
所以有＝≤＝，即的最大值为，故
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a≥.]
三、解答题
9．(1)已知x<3 ，求f(x)＝＋x的最大值；
(2)已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值.
【导学号：91432357】
[解] (1)∵x<3，
∴x－3<0，
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，
即x＝1时取等号，
∴f(x)的最大值为－1.
(2)∵x，y是正实数，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，
∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
10．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
[解] 设使用x年平均费用最少．由条件知，汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列．
因此，汽车使用x年总的维修费用为x万元．
设汽车的年平均费用为y万元，则有
y＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.
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当且仅当＝，即x＝10时，y取最小值．
即这种汽车使用10年时，年平均费用最少．
[冲A挑战练]
1．若－40.
故f(x)＝－≤－1.当且仅当x－1＝，即x＝0时
等号成立．]
2．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( )
A．16 B．25
C．9 D．36
B [(1＋x)(1＋y)≤2＝2＝2＝25，因此当
且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B.]
3．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值为________.
【导学号：91432359】
4 [由lg 2x＋lg 8y＝lg 2，得2x·8y＝2，
即2x＋3y＝21，
∴x＋3y＝1，
∴＋＝(x＋3y)
＝＋
＝1＋＋＋1≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当＝，即x＝，y
＝时等号成立．]
4．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
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[∵x2＋y2＋xy＝1，
∴(x＋y)2＝1＋xy.
∵xy≤，
∴(x＋y)2－1≤，
整理求得－≤x＋y≤，
∴x＋y的最大值是.]
5．某厂家拟在2017年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)将2017年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；
(2)该厂家2017年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
[解] (1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，
解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，当且仅当＝m＋1，即m＝3
时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2017年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为
21万元．
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