高考理数　数列的概念及其表示

高考理数　数列的概念及其表示

§6.1 　数列的概念及其表示 高考理数 (课标专用 ) A组  统一命题·课标卷题组 考点　数列的概念及表示方法 1. (2018课标Ⅰ,14,5分)记 S n 为数列{ a n }的前 n 项和.若 S n =2 a n +1,则 S 6 = 　　　     . 五年高考 答案 　-63 解析 　本题主要考查由 a n 与 S n 的关系求数列的通项公式. 解法一:由 S n =2 a n +1,得 a 1 =2 a 1 +1,所以 a 1 =-1,当 n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =2 a n +1-(2 a n -1 +1),得 a n =2 a n -1 ,∴{ a n } 是首项为-1,公比为2的等比数列.∴ S 6 =   =   =-63. 解法二:由 S n =2 a n +1,得 S 1 =2 S 1 +1,所以 S 1 =-1,当 n ≥ 2时,由 S n =2 a n +1得 S n =2( S n - S n -1 )+1,即 S n =2 S n -1 -1,∴ S n -1=2( S n -1 -1),又 S 1 -1=-2,∴{ S n -1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以 S n -1=-2 × 2 n -1 =-2 n ,所以 S n =1 -2 n ,∴ S 6 =1-2 6 =-63. 2 .(2014课标Ⅱ,17,12分,0.299)已知数列{ a n }满足 a 1 =1, a n +1 =3 a n +1. (1)证明   是等比数列,并求{ a n }的通项公式; (2)证明   +   + … +   <   . 解析 　(1)由 a n +1 =3 a n +1得 a n +1 +   =3   . 又 a 1 +   =   , 所以   是首项为   ,公比为3的等比数列. a n +   =   ,因此{ a n }的通项公式为 a n =   . (2)证明:由(1)知   =   .因为当 n ≥ 1时,3 n -1 ≥ 2 × 3 n -1 , 所以   ≤   . 于是   +   + … +   ≤ 1+   + … +   =     <   .所以   +   + … +   <   . 方法指导 　(1)将已知递推式转化为 a n +1 +   =3   .(2)利用3 n -1 ≥ 2 × 3 n -1 进行转化. 考点　数列的概念及表示方法 1. (2016浙江,13,6分)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n .若 S 2 =4, a n +1 =2 S n +1, n ∈N * ,则 a 1 = 　　　     , S 5 = 　     　     . B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案 　1;121 解析 　解法一:∵ a n +1 =2 S n +1,∴ a 2 =2 S 1 +1,即 S 2 - a 1 =2 a 1 +1,又∵ S 2 =4,∴4- a 1 =2 a 1 +1,解得 a 1 =1.又 a n +1 = S n +1 - S n , ∴ S n +1 - S n =2 S n +1,即 S n +1 =3 S n +1,由 S 2 =4,可求出 S 3 =13, S 4 =40, S 5 =121. 解法二:由 a n +1 =2 S n +1,得 a 2 =2 S 1 +1,即 S 2 - a 1 =2 a 1 +1,又 S 2 =4,∴4- a 1 =2 a 1 +1,解得 a 1 =1.又 a n +1 = S n +1 - S n ,∴ S n +1 - S n =2 S n +1,即 S n +1 =3 S n +1,则 S n +1 +   =3   ,又 S 1 +   =   ,∴   是首项为   ,公比为3的等比 数列, ∴ S n +   =   × 3 n -1 ,即 S n =   ,∴ S 5 =   =121. 2 .(2014广东,19,14分)设数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,满足 S n =2 na n +1 -3 n 2 -4 n , n ∈N * ,且 S 3 =15. (1)求 a 1 , a 2 , a 3 的值; (2)求数列{ a n }的通项公式. 解析 　(1)依题意有   解得 a 1 =3, a 2 =5, a 3 =7. (2)∵ S n =2 na n +1 -3 n 2 -4 n ,   ① ∴当 n ≥ 2时, S n -1 =2( n -1) a n -3( n -1) 2 -4( n -1).   ② ①-②并整理得 a n +1 =   ( n ≥ 2). 由(1)猜想 a n =2 n +1,下面用数学归纳法证明. 当 n =1时, a 1 =2+1=3,命题成立; 当 n =2时, a 2 =2 × 2+1=5,命题成立; 假设当 n = k 时, a k =2 k +1命题成立, 则当 n = k +1时, a k +1 =   =   =2 k +3=2( k +1)+1,即当 n = k +1时,结论成立. 综上, ∀ n ∈N * , a n =2 n +1. 考点　数列的概念及表示方法 1. (2013课标Ⅰ,14,5分,0.622)若数列{ a n }的前 n 项和 S n =   a n +   ,则{ a n }的通项公式是 a n = 　　         . C组  教师专用题组 答案 　(-2) n -1 解析 　由 S n =   a n +   得:当 n ≥ 2时, S n -1 =   a n -1 +   ,∴当 n ≥ 2时, a n =-2 a n -1 ,又 n =1时, S 1 = a 1 =   a 1 +   , a 1 =1, ∴ a n =(-2) n -1 . 方法指导 　利用 a n =   求解. 2. (2013安徽,14,5分)如图,互不相同的点 A 1 , A 2 , … , A n , … 和 B 1 , B 2 , … , B n , … 分别在角 O 的两条边上, 所有 A n B n 相互平行,且所有梯形 A n B n B n +1 A n +1 的面积均相等.设 OA n = a n .若 a 1 =1, a 2 =2,则数列{ a n }的通 项公式是 　　　　　     .   答案      a n =   解析 　记△ OA 1 B 1 的面积为 S ,则△ OA 2 B 2 的面积为4 S . 从而四边形 A n B n B n +1 A n +1 的面积均为3 S . 即得△ OA n B n 的面积为 S +3( n -1) S =(3 n -2) S . ∴   =3 n -2,即 a n =   . 3 .(2015浙江,20,15分)已知数列{ a n }满足 a 1 =   且 a n +1 = a n -   ( n ∈N * ). (1)证明:1 ≤   ≤ 2( n ∈N * ); (2)设数列{   }的前 n 项和为 S n ,证明:   ≤   ≤   ( n ∈N * ). 证明　 (1)由题意得 a n +1 - a n =-   ≤ 0,即 a n +1 ≤ a n , 故 a n ≤   . 由 a n =(1- a n -1 ) a n -1 得 a n =(1- a n -1 )(1- a n -2 ) … (1- a 1 ) a 1 >0. 由0< a n ≤   得   =   =   ∈[1,2],即1 ≤   ≤ 2. (2)由题意得   = a n - a n +1 ,所以   =   -   , S n = a 1 - a n +1 .   ① 由   =   -   和1 ≤   ≤ 2得1 ≤   -   ≤ 2, 所以 n ≤   -   ≤ 2 n ,因此   ≤ a n +1 ≤   ( n ∈N * ).   ② 由①②得   ≤   ≤   ( n ∈N * ). 考点　数列的概念及其表示方法 1. (2018广东广州一模,9)已知数列{ a n }满足 a 1 =2,2 a n a n +1 =   +1,设 b n =   ,则数列{ b n }是   (　　) A.常数列　    B.摆动数列　    C.递增数列　    D.递减数列 A组  2016—2018年高考模拟·基础题组 三年模拟 答案    D 　∵2 a n a n +1 =   +1,∴ a n +1 =     , ∵ b n =   ,∴ b n +1 =   =   =   =   , ∴ b n +1 - b n =   - b n = b n ( b n -1),∵ a 1 =2, b 1 =   =   ,∴ b 2 =   ,∴ b 3 =   =   , b 4 =   =   , ∴数列{ b n }是递减数列,故选D. 2 .(2018河北石家庄一模,9)若数列{ a n }满足 a 1 =2, a n +1 =   ,则 a 2 018 的值为   (　　) A.2　    B.-3　    C.-   　    D.   答案    B 　∵ a 1 =2, a n +1 =   ,∴ a 2 =   =-3,同理可得: a 3 =-   , a 4 =   , a 5 =2, …… ,可得 a n +4 = a n ,则 a 2 018 = a 504 × 4+2 = a 2 =-3.故选B. 3 .(2018河南安阳二模,9)已知数列:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   , … ,依它的前10项的规律,这个数列 的第2 018项 a 2 018 等于   (　　) A.   　    B.   　    C.64　    D.   答案    D 　观察数列:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   , … ,可将它分成 k ( k ∈N * )组,即第1组有1项   ,第2 组有2项   ,第3组有3项   , …… ,所以第 k 组有 k 项,各项的分子从 k 依次减小至1,分母从 1依次增大到 k ,所以前 k 组共有   项,令2 018=   + m ( k ∈N * ,1 ≤ m ≤ k , m ∈N * ),可得 k =63, m =2,∴该数列的第2 018项 a 2 018 为第64组的第2项,故 a 2 018 =   ,故选D. 4. (2018河北保定一模,10)已知函数 f ( x )=   若数列{ a n }满足 a n = f ( n )( n ∈N * ),且{ a n } 是递增数列,则实数 a 的取值范围是   (　　) A.(1,3)　    B.(1,2]　    C.(2,3)　    D.   答案    C 　∵数列{ a n }是递增数列, f ( x )=   a n = f ( n )( n ∈N * ),∴3- a >0, a >1且 f (10)< f (11),∴1< a <3且10(3- a )-6< a 2 ,解得2< a <3,故实数 a 的取值范围是(2,3),故选C. 5. (2017河南许昌二模,5)已知等差数列{ a n }满足 a 1 =1, a n +2 - a n =6,则 a 11 等于   (　　) A.31　    B.32　    C.61　    D.62 答案    A 　∵等差数列{ a n }满足 a 1 =1, a n +2 - a n =6, ∴ a 3 =6+1=7, a 5 =6+7=13, a 7 =6+13=19, a 9 =6+19=25, a 11 =6+25=31.故选A. 6. (2017湖南长沙四县3月联考,15)我们可以利用数列{ a n }的递推公式 a n =   ( n ∈N * )求 出这个数列各项的值,则 a 64 + a 65 = 　　　     . 答案　 66 解析 　由题意得 , 这个数列各项的值分别为 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3, … ,∴ a 64 + a 65 = a 32 +65= a 16 +65= a 8 +65= a 4 +65=1+65=66. 1 .(2018安徽合肥一模,8)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,若3 S n =2 a n -3 n ,则 a 2 018 =   (　　) A.2 2 018 -1　     B.3 2 018 -6 C.   -   　    D.   -   B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:25分钟　　分值:35分) 一、选择题(每题5分,共20分) 答案    A 　∵数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,3 S n =2 a n -3 n ,∴ a 1 = S 1 =   (2 a 1 -3),解得 a 1 =-3. S n =   (2 a n -3 n )①, 当 n ≥ 2时, S n -1 =   (2 a n -1 -3 n +3)②, ①-②,得 a n =   a n -   a n -1 -1,∴ a n =-2 a n -1 -3,∴   =-2, ∵ a 1 +1=-2,∴{ a n +1}是以-2为首项,-2为公比的等比数列,∴ a n +1=(-2) n ,∴ a n =(-2) n -1,∴ a 2 018 =(-2) 2 018 -1=2 2 018 -1.故选A. 方法总结     由 S n 与 a n 的关系求通项 a n 的方法可归纳为以下两种:①由 S n = f ( a n )得 S n -1 = f ( a n -1 )( n ≥ 2), 由 a n = S n - S n -1 消去 S n 可得 a n 与 a n -1 的关系,进而求解;②将 a n = S n - S n -1 ( n ≥ 2)代入 S n = f ( a n )消 a n ,得出 S n 与 S n - 1 ( n ≥ 2)的关系式,进而求出 S n ,从而得 a n . 解题关键 　本题的解题关键是由3 S n =2 a n -3 n 得出 a n =-2 a n -1 -3( n ≥ 2),进而用构造法得出   =-2 ( n ≥ 2). 方法指导 　利用 a n 与 S n 的关系得 a n 与 a n -1 ( n ≥ 2)的关系,进而构造数列求出 a n ,从而得 a 2 018 . 2. (2018广东茂名二模,8) S n 是数列{ a n }的前 n 项和,且 ∀ n ∈N * 都有2 S n =3 a n +4,则 S n =   (　　) A.2-2 × 3 n 　    B.4 × 3 n C.-4 × 3 n -1 　    D.-2-2 × 3 n -1 答案    A 　∵2 S n =3 a n +4,∴2 S n =3( S n - S n -1 )+4( n ≥ 2),变形为 S n -2=3( S n -1 -2),又 n =1时,2 S 1 =3 S 1 +4,解得 S 1 =-4,∴ S 1 -2=-6.∴数列{ S n -2}是等比数列,首项为-6,公比为3.∴ S n -2=-6 × 3 n -1 ,可得 S n =2-2 × 3 n .故 选A. 思路分析 　将 a n = S n - S n -1 ( n ≥ 2)代入2 S n =3 a n +4中,然后变形,构造等比数列求解. 3. (2018广东惠州模拟,7)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n =2 a n -1,则   =   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    A 　∵ S n =2 a n -1,∴ n =1时, a 1 =2 a 1 -1,解得 a 1 =1; n ≥ 2时, a n = S n - S n -1 =2 a n -1-(2 a n -1 -1),化为 a n =2 a n -1 . ∴数列{ a n }是等比数列,公比为2.∴ a 6 =2 5 =32, S 6 =   =63,则   =   .故选A. 名师点拨 　由 S n =2 a n -1推出 a n =2 a n -1 ( n ≥ 2),可知{ a n }为等比数列,从而求解. 4. (2018山东济宁一模,9)设数列{ a n }满足 a 1 =1, a 2 =2,且2 na n =( n -1) a n -1 +( n +1) a n +1 ( n ≥ 2且 n ∈N * ),则 a 1 8 =   (　　) A.   　    B.   　    C.3　    D.   答案    B 　令 b n = na n ,则2 b n = b n -1 + b n +1 ,所以{ b n }为等差数列,因为 b 1 =1, b 2 =4,所以公差 d =3,则 b n =3 n - 2,所以 b 18 =52,即18 a 18 =52,所以 a 18 =   ,故选B. 导师点睛 　2 na n =( n -1)· a n -1 +( n +1)· a n +1 ( n ≥ 2且 n ∈N * ),由等差中项法可知{ na n }为等差数列. 5. (2017湖北襄阳优质高中联考,16)若 a 1 =1,对任意的 n ∈N * ,都有 a n >0,且 n   -(2 n -1) a n +1 a n -2   =0. 设 M ( x )表示整数 x 的个位数字,则 M ( a 2 017 )= 　　　     . 二、填空题(每题5分,共5分) 答案 　6 解析 　由已知得( na n +1 + a n )( a n +1 -2 a n )=0, ∵ a n >0,∴ a n +1 -2 a n =0,则   =2, ∵ a 1 =1,∴数列{ a n }是以1为首项,2为公比的等比数列, ∴ a n =1 × 2 n -1 =2 n -1 . ∴ a 2 =2, a 3 =4, a 4 =8, a 5 =16, a 6 =32, a 7 =64, a 8 =128, …… , ∴ n ≥ 2时, M ( a n )依次构成以4为周期的数列. ∴ M ( a 2 017 )= M ( a 5 )=6,故答案为6. 思路分析 　利用已知求出{ a n }的通项公式,进而分析 M ( a n )的变化规律,从而得 M ( a 2 017 )= M ( a 5 ),求 出 M ( a 5 )即可. 6. (2017河南百校联盟模拟,17)已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且对任意正整数 n 都有 a n =   S n +2成 立. (1)记 b n =log 2 a n ,求数列{ b n }的通项公式; (2)设 c n =   ,求数列{ c n }的前 n 项和 T n . 三、解答题(共10分) 解析 　(1)在 a n =   S n +2中,令 n =1,得 a 1 =8. 因为对任意正整数 n 都有 a n =   S n +2成立, 所以 a n +1 =   S n +1 +2, 两式相减得 a n +1 - a n =   a n +1 ,所以 a n +1 =4 a n , 又 a 1 =8,所以{ a n }是首项为8,公比为4的等比数列, 所以 a n =8·4 n -1 =2 2 n +1 ,所以 b n =log 2 2 2 n +1 =2 n +1. (2) c n =   =     , 所以 T n =       +   + … +     =     =   . 思路分析 　(1)由对任意正整数 n 都有 a n =   S n +2,可令 n =1,解得 a 1 .然后将 a n =   S n +2与 a n +1 =   S n +1 +2 相减得 a n +1 =4 a n ,则可得到数列{ a n }的通项公式,进而可得到数列{ b n }的通项公式.(2)利用裂项相 消法即可得数列{ c n }的前 n 项和 T n .