数学卷·2018届福建省厦门一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届福建省厦门一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1．设集合M={x|＞0}，N={x|log3x≥1}，则M∩N=（　　）‎ A．[3，5） B．[1，3] C．（5，+∞） D．（﹣3，3]‎ ‎2．下列命题中，正确的是（　　）‎ A．sin（+α）=cosα B．常数数列一定是等比数列 C．若0＜a＜，则ab＜1 D．x+≥2‎ ‎3．已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a3等于（　　）‎ A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣8‎ ‎4．数列{an}的通项公式为an=3n﹣23，当Sn取到最小时，n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎5．设x＞0，y＞0，xy=4，则s=取最小值时x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎6．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若角A、B、C 成等差数列，且a=3，c=1，则b的值为（　　）‎ A． B．2 C． D．7‎ ‎8．若实数x，y满足不等式组，则z=3x+2y+1的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．7‎ ‎9．已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．18 B．21 C．24 D．15‎ ‎10．已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（　　）‎ A．2 B．4 C．16 D．不存在 ‎11．数列{an}的前n项和为Sn，若S3=13，an+1=2Sn+1，n∈N*，则符合Sn＞a5的最小的n值为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎12．已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（　　）‎ A．（3，7） B．（9，25） C．（13，49） D．（9，49）‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4题，每题5分共20分）‎ ‎13．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是　　．‎ ‎15．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足：b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn，则{bn}的前n项和为　　．‎ ‎16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　　元．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共6题，共70分）‎ ‎17．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．‎ ‎（1）求a，c的值；‎ ‎（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．‎ ‎18．已知实数x，y满足约束条件：‎ ‎（Ⅰ）请画出可行域，并求z=的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，求实数a的值．‎ ‎19．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎20．在△ABC中，角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，且asinB﹣bcosA=0，‎ ‎（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．‎ ‎21．已知数列{an}满足．‎ ‎（1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn＞21﹣2n成立的最小整数n．‎ ‎22．某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段．已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第x天的实验需投入实验费用为（px+280）元（x∈N*），实验30天共投入实验费用17700元．‎ ‎（1）求p的值及平均每天耗资最少时实验的天数；‎ ‎（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验x天共赞助（﹣qx2+50000）元（q＞0）．为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求q的取值范围．（实际耗资=启动资金+试验费用﹣赞助费）‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省厦门一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（共12题，每题5分，共60分）‎ ‎1．设集合M={x|＞0}，N={x|log3x≥1}，则M∩N=（　　）‎ A．[3，5） B．[1，3] C．（5，+∞） D．（﹣3，3]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出M与N中不等式的解集分别确定出M与N，找出两集合的交集即可．‎ ‎【解答】解：由M中不等式变形得：（x+3）（x﹣5）＜0，‎ 解得：﹣3＜x＜5，即M=（﹣3，5），‎ 由N中不等式变形得：log3x≥1=log33，‎ 解得：x≥3，即N=[3，+∞），‎ 则M∩N=[3，5），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．下列命题中，正确的是（　　）‎ A．sin（+α）=cosα B．常数数列一定是等比数列 C．若0＜a＜，则ab＜1 D．x+≥2‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，sin（+α）=﹣cosα，；‎ B，数列0，0，0，…是常数数列，但不是等比数列；‎ C，在0＜a＜的两边同时乘以正数b，得到ab＜1；‎ 对于D，当x＜0时，不满足x+≥2．‎ ‎【解答】解：对于A，sin（+α）=﹣cosα，故错；‎ 对于B，数列0，0，0，…是常数数列，但不是等比数列，故错；‎ 对于C，在0＜a＜的两边同时乘以正数b，得到ab＜1，故正确；‎ 对于D，当x＜0时，不满足x+≥2，故错．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．已知等比数列{an}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a3等于（　　）‎ A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣8‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由题意结合等比数列的求和公式可得a1的方程，解方程可得a1，由通项公式可得答案．‎ ‎【解答】解：由等比数列的求和公式可得S4==60，‎ 解得等比数列{an}的首项a1=4，‎ 则a3=a1q2=4×22=16，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．数列{an}的通项公式为an=3n﹣23，当Sn取到最小时，n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】令an=3n﹣23≤0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：令an=3n﹣23≤0，解得n=7+．‎ ‎∴当Sn取到最小时，n=7．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设x＞0，y＞0，xy=4，则s=取最小值时x的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先根据基本不等式得到s=≥2=2再利用条件xy为定值得出s=4，最后结合不等式等号成立的条件即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，xy=4，‎ ‎∴s=≥2=2=4，‎ 当且仅当时，等号成立 ‎ 由，xy=4，得x=y=2．‎ 则s=取最小值时x的值为2．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3‎ ‎【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．‎ ‎【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，‎ 所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．‎ 因为a1、a3、a4成等比数列，‎ 所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．‎ 所以==2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若角A、B、C 成等差数列，且a=3，c=1，则b的值为（　　）‎ A． B．2 C． D．7‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由角A、B、C 成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，确定出cosB的值，再由a与c的值，利用余弦定理即可求出b的值．‎ ‎【解答】解：∵角A、B、C 成等差数列，‎ ‎∴2B=A+C，又A+B+C=π，‎ ‎∴B=，‎ ‎∵a=3，c=1，cosB=，‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=9+1﹣3=7，‎ 则b=．‎ 故选C ‎　‎ ‎8．若实数x，y满足不等式组，则z=3x+2y+1的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．7‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出可行域，将目标函数变形为y=﹣x﹣+，画出平行线y=﹣2x由图知直线过点A时纵截距最小，代入目标函数求解即可．‎ ‎【解答】解：画出可行域，‎ 将z=3x+2y+1变形为y=﹣x﹣+，画出直线y=﹣x﹣+平移至A（0，1）时，纵截距最小，z最小 故z的最小值是z=3×0+2×1+1=3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（　　）‎ A．18 B．21 C．24 D．15‎ ‎【考点】数列与三角函数的综合．‎ ‎【分析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，则a﹣b=b﹣c=2，a=c+4，b=c+2，因为sinA=，所以A=60°或120°．若A=60°，因为三条边不相等，则必有角大于A，矛盾，故A=120°．由余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．‎ ‎【解答】解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，‎ 设公差为d=2，三个角分别为、A、B、C，‎ 则a﹣b=b﹣c=2，‎ a=c+4，b=c+2，‎ ‎∵sinA=，‎ ‎∴A=60°或120°．‎ 若A=60°，因为三条边不相等，‎ 则必有角大于A，矛盾，故A=120°．‎ cosA=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=﹣．‎ ‎∴c=3，‎ ‎∴b=c+2=5，a=c+4=7．‎ ‎∴这个三角形的周长=3+5+7=15．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（　　）‎ A．2 B．4 C．16 D．不存在 ‎【考点】基本不等式；直线的两点式方程．‎ ‎【分析】由点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上可求得直线AB的方程，即点P（x，y）的坐标间的关系式，从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值．‎ ‎【解答】解：由A（3，0）、B（1，1）可求直线AB的斜率kAB=，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=3．‎ ‎∴2x+4y=2x+22y（当且仅当x=2y=时取“=”）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．数列{an}的前n项和为Sn，若S3=13，an+1=2Sn+1，n∈N*，则符合Sn＞a5的最小的n值为（　　）‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2时，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2时，an=2Sn﹣1+1，∴an+1﹣an=2an，即an+1=3an，‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为3，‎ 由S3=13，∴=13，解得a1=1．‎ ‎∴a5=34=81．‎ Sn==，S5==121＞a5，‎ S4==40＜a5．‎ ‎∴符合Sn＞a5的最小的n值为5．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知y=f（x）是定义在R上的增函数且为奇函数，若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（　　）‎ A．（3，7） B．（9，25） C．（13，49） D．（9，49）‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】由函数y=f（x）为奇函数，f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求．‎ ‎【解答】解：∵函数y=f（x）为奇函数，定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立 ‎∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，‎ ‎∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，‎ ‎∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，‎ 设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，‎ 则d=表示区域内的点和原点的距离．‎ 由下图可知：d的最小值是OA=，‎ OB=OC+CB，5+2=7，‎ 当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（共4题，每题5分共20分）‎ ‎13．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由余弦定理列出关系式，将b，c及cosC的值代入求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：∵b=1，c=，cosC=﹣，‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得：3=a2+1+a，即（a+2）（a﹣1）=0，‎ 解得：a=1，a=﹣2（舍去），‎ 则S△ABC=absinC=×1×1×=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f（1）的解集是　{x|x＜1或x＞2}　．‎ ‎【考点】指、对数不等式的解法；一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】先求出f（1）的值，由求得 x的范围，再由求得x的范围，再取并集即得所求．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（1）=4．‎ 由解得 x＞2．‎ 由解得 x＜1．‎ 故不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2}，‎ 故答案为 {x|x＜1或x＞2}．‎ ‎　‎ ‎15．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足：b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn，则{bn}的前n项和为　（1﹣）　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】令n=1，可得a1=2，结合{an}是公差为3的等差数列，可得{an}的通项公式，继而可得数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{bn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：∵anbn+1+bn+1=nbn．‎ 当n=1时，a1b2+b2=b1．‎ ‎∵b1=1，b2=，‎ ‎∴a1=2，‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列，‎ ‎∴an=3n﹣1，‎ ‎∵（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．‎ 即3bn+1=bn．‎ 即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，‎ ‎∴{bn}的前n项和Sn==（1﹣），‎ 故答案为：（1﹣）‎ ‎　‎ ‎16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　216000　元．‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；‎ ‎【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．‎ 由题意，得，z=2100x+900y．‎ 不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），‎ 目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．‎ 故答案为：216000．‎ ‎　‎ 三、解答题：（共6题，共70分）‎ ‎17．已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．‎ ‎（1）求a，c的值；‎ ‎（2）若不等式ax2+2x+4c＞0的解集为A，不等式3ax+cm＜0的解集为B，且A⊂B，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）由一元二次不等式和对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、c的值；‎ ‎（2）由（1）中a、c的值求解不等式ax2+2x+4c＞0，再根据真子集的定义求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，‎ ‎∴1、3是方程ax2+x+c=0的两根，且a＜0，…‎ 所以；…‎ 解得a=﹣，c=﹣；…‎ ‎（2）由（1）得a=﹣，c=﹣，‎ 所以不等式ax2+2x+4c＞0化为﹣x2+2x﹣3＞0，‎ 解得2＜x＜6，‎ ‎∴A={x|2＜x＜6}，‎ 又3ax+cm＜0，即为x+m＞0，‎ 解得x＞﹣m，‎ ‎∴B={x|x＞﹣m}，…‎ ‎∵A⊂B，‎ ‎∴{x|2＜x＜6}⊂{x|x＞﹣m}，‎ ‎∴﹣m≤2，即m≥﹣2，‎ ‎∴m的取值范围是[2，+∞）．…‎ ‎　‎ ‎18．已知实数x，y满足约束条件：‎ ‎（Ⅰ）请画出可行域，并求z=的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，求实数a的值．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】（I）先根据约束条件画出可行域，z=，利用z的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（1，0）连线的斜率的值最小，从而得到的最小值．‎ ‎（II）先根据约束条件画出可行域，设z=x+ay，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+ay与可行域的边界BC平行时，最优解有无穷多个，从而得到a值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图示画出可行域：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∵表示（x，y）与（1，0）连线的斜率，如图示，‎ 得，即A（3，4），‎ ‎∴当x=3，y=4时，z取最小值=2．﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（Ⅱ）取z=0得直线l：y=﹣x，‎ ‎∵z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，‎ 如图示可知：﹣=kBC=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎∴a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎19．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的性质．‎ ‎【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的性质求出a1=3，d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）由已知得=3n﹣1，从而bn=（2n+1）•3n﹣1‎ ‎，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，‎ 且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列，‎ ‎∴，‎ 解得a1=3，d=2，‎ ‎∴an=3+（n﹣1）×2=2n+1．‎ ‎（2）∵{}是首项为1，公比为3的等比数列，‎ ‎∴=3n﹣1，即bn=（2n+1）•3n﹣1，‎ ‎∴Tn=3•30+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣1，①‎ ‎3Tn=3•3+5•32+7•33+…+（2n+1）•3n，②‎ ‎①﹣②，得：﹣2Tn=3+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n ‎=3+2×﹣（2n+1）•3n ‎=3﹣3+3n﹣1﹣（2n+1）•3n ‎=3n﹣1﹣（2n+1）•3n，‎ ‎∴Tn=﹣．‎ ‎　‎ ‎20．在△ABC中，角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，且asinB﹣bcosA=0，‎ ‎（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用正弦定理得： sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanA=，结合范围0＜A＜π，即可得解A的值．‎ ‎（2）由余弦定理，平方和公式可得bc=，结合基本不等式可得b+c≤‎ ‎+（当且仅当b=c时取等号），即可得解．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）asinB﹣bcosA=0，即为asinB=bcosA，‎ 代入正弦定理得： sinAsinB=sinBcosA，…‎ 又0＜B＜π，sinB≠0，‎ ‎∴sinA=cosA，即tanA=，…‎ 又0＜A＜π，‎ ‎∴A=．…‎ ‎（2）由余弦定理得cosA=，即cos=，‎ 化简得， bc+1=b2+c2，…‎ ‎∵b2+c2=（b+c）2﹣2bc，‎ ‎∴bc+1=（b+c）2﹣2bc，‎ ‎∴bc=，…‎ ‎∵bc≤（）2，‎ ‎∴≤，当且仅当b=c时取等号成立，‎ 解得（b+c）2≤4（2+）=8+4=（+）2，‎ ‎∴b+c≤+（当且仅当b=c时取等号），…‎ ‎∴a+b+c≤1++，（当且仅当b=c时取等号），‎ ‎∴△ABC周长的最大值为1++．…‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}满足．‎ ‎（1）求证：数列{an+1﹣an}是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎（2）记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn＞21﹣2n成立的最小整数n．‎ ‎【考点】数列的求和；等比关系的确定．‎ ‎【分析】（1）由an+2+2an﹣3an+1=0，得an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），数列{an+1﹣an}‎ 就以a2﹣a1=3不首项，公比为2的等比数列，由此能够求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）利用分组求和法得Sn=3（2n﹣1）﹣2n＞21﹣2n，由眦能求出使得Sn＞21﹣2n成立的最小整数．‎ ‎【解答】（1）证明：‎ ‎∴an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），a2﹣a1=3‎ ‎∴数列{an+1﹣an}是以3为首项，公比为2的等比数列，‎ ‎∴an+1﹣an=3•2n﹣1‎ ‎∴n≥2时，‎ an﹣an﹣1=3•2n﹣2，‎ ‎…‎ a3﹣a2=3•2，‎ a2﹣a1=3，‎ 以上n﹣1个式子累加得an﹣a1=3•2n﹣2+3•2n﹣3+…+3•2+3=3（2n﹣1﹣1）‎ ‎∴an=3•2n﹣1﹣2‎ 当n=1时，也满足 从而可得 ‎（2）解：由（1）利用分组求和法得 Sn=（3•20﹣2）+（3•21﹣2）+…（3•2n﹣1﹣2）‎ ‎=3（20+21+…+2n﹣1）﹣2n ‎=﹣2n ‎=3（2n﹣1）﹣2n Sn=3（2n﹣1）﹣2n＞21﹣2n，‎ 得3•2n＞24，即2n＞8=23，‎ ‎∴n＞3‎ ‎∴使得Sn＞21﹣2n成立的最小整数4．‎ ‎　‎ ‎22．某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段．已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第x天的实验需投入实验费用为（px+280）元（x∈N*），实验30天共投入实验费用17700元．‎ ‎（1）求p的值及平均每天耗资最少时实验的天数；‎ ‎（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验x天共赞助（﹣qx2+50000）元（q＞0）．为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求q的取值范围．（实际耗资=启动资金+试验费用﹣赞助费）‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（1））依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为p，首项为p+280，可得方程，即可得出结论；‎ ‎（2）设平均每天实际耗资为y元，则y==（10+q）x++290，分类讨论，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为p，首项为p+280，‎ ‎∴试验30天共花费试验费用为30（p+280）+=17700，‎ 解得，p=20…‎ 设试验x天，平均每天耗资为y元，则 y==10x++290≥2290…‎ 当且仅当10x=，即x=100时取等号，‎ 综上得，p=20，试验天数为100天…‎ ‎（2）设平均每天实际耗资为y元，则 y==（10+q）x++290…‎ 当x=≥50，即0＜q≤10时，‎ y≥2+290，因为0＜q≤10，‎ 所以，ymin=2+290≤2290，…‎ 当x=＜50，即q＞10时，当x=50时，y取最小值，‎ 且ymin=（10+q）•50++290＞2290，‎ 综上得，q的取值范围为（0，10]…‎ ‎　‎ ‎2017年1月15日