2017年漳州市普通高中毕业班质量检查理科数学试卷及答案

2017年漳州市普通高中毕业班质量检查理科数学试卷及答案

‎2017年漳州市普通高中毕业班质量检查试卷 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页，满分150分。‎ 考生注意： ‎ ‎ 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎ 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎ 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎（1）已知集合，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）已知复数满足，则复数的共轭复数为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（3）已知随机变量服从正态分布，若，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）若双曲线的渐近线方程为，则的值为 ‎（A） （B） （C） （D）或 ‎（5）如图，网格纸的小正方形的边长是，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为 ‎ （A）2 （B）4 （C）6 （D）8‎ ‎（6）一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，则右边程序框图输出的表示的是 ‎（A）小球第10次着地时向下的运动共经过的路程 ‎ ‎（B）小球第10次着地时一共经过的路程 ‎ ‎（C）小球第11次着地时向下的运动共经过的路程 ‎ ‎（D）小球第11次着地时一共经过的路程 ‎ ‎（7）已知点的坐标满足过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎(8) 如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30，则正四棱柱的高为 ‎（A） （B） （C） （D）5‎ ‎ (9) 已知，则 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎ (10) 函数在上的图象大致是 ‎ (A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎(11) 已知函数在区间内没有极值点，则的取值范围为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎(12) 曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于的点的轨迹．给出下列命题：‎ ‎①曲线过坐标原点； ‎ ‎②曲线关于坐标轴对称；‎ ‎③若点在曲线上，则的周长有最小值；‎ ‎④若点在曲线上，则面积有最大值．‎ 其中正确命题的个数为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求做答。‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎(13) 已知向量，满足，且，则在方向上的投影为　 　.‎ ‎(14) 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：‎ 甲说：我不是第三名；‎ 乙说：我是第三名；‎ 丙说：我不是第一名．‎ 若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是　 　.‎ ‎(15) 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是　 　.‎ ‎(16) 在中，，，延长线段至点，使得，若，则　 　.‎ 三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知等差数列前5项和为50，，数列的前项和为，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足,，求的值.‎ ‎(18)（本小题满分12分）‎ 漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1.2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0.5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．‎ ‎（Ⅰ）求雕刻师当天收入(单位：元)关于雕刻量（单位：粒，）的函数解析式；‎ ‎（Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量（单位：粒），整理得下表：‎ 雕刻量 ‎210‎ ‎230‎ ‎250‎ ‎270‎ ‎300‎ 频数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ 以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率．‎ ‎（ⅰ）在当天的收入不低于276元的条件下，求当天雕刻量不低于270个的概率；　‎ ‎ （ⅱ）若表示雕刻师当天的收入（单位：元），求的分布列和数学期望．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ B C1‎ A C A1‎ B1‎ D 如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱中，，四边形为矩形，过做与直线平行的平面交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若与底面所成角为，求二面角 的余弦值．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，短轴长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆的切线与曲线相交于、两点，线段的中点为，求的最大值．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，设函数在上的最小值为，求函数的值域．‎ ‎ ‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。‎ ‎(22)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知点，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程和极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求.‎ ‎(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，． ‎（Ⅰ）若，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为，且，求的取值范围．‎ ‎2017年漳州市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题答案及评分参考 ‎ ‎ ‎ 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ (1) C (2) B (3) A (4) B (5) B　 　(6) B ‎ ‎(7) B (8) D (9) A (10) A　　 (11) D (12) C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．‎ ‎ (13) (14)乙 (15) (16)‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）解: （Ⅰ）设等差数列的公差为．‎ ‎ 依题意得 解得，， 2分 ‎ 所以. 3分 ‎ 当时，，‎ ‎ 当时，，‎ ‎ ，‎ ‎ 以上两式相减得，则， 4分 又，所以，. 5分 ‎ 所以为首项为1，公比为4的等比数列，‎ ‎ 所以． 6分 ‎（Ⅱ）因为， ‎ ‎ 当时，， ‎ ‎ 以上两式相减得， 所以，. 8分 ‎ 当时，，所以，不符合上式， 9分 ‎ 所以 10分 ‎ . 12分 ‎(18)解：（I）当时，,‎ ‎ 当时，,‎ ‎ 所以． 4分 ‎（II）（ⅰ）设当天的收入不低于276元为事件，设当天雕刻量不低于270个为事件,‎ ‎ 由（I）得“利润不低于元”等价于“雕刻量不低于230个”，则，‎ ‎ 所以． 7分 ‎（ⅱ）由题意得 ‎ 的可能取值为．‎ ‎ 所以 ‎ 10分 ‎ 的分布列为 ‎ （元）．‎ ‎ 12分 ‎（19）解：（Ⅰ）连接交于点，连接.‎ ‎ 因为平面，平面，平面平面，‎ ‎ 所以． 2分 ‎ 又因为四边形为平行四边形，‎ ‎ 所以为的中点，所以为的中位线，所以为的中点．‎ ‎ 又因为为等边三角形，所以. 4分 ‎（Ⅱ）过作平面垂足为，连接，设．‎ ‎ 因为与底面所成角为，所以．‎ B C1‎ A C A1‎ B1‎ D E ‎ 在中，因为，‎ ‎ 所以，．‎ ‎ 因为平面，平面，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 又因为四边形为矩形，所以，‎ ‎ 因为，所以.‎ ‎ 因为，平面，平面，所以平面．‎ ‎ 因为平面，所以.又因为，所以为的中点．‎ ‎ 7分 B C1‎ A C A1‎ B1‎ D x y z O 以为原点，以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.则，，，.‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以,‎ ‎ ，，‎ ‎ ，. 8分 ‎ 设平面的法向量为，‎ ‎ 由得 ‎ 令，得，所以平面的一个法向量为． ‎ ‎ 设平面的法向量为，‎ ‎ 由得 ‎ ‎ 令，得，所以平面的一个法向量为． 10分 ‎ 所以，‎ ‎ 因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为． 12分 ‎（20）解：（I），所以,又，解得．‎ ‎ 所以椭圆的标准方程． 4分 ‎（II）设，，，易知直线的斜率不为，则设．‎ ‎ 因为与圆相切，则，即； 6分 ‎ 由消去，得，‎ ‎ 则，，‎ ‎ ，，即， 8分 ‎ ， 9分 ‎ 设，则，，‎ ‎ 当时等号成立，所以的最大值等于． 12分 ‎（21）解: 由题意得， 1分 ‎ ‎ (Ⅰ)当时，，所以，‎ ‎ 又因为，‎ ‎ 则所求的切线方程为，即． 4分 ‎ ‎（Ⅱ）设，则对于成立，‎ ‎ 所以在上是增函数，又因为，则，，‎ ‎ 所以在上有唯一零点（）． 6分 ‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎ 因此当时，函数在上的最小值为． 8分 ‎ 因为，则，当时，有．‎ ‎ 所以函数有最小值， 10分 ‎ 令（），‎ ‎ 则在上恒成立，所以在上单调递减，‎ ‎ 因为，，所以的值域为，‎ ‎ 所以的值域为． 12分 ‎（22）选修4—4：坐标系与参数方程 解: （Ⅰ）因为消得曲线的普通方程为． 2分 ‎ ，∴， ‎ ‎ 即曲线的极坐标方程为． 5分 ‎（Ⅱ）因为直线l过点且倾斜角为，‎ ‎ 所以直线的标准参数方程为， 7分 ‎ 将其代入，整理可得， 8分 ‎ ，‎ ‎ 设对应的参数分别为则 ， ‎ ‎ 所以． 10分 ‎（23）解：(Ⅰ)因为，所以，‎ ‎ 当仅当时，即时，的最小值为2． 5分 ‎（Ⅱ）因为，所以，即， 7分 当时，不等式可化为，解得，所以；‎ 当时，不等式可化为，此时无解；‎ ‎ 当时，不等式可化为，解得，所以； ‎ ‎ 综上，的取值范围为． 10分