2020高中数学第三章指数函数和对数函数3

2020高中数学第三章指数函数和对数函数3

正整数指数函数 一、选择题 ‎1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有(　　)‎ ‎①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)．‎ A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 ‎[答案]　D ‎[解析]　由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.‎ ‎2．若集合A＝{y|y＝2x，x∈N＋}，B＝{y|y＝x2，x∈N＋}，则(　　)‎ A．AB B．AB C．A＝B D．A⃘B且B⊉A ‎[答案]　D ‎[解析]　∵A＝{2,4,8,16,32，……}，‎ B＝{1,4,9,16,25，……}，‎ ‎∴2∈A，且2∉B；9∈B且9∉A，故选D.‎ ‎3．若a>0，n、m为正整数，则下列各式中正确的是(　　)‎ A．am÷an＝a B．an·am＝am·n C．(an)m＝am＋n D．ama－n＝am－n ‎[答案]　D ‎[解析]　由指数幂的运算法则有ama－n＝am－n正确．故选D.‎ ‎4．已知00)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 ‎[答案]　B ‎[解析]　∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，‎ ‎∴y＝f(－x)＝3－x＝()x，‎ ‎∴函数为减函数，故选B.‎ ‎2．某地区重视环境保护，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2 ,2010年和2011年种植植被815万m2.当地政府决定今后四年内仍按这个比例发展下去，那么从2012年到2015年种植绿色植被面积为(四舍五入)(　　)‎ A．848万m2 B．1679万m2‎ C．1173万m2 D．12494万m2‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　2012 2013年为815×(1＋2 )，2014 2015年为815×(1＋2 )×(1＋2 )．‎ 共为815×(1＋2 )＋815×(1＋2 )(1＋2 )≈1679.‎ 二、填空题 ‎3．某厂2000年的生产总值为x万元，预计生产总值每年以12 的速度递增，则该厂到2012年的生产总值是________万元．‎ ‎[答案]　x(1＋12 )12‎ ‎[解析]　2001年生产总值为x(1＋12 )；‎ ‎2002年生产总值为x(1＋12 )2；……‎ ‎∴2012年，产品总产值为x(1＋12 )12.‎ ‎4．抽气机每次抽出容器内空气的60 ，要使容器内的空气少于原来的0.1 ，则至少要抽________次．‎ ‎[答案]　8‎ ‎[解析]　设原有空气为1，则抽1次后为1×(1－60 )＝0.4；抽2次后为0.4×(1－60 )＝0.42，……‎ 抽7次后为0.47≈0.0016>0.1 ，‎ 抽8次后为0.48≈0.00066.‎ 故至少应抽8次．‎ 三、解答题 5‎ ‎5．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率控制在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．‎ ‎(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；‎ ‎(2)求函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．‎ ‎[解析]　(1)1999年年底的人口数：13亿；‎ 经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；‎ 经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；‎ 经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．‎ ‎∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．‎ ‎∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，‎ ‎∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．‎ ‎(2)理论上指数函数定义域为R，‎ ‎∵此问题以年作为单位时间，‎ ‎∴x∈N是此函数的定义域．‎ ‎(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，‎ ‎∵1＋1‰>1,13>0，‎ ‎∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，‎ 即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．‎ ‎6．某公司拟对外投资100万元，有两种投资可供选择：一种是年利率10 ，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9 ，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)‎ ‎[解析]　本金100万元，年利率10 ，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10 ×5)＝150(万元)．‎ 本金100万元，年利率9 ，按每年复利计算，5年后的本息和是100×(1＋9 )5≈153.86(万元)．‎ 由此可见，按年利率9 每年复利一次计算要比年利率10 单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元．‎ ‎7．某种商品进价每个80元，零售价每个100元，为了促销拟采取买一个这种商品，赠送一个小礼品的办法，实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10 ，且在一定范围内，礼品价值为n＋1元时，比礼品价值为n元(n∈N＋)时的销售量增加10 .‎ ‎(1)写出礼品价值n元时，利润yn(元)与n的函数关系式；‎ 5‎ ‎(2)请你设计礼品价值，以使商店获得最大利润．‎ ‎[解析]　(1)设未赠礼品时的销量为m件．‎ 则当礼品价值为n元时，销售m(1＋10 )n件，‎ 利润yn＝(100－80－n)·m·(1＋10 )n ‎＝(20－n)m×1.1n(0y11>y12>…>y19.‎ 所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．‎ 5‎