2020年高中数学第四章圆与方程4

2020年高中数学第四章圆与方程4

‎4.1.2‎‎ 圆的一般方程 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是(　　)‎ A．2x－y＋1＝0　　　　　　 B． 2x＋y＋1＝0‎ C．2x－y－1＝0 D．2x＋y－1＝0‎ 解析：把x2＋y2－2x＋6y＋8＝0配方得(x－1)2＋(y＋3)2＝2，圆心为(1，－3)，‎ 直线2x＋y＋1＝0过圆心．‎ 答案：B ‎2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有(　　)‎ A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析：由已知D2＋E2－‎4F>0，可知方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线为圆．若圆关于y＝x对称，则知该圆的圆心在直线y＝x上，则必有D＝E.‎ 答案：A ‎3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是(　　)‎ A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0‎ 解析：x2＋2x＋y2＝0配方得(x＋1)2＋y2＝1，‎ 圆心为(－1,0)，故所求直线为y＝x＋1，‎ 即x－y＋1＝0.‎ 答案：C ‎4．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋y2－2x＋4y＝0‎ B．x2＋y2＋2x＋4y＝0‎ C．x2＋y2＋2x－4y＝0‎ D．x2＋y2－2x－4y＝0‎ 解析：直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，‎ 由得C(－1,2)．‎ ‎∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，‎ 即x2＋y2＋2x－4y＝0.‎ 答案：C 5‎ ‎5．若实数x，y满足x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则的取值范围为(　　)‎ A. B. C. D. 答案：B ‎6．直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点Q为(0,1)，则直线l的方程为________________．‎ 解析：圆心P(－1,2)，AB中点Q(0,1)，kPQ＝＝－1，∴直线l的斜率k＝1，故直线l的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.‎ 答案：x－y＋1＝0‎ ‎7．已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．‎ 解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得 所以点B的坐标为(2，－3)．‎ 答案：(2，－3)‎ ‎8．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．‎ 解析：设Q(x，y)，P(a，b)，‎ 由中点坐标公式，得，‎ 点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，‎ 所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，‎ 化简得2＋2＝，‎ 此即为点Q的轨迹方程．‎ 答案：2＋2＝ ‎9．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)所表示的图形是圆．‎ ‎(1)求t的取值范围；‎ ‎(2)求其中面积最大的圆的方程；‎ ‎(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．‎ 解析：(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3) 2＋(1－4t2)2－16t4－9，‎ 5‎ ‎∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，∴－0，圆M为△ABC的外接圆．‎ ‎(1)求圆M的方程；‎ ‎(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．‎ 解析：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.‎ ‎∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)‎ ‎∴，‎ 解得D＝0，E＝3－a，F＝－‎3a.‎ ‎∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－‎3a＝0.‎ ‎(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.‎ 由，解得x＝0，y＝－3.‎ ‎∴圆M过定点(0，－3)．‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)‎ A. π　　　B．4π C．8π　　　　D．9π 解析：设动点轨迹坐标为P(x，y)，‎ 则由|PA|＝2|PB|，‎ 知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.‎ 答案：B ‎2．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是(　　)‎ 5‎ A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4‎ C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)‎ 解析：如图所示，BC的中点D(0,0)，‎ ‎∵|AD|＝3，∴点A在以D(0,0)为圆心，3为半径的圆上，且A、B、C三点不共线．‎ ‎∴A的轨迹方程是x2＋y2＝9(y≠0)．‎ 答案：C ‎3．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为________．‎ 解析：要使方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆，则应有a2＋ (‎2a)2－4(‎2a2＋a－1)>0，解得－20.则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.‎ 5‎