人教A数学必修一方程的根与函数的零点能力强化提升

人教A数学必修一方程的根与函数的零点能力强化提升

‎【成才之路】2014高中数学 ‎3-1-1‎ 方程的根与函数的零点能力强化提升 新人教A版必修1‎ 一、选择题 ‎1．下列图象表示的函数中没有零点的是(　　)‎ ‎[答案]　A ‎2．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上(　　)‎ A．至少有一实根　　　　 B．至多有一实根 C．没有实根 D．必有唯一的实根 ‎[答案]　D ‎3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f(x)‎ ‎123.56‎ ‎21.45‎ ‎－7.82‎ ‎11.57‎ ‎－53.76‎ ‎－126.49‎ 函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎[答案]　B ‎4．(2012～2013山东淄博一中高一期中试题)对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)＞0，f(b)＞0，则f(x)在(a，b)为(　　)‎ A．一定有零点 B．可能有两个零点 C．一定有没有零点 D．至少有一个零点 ‎[答案]　B ‎[解析]　若f(x)的图象如图所示否定C、D 若f(x)的图象与x轴无交点，满足f(a)>0，f(b)>0，则否定A，故选B.‎ ‎5．下列函数中，在[1,2]上有零点的是(　　)‎ A．f(x)＝3x2－4x＋5‎ B．f(x)＝x3－5x－5‎ C．f(x)＝lnx－3x＋6‎ D．f(x)＝ex＋3x－6‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　A：3x2－4x＋5＝0的判别式Δ<0，‎ ‎∴此方程无实数根，∴f(x)＝3x2－4x＋5在[1,2]上无零点．‎ B：由f(x)＝x3－5x－5＝0得x3＝5x＋5.‎ 在同一坐标系中画出y＝x3，x∈[1,2]与y＝5x＋5，x∈[1,2]的图象，如图1，两个图象没有交点．‎ ‎　　‎ ‎∴f(x)＝0在[1,2]上无零点．‎ C：由f(x)＝0得lnx＝3x－6，在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝3x－6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在[1,2]内没有交点，因而方程f(x)＝0在[1,2]内没有零点．‎ D：∵f(1)＝e＋3×1－6＝e－3<0，f(2)＝e2>0，‎ ‎∴f(1)·f(2)<0.‎ ‎∴f(x)在[1,2]内有零点．‎ ‎6．函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为(　　)‎ A．4 B．2‎ C．1 D．0‎ ‎[答案]　D ‎7．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)‎ A．－1和 B．1和－ C.和 D．－和－ ‎[答案]　B ‎[解析]　由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，‎ ‎∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2－5x－1有两个零点1和－.‎ ‎8．(2010·福建理，4)函数f(x)＝的零点个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　令x2＋2x－3＝0，∴x＝－3或1；‎ ‎∵x≤0，∴x＝－3；令－2＋lnx＝0，∴lnx＝2，‎ ‎∴x＝e2>0，故函数f(x)有两个零点．‎ 二、填空题 ‎9．已知函数f(x)在定义域R上的图象如图所示，则函数f(x)在区间R上有________个零点．‎ ‎[答案]　3‎ ‎10．(上海大学附中2011～2012高一期末)方程10x＋x－2＝0解的个数为________．‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　画函数y＝10x与y＝2－x的图象，只有一个交点，故方程只有一解．‎ ‎11．已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则m的取值范围是______________．‎ ‎[答案]　(－∞，－]‎ ‎[解析]　∵f(x)在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，‎ ‎∴(－‎6m－4)(－4)≤0，解得m≤－.‎ ‎∴实数m的取值范围是(－∞，－]．‎ ‎12．函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是____________．‎ ‎[答案]　－3‎ ‎[解析]　设另一个零点为x1，则x1＋1＝－2，∴x1＝－3.‎ 三、解答题 ‎13．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎136.136‎ ‎15.552‎ ‎－3.92‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f(x)‎ ‎10.88‎ ‎－52.488‎ ‎－232.064‎ 求函数f(x)含有零点的区间．‎ ‎[解析]　由表格知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，故零点分布的区间应是(2,3)，(3,4)，(4,5)．‎ ‎14．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．‎ ‎(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；‎ ‎(2)f(x)＝x2＋x＋2；‎ ‎(3)f(x)＝；‎ ‎(4)f(x)＝3x＋1－7；‎ ‎(5)f(x)＝log5(2x－3)．‎ ‎[解析]　(1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.‎ ‎(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝(－1)2－4×1×2＝－7<0，所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．‎ ‎(3)因为f(x)＝＝，令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.‎ ‎(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，所以函数的零点为log3.‎ ‎(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，所以函数的零点为2.‎ ‎15．若函数f(x)＝x2＋(‎2a－1)x＋1－‎2a在(－1,0)及(0，)内各有一个零点，求实数a的范围．‎ ‎[解析]　由y＝f(x)在(－1,0)及(0，)各有一个零点，只需即，解得0，‎ 而函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．‎