2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练23　简单的三角恒等变换

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练23　简单的三角恒等变换

课时分层训练(二十三)　简单的三角恒等变换 ‎(对应学生用书第242页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)‎ A. B． C．π D．2π C　[y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，T＝＝π.‎ 故选C.]‎ ‎2．(2018·东北三省三校二联)函数f(x)＝sin x＋cos的值域为(　　)‎ A．[－2,2] B．[－，]‎ C．[－1,1] D． C　[由于f(x)＝sin x＋cos＝sin x＋cos xcos－sin xsin＝sin x＋cos x＝sin∈[－1,1]，故选C.]‎ ‎3．化简：＝(　　) ‎ ‎【导学号：79140128】‎ A．1 B． C. D．2‎ C　[原式＝＝＝＝，故选C.]‎ ‎4．已知sin 2α＝，tan＝，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C．－ D． A　[由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.]‎ ‎5．(2018·济南一模)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°.若m2＋n＝4，则＝(　　)‎ A．8 B．4‎ C．2 D．1‎ C　[由题意得n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，则＝＝＝＝2，故选C.]‎ 二、填空题 ‎6．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝________.‎ ‎－　[由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，‎ sin β＝sin α，cos β＝－cos α.‎ 又sin α＝，‎ ‎∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ‎＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1‎ ‎＝2×－1＝－.]‎ ‎7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．‎ 　[因为cos(α＋β)＝，‎ 所以cos αcos β－sin αsin β＝. ①‎ 因为cos(α－β)＝，‎ 所以cos αcos β＋sin αsin β＝. ②‎ ‎①＋②得cos αcos β＝.‎ ‎②－①得sin αsin β＝.‎ 所以tan αtan β＝＝.]‎ ‎8．(2018·石家庄质检(二))在平面内将点A(2,1)绕原点按逆时针方向旋转，得到点 B，则点B的坐标为________. ‎ ‎【导学号：79140129】‎ 　[由题意得|OB|＝|OA|＝，设射线OA与x轴正半轴的夹角为θ，则易得sin θ＝＝，cos θ＝＝，则xB＝cos＝＝－.‎ yB＝sin＝＝，所以点B的坐标为.]‎ 三、解答题 ‎9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．‎ ‎[解]　由cos β＝，β∈，‎ 得sin β＝，tan β＝2.‎ ‎∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴＜α＋β＜，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎10．(2018·合肥调研)已知函数f(x)＝sin x＋cos x.‎ ‎(1)当f(x)＝时，求sin的值；‎ ‎(2)若g(x)＝f(2x)，求函数g(x)在上的值域．‎ ‎[解]　(1)依题意，sin x＋cos x＝⇒(sin x＋cos x)2＝2⇒sin 2x＝1，‎ ‎∴cos 2x＝0，‎ ‎∴sin＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＝.‎ ‎(2)g(x)＝f(2x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，‎ ‎∵x∈，∴2x＋∈，‎ ‎∴sin∈.‎ ‎∴函数g(x)在上的值域为[－1，]．‎ B组　能力提升 ‎11．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若α∈，则3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ D　[由3cos 2α＝sin，得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又α∈，得cos α－sin α≠0，所以cos α＋sin α＝，两边平方可得1＋sin 2α＝，则sin 2α＝－，故选D.]‎ ‎12．(2018·银川质检)关于函数f(x)＝2cos2＋sin x(x∈[0，π])，下列结论正确的是(　　)‎ A．有最大值3，最小值－1‎ B．有最大值2，最小值－2‎ C．有最大值3，最小值0‎ D．有最大值2，最小值0‎ C　[由题意得f(x)＝2cos2＋sin x＝cos x＋1＋sin x＝2sin＋1，因为0≤x≤π，所以≤x＋≤，－≤sin≤1,0≤2sin＋1≤3.所以f(x)的最大值为3，最小值为0，故选C.]‎ ‎13．已知0＜θ＜π，tan＝，那么sin θ＋cos θ＝________.‎ ‎－　[由tan＝＝，解得tan θ＝－，即＝－，∴cos θ＝－sin θ，‎ ‎∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.‎ ‎∵0＜θ＜π，∴sin θ＝，∴cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－.]‎ ‎14．(2017·广东湛江一模)已知函数f(x)＝Acos(A＞0，ω＞0)图像相邻两条对称轴的距离为，且f(0)＝1.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)设α、β∈，f＝－，f＝，求tan(2α－2β)的值. ‎ ‎【导学号：79140130】‎ ‎[解]　(1)∵函数f(x)＝Acos(A＞0，ω＞0)图像相邻两条对称轴的距离为，∴＝＝，∴ω＝2，‎ 又f(0)＝1，∴A＝1，∴A＝2，‎ ‎∴f(x)＝2cos.‎ ‎(2)∵α∈，f ‎＝2cos＝2cos(2α－π)＝－2cos 2α＝－，‎ ‎∴cos 2α＝，sin 2α＝＝，‎ 则tan 2α＝＝.‎ ‎∵β∈，f＝2cos＝2cos 2β＝，‎ ‎∴cos 2β＝，∴sin 2β＝＝，‎ 则tan 2β＝＝.‎ ‎∴tan(2α－2β)＝＝＝.‎