数学卷·2017届湖北省武汉二中高三下学期周练（二）（2017

数学卷·2017届湖北省武汉二中高三下学期周练（二）（2017

‎2017届高三数学周练21‎ 命题人：张波 审题人：李灵文 时间：2017.2.11‎ 一、选择题： ‎ ‎1. 若复数z满足(1＋i)z＝2i(i是虚数单位), 则z＝（ ）‎ A. －＋i　　 B.－I C.＋I D. －－i ‎2. 设f(x)＝lg(＋a)是奇函数, 且在x＝0处有意义, 则该函数是（ ）‎ A. (－∞, ＋∞)上的减函数 B. (－∞, ＋∞)上的增函数 C. (－1,1)上的减函数 D. (－1,1)上的增函数 ‎3. 如图所示的流程图, 若输入的x＝－9.5, 则输出的结果为（ ）‎ ‎ A. －2　　　 B. －1 C. 0 D. 1‎ ‎4. 箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球, 从箱中一次摸出两个球, 记下号码并放回, 如果两球号码之积是4的倍数, 则获奖. 现有4人参与摸奖, 恰好有3人获奖的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎5. 已知角α的顶点在原点, 始边与x轴的非负半轴重合, 终边过点(－, ), 则cosα的值为（ ）‎ A.　　 B. － C. －　　　 D. － ‎6. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示, 俯视图是等腰直角三角形, ‎ 那么该三棱锥的侧视图可能（ ）‎ ‎7. 已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线－＝1(a＞0, b＞0)的左顶点, 且此双曲线的一条渐近线方程为y＝2x, 则双曲线的焦距为（ ）‎ A. B. 2 C. D. 2 ‎8. 若(x＋)5的展开式中x3的系数为10, 则实数a的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. －1 D. ‎9. 函数f(x)＝的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)‎ A. 3 B. C. 4 D. ‎10. 已知a、b为非零向量, m＝a＋tb(t∈R), 若|a|＝1, |b|＝2, 当且仅当t＝时, |m|取得最小值, 则向量a、b的夹角为(　　)‎ A. B. C. D. ‎11. 已知函数①y＝sinx＋cosx, ②y＝2sinxcosx, 则下列结论正确的是（ ）‎ A. 两个函数的图象均关于点(－, 0)成中心对称图形 B. 两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形 C. 两个函数在区间(－, )上都是单调递增函数 D. 两个函数的最小正周期相同 ‎12. 若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1), 且在x∈[0,1]时, f(x)＝x2, 则关于x的方程f(x)＝()x在[0, ]上根的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 二、填空题：‎ ‎13. 已知矩形 A BCD中, A B=2, BC=1, 点 P是 BD上任意一点, 则•（+）的取值范围是________. ‎ ‎14. 已知x, y满足, 则的取值范围是________. ‎ ‎15. 设椭圆+=1和双曲线﹣=1有共同的焦点, 连接椭圆的焦点和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行, 设双曲线的离心率为e, 则e2=_______‎ ‎16. 如图, 直线l⊥平面α, 垂足为O.已知长方体ABCD－A1B1C1D1中, AA1＝5, AB＝6, AD＝8.该长方体做符合以下条件的自由运动：(1)A∈l, (2)C∈α.则C1、O两点间的最大距离为________. ‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎ ‎17. 已知正项等比数列{an}满足：log3a1＋log3a3＝4, log3a5＋log3a7＝12.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Tn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an, 如果数列{bn}满足：bn＝；若存在n∈N*, 使不等式m＜(b1＋b2＋…＋bn)()n成立, 求实数m的取值范围. ‎ ‎18. 如图, 在四棱锥P－ABCD中, PA⊥底面ABCD, ∠DAB为直角, AB∥CD, AD＝CD＝2AB, E、F分别为PC、CD的中点. ‎ ‎(1) 证明：AB⊥平面BEF；‎ ‎(2) 设PA＝k·AB, 若平面EBD与平面BDC所成的角大于45° ‎ 求k的取值范围. ‎ ‎19. 农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物, 从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实, 测得籽重（单位：克）数据如下：‎ 甲种作物的产量数据：111, 111, 122, 107, 113, 114‎ 乙种作物的产量数据：109, 110, 124, 108, 112, 115‎ ‎（1）作出两组数据的茎叶图；‎ ‎（2）设1颗杂粮作物果实的籽重为x, 若x∈（110, 120）, 则称该果实为标准果实, 现从上述12颗果实中任选3颗, 记标准果实的颗数为 X, 求随机变量 X的期望 ‎20. 如图, 椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上, 左、右顶点分别为 A1、‎ A, 上顶点为B.抛物线C1、C2分别以A、B为焦点, 其顶点均为坐标 原点O, C1与C2相交于直线y＝x上一点P.‎ ‎(1) 求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；‎ ‎(2) 若动直线l与直线OP垂直, 且与椭圆C交于不同两点M、N, ‎ 已知点Q(－, 0), 求·的最小值. ‎ ‎21. 已知函数f(x)＝的图象过点(－1,2), 且在x＝处取得极值. ‎ ‎(1)求实数b、c的值；‎ ‎(2)求f(x)在[－1, e](e为自然对数的底数)上的最大值. ‎ 请在第22、23三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。‎ ‎22. 选修4－4：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点O为极点, x轴的正半轴为极轴, 已知点P的直角坐标为(1, －5), 点M的极 坐标为(4, ), 若直线l过点P, 且倾斜角为, 圆C以M为圆心、4为半径. ‎ ‎(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)试判定直线l和圆C的位置关系. ‎ ‎23. 选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x＋1|, g(x)＝2|x|＋a.‎ ‎(1)当a＝0时, 解不等式f(x)≥g(x)；‎ ‎(2)若存在x∈R, 使得f(x)≥g(x)成立, 求实数a的取值范围. ‎ ‎2017届高三数学周练21参考答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D D B D D B B C C C C 二、填空题 ‎13. [﹣5, ] 14. [－1, ] 15. 16. 5＋5 三、解答题 ‎17. 解：(1)设正项等比数列{an}的公比为q, 根据题意得：a1a3＝a＝34, 所以a2＝32, 同理a6＝36, ‎ a6＝a2q4, 可得q＝3. 故an＝3n, n∈N*.‎ ‎(2)∵Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1), ∴bn＝＝－, ‎ ‎∴b1＋b2＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.‎ 设f(n)＝()n, 则f(n＋1)－f(n)＝－()n·≤0, ‎ ‎∴f(1)＝f(2)＞f(3)＞f(4)＞…, ∴f(n)≤f(1)＝. 故m＜.‎ ‎18. 解：(1)由已知得DF綊AB, 且∠DAB为直角, 故四边形ABFD是矩形, 从而AB⊥BF.‎ 又PA⊥底面ABCD, PA⊂平面PAD, 所以平面PAD⊥平面ABCD, ‎ 因为AB⊥AD, 故AB⊥平面PAD, 所以AB⊥PD, ‎ 在△PDC内, E、F分别是PC、CD的中点, 所以EF∥PD, AB⊥EF.‎ 由此得AB⊥平面BEF.‎ ‎(2)如图, 在A为原点, 以AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设AB的长为1, 则A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,2,0), ‎ F(1,2,0), P(0,0, k), E(1,1, ), ＝(－1,2,0), ＝(0,1, ), ‎ 故平面CDB的法向量为n1＝(0,0,1), 平面EDB的法向量为n2＝(x, y, z), ‎ 则, ∴, 取y＝1, 可得n2＝(2,1, －). ‎ 设二面角E－BD－C的大小为θ, ‎ 则cos θ＝|cos〈n1, n2〉|＝＝＜, 化简得k2＞, 则k＞.‎ ‎19.解：（1）由已知条件, 作出两组数据的茎叶图, 如右图. ‎ ‎（2）根据题意, X的可能取值为0, 1, 2, 3, ‎ P（X=0）==, P（X=1）==, ‎ P（X=2）==, P（X=3）==, ‎ ‎∴随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎ 1‎ ‎2 ‎ ‎ 3‎ ‎ P E（X）==. ‎ ‎20. 解：(1)由题意得, A(a,0), B(0, ), 故抛物线C1的方程可设为y2＝4ax, 抛物线C2的方程为 x2＝4y. 由得a＝4, P(8,8). ‎ 所以椭圆C：＋＝1, 抛物线C1：y2＝16x, 抛物线C2：x2＝4y.‎ ‎(2)由(1)知, 直线OP的斜率为, 所以直线l的斜率为－, 可设直线l的方程为 y＝－x＋b, 由消去y, 整理得5x2－8bx＋(8b2－16)＝0.‎ 因为动直线l与椭圆C交于不同两点, 所以Δ＝128b2－20(8b2－16)＞0, ‎ 解得－＜b＜.‎ 设M(x1, y1), N(x2, y2), 则x1＋x2＝, x1x2＝, ‎ y1y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝x1x2－(x1＋x2)＋b2＝.‎ 因为＝(x1＋, y1), ＝(x2＋, y2), ‎ 所以·＝(x1＋, y1)·(x2＋, y2)＝x1x2＋(x1＋x2)＋y1y2＋2＝.‎ 因为－＜b＜, 所以当b＝－时, ·取得最小值, 其最小值等于 ×(－)2＋×(－)－＝－.‎ ‎21. 解：(1)当x＜1时, f′(x)＝－3x2＋2x＋b, ‎ 由题意得, 即, ‎ 解得b＝c＝0.‎ ‎(2) 由(1)知f(x)＝, ‎ ‎①当－1≤x＜1时, f′(x)＝－x(3x－2), ‎ 由f′(x)＝－x(3x－2)＝0得：x＝0或x＝, ‎ 解f′(x)＞0得0＜x＜；解f′(x)＜0得－1≤x＜0或＜x＜1, ‎ ‎∴f(x)在[－1,0)和(, 1)上单调递减, 在(0, )上单调递增, ‎ ‎∵f(－1)＝2, f()＝, f(0)＝0, f(1)＝0, ∴f(x)在[－1,1)上的最大值为2.‎ ‎②当1≤x≤e时, f(x)＝alnx, ‎ 当a≤0时, f(x)≤0；当a＞0时, f(x)在[1, e]上单调递增；‎ ‎∴f(x)在[1, e]上的最大值为a.‎ ‎∴当a≥2时, f(x)在[－1, e]上的最大值为a；‎ 当a＜2时, f(x)在[－1, e]上的最大值为2.‎ ‎22. 解：(1)由题意, 直线l的普通方程是 y＋5＝(x－1)tan, 此方程可化为＝, ‎ 令＝＝a(a为参数), 得直线l的参数方程为(a为参数). ‎ 如图, 设圆上任意一点为Q(ρ, θ), ‎ 则在△QOM中, 由余弦定理, 得 QM2＝QO2＋OM2－2·QO·OMcos∠QOM, ‎ ‎∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos(θ－). ‎ 化简得ρ＝8sinθ, 即为圆C的极坐标方程. ‎ ‎(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4), 直线l的普通方程是x－y－5－＝0, ‎ 圆心M到直线l的距离d＝＝＞4, 所以直线l和圆C相离. ‎ ‎23. 解：(1)∵|x＋1|≥2|x|⇒x2＋2x＋1≥4x2⇒－≤x≤1, ‎ ‎∴不等式f(x)≥g(x)的解集为[－, 1]. ‎ ‎(2)若存在x∈R, 使得|x＋1|≥2|x|＋a成立, 即存在x∈R, 使得|x＋1|－2|x|≥a成立. ‎ 令φ(x)＝|x＋1|－2|x|, 则a≤φ(x)max, ‎ 又φ(x)＝ 当x≥0时, φ(x)≤1；当－1≤x＜0时, －2≤φ(x)＜1；当x＜－1时, φ(x)＜－2.综上可得：φ(x)≤1, ‎ ‎∴a≤1, 即实数a的取值范围为(－∞, 1]. ‎