安徽省蚌埠市2020届高三下学期第四次教学质量检查考试 数学（文） PDF版含答案

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蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 1 页（共 4 页） 蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试 数 学（文史类） 本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的 A、B、C、D 的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的） 1. 设集合 { 2,2,4,6}A   ， 2{ | 12 0}B x x x    ，则 A B  A. ( 2,2) B. { 2,0,2} C. {2,4} D. { 2,2} 2. 已知i 是虚数单位，若 (i 2) 2iz   ，则 z  A. 2 4i 5 5  B. 2 4i 5 5  C. 2 4i 5 5   D. 2 4i 5 5   3. 已知 为锐角， π 3sin( )3 3   ，则 cos  A. 6 3 6 2  B. 6 3 6 2  C. 6 1 6 2  D. 6 1 6 2  4. 双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的一条渐近线过 ( 1,2) ，则双曲线的离心率为 A. 5 B. 10 2 C. 5 2 D. 2 5. 2019 年以来，世界经济和贸易增 长放缓，中美经贸摩擦影响持续 显现，我国对外贸易仍然表现出 很强的韧性. 今年以来，商务部会 同各省市全面贯彻落实稳外贸决 策部署，出台了一系列政策举措， 全力营造法治化、国际化、便利化 的营商环境，不断提高贸易便利化 水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，右图 是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误．．的是 A．这五年，2015 年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2019 年进口增速最快 第 5 题图 蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 2 页（共 4 页） 6. 已知 0.5 3 1 3 log 2, log 4, 3a b c   ,则 A. a b c  B.  a c b  C. b c a  D. b a c  7. 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 2 1nS nn    ，则 1 7a a  A. 30 B. 29 C. 28 D. 27 8. 函数    tan lnf x x x x  在          2 π,00,2 π 内的图象大致是 9. 在△ ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若 2BD DC ，且 BE xAB yAC    ， 则 x y  A. 2 3  B. 1 2  C. 1 3 D. 1 3  10. 已知四棱锥 ABCDS  的底面 ABCD 为边长为 2 的菱形， 5 SCSA ， 3 SDSB , E 为 AB 中点，则 SE 与底面 ABCD 所成角的正切值为 A. 1 2 B. 2 2 C. 2 D. 2 11. 已知函数 )2 π|φ|,0,0φ)(cos(ω)(  AxAxf 的图象如图所示，且 ( )f x 在 0x x 时 取得最小值，则 0| |x 的最小值为 A. 6 π B. 3 π C. 2 π D. 3 π2 第 11 题图 第 12 题图 蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 3 页（共 4 页） 12. 已知正方体 1111 DCBAABCD  棱长为 4， P 是 1AA 中点，过点 1D 作平面 ，满足 CP 平 面 ，则平面 与正方体 1111 DCBAABCD  的截面周长为 A. 12 2 B. 4 5 6 2 C. 8 2 8 D. 8 5 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卷相应横线上） 13. 已知命题 π: 0, , sin 02p x x x       ，则 p 为____________________. 14. 已知函数 2 2 , 1( ) log (1 ), 1 x xf x x x        ，则 (0) ( 3)f f   ____. 15. 已知 O 为坐标原点，抛物线 2: 2C y px 上一点 A 到焦点的距离为 4，若点 M 为抛物线 C 准 线上的动点，且 OM MA 的最小值为 2 13 ，则 p 等于______. 16. 在 ABC 中，设角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，若 sin sinsin 2 A CB  ，则 1 1 sin sinA C  的最小值为________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 已知等差数列{ }na 的公差不为 0， 1 1a  ，且满足 4 6 9, ,a a a 成等比数列. （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 2 1 n n n b a a   ，记数列 nb 的前 n 项和 nS ，证明： 3 4nS  . 18. （12 分） 某省为迎接新高考，拟先对考生某选考学 科的实际得分进行等级赋分，再按赋分后 的分数从高分到低分划 A,B,C,D,E 五个等 级，考生实际得分经赋分后的分数在 30 分到 100 分之间.在等级赋分科学性论证 时，对过去一年全省高考考生的该学科成 绩重新赋分后进行分析，随机抽取 2000 名考生的该学科赋分后的成绩, 得到如上频率分布直方图. （不考虑缺考考生的试卷）. （1）求这 2000 名考生该学科赋分后的平均分 x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）某市有 20000 名考生，请估计赋分后成绩不低于 80 分的人数； （3）用分层抽样的方式在 60 分到 80 分的学生中抽取一个容量为 5 的样本，再从这 5 人中 任选两人，求这两人分数都超过 70 分的概率. 第 18 题图 蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 4 页（共 4 页） 19. （12 分） 如图，等腰直角三角形 ABC 所在的平面与半圆弧 AB 所 在的平面垂直， AC AB ， P 是弧 AB 上一点，且 30PAB . （1）证明： ACPBCP 平面平面  ； （2）若Q 是弧 AP 上异于 PA, 的一个动点， 且 4AB ，当三棱锥 APQC  体积最大时， 求点 A 到平面 PCQ 的距离. 20. （12 分） 已知函数 ( ) e 1 sinxf x a x   R).( a （1）当 1a  时，求曲线 ( )f x 在 ))0(,0( f 处的切线方程； （2）若当  0,πx 时，   0f x  恒成立，求实数 a 的取值范围. 21. （12 分） 已知椭圆 2 2 2: 1 03 x yC aa   （ ）的离心率为 1 2 ， 1 2,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线l 过椭圆C 右焦点 2F ，交该椭圆于 BA, 两点， AB 中点为Q ，射线OQ 交椭圆于 P ，记△ AOQ 的面积为 1S ，△ BPQ 的面积为 2S ，若 2 13S S ，求直线l 的方程. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，四边形OABC 是正方形，其中 (2,0)A ， (0,2)C ，以O 为极点， x 轴 的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 2cos  . （1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程； （2）点Q 是曲线 E 上的动点，求 2 2| | | |QA QC 的取值范围. 23. [选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ) | 2 1| 2 | |f x x x a    （1）若 1a   ，求 ( )f x 的最大值； （2）若 ( ) 2 0f x   恒成立，求 a 的范围. 第 19 题图 蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 1 页（共 4 页） 蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试 数学（文史类）参考答案及评分标准 一、选择题： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D A C A C D B A B C D B 二、填空题： 13. 0 0 0 π0, , sin 02x x x       14. 1 15. 4 16. 4 3 3 三、解答题： 17. （本题满分 12 分） （1）设等差数列{ }na 的公差为 ( 0)d d  ， 由 4 6 9, ,a a a 成等比数列，得 2 6 4 9a a a ， ………………………………………………2 分 即 2 1 1 1( 5 ) ( 3 )( 8 )a d a d a d    ， 整理得 2 1 0d a d  ， 结合 1 1a  ， 0d  ，解得 1d  ， ……………………………………………………5 分 所以 na n . ………………………………………………………………………………6 分 （2）由（1）知 2 1 1 1 1 1( )( 2) 2 2n n n b a a n n n n      ， ………………………………8 分 故  )5 1 3 1()4 1 2 1()3 1 1 1[(2 1 nS … )]2 11(  nn 1 1 1 1(1 )2 2 1 2n n      ………………………………………………………10 分 3 1 1 1( )4 2 1 2n n     3 4  . …………………………………………………12 分 18. （本题满分 12 分） （1）依题意， 35 0.05 45 0.1075 55 0.19 65 0.3 75 0.2x           85 0.1025 95 0.05    ……………………………………………………………………………………… 2 分 65 ……………………………………………………………………………………4 分 （2）依题意，所求人数为 20000×（0. 01025×10+0. 00500×10）=3050 ………………6 分 （3）由频率分布直方图可知，60 分到 80 分之间的学生人数比为 3:2，所以按照分层抽样的 方式抽的样本中，60 分到 70 分的有 3 人，分别记为 ,,, 321 AAA 70 分到 80 分的有 2 人， 分别记为 ., 21 BB …………………………………………………………………………8 分 从中任选两人，列举如下： ),,( 21 AA ),,( 31 AA ),,( 11 BA ),,( 21 BA ),,( 32 AA ),,( 12 BA ),,( 22 BA ),,( 13 BA ),,( 23 BA ),,( 21 BB 共 10 种情况，………………………………………………………………10 分 而两人分数都超过 70 分的共有 1 种情况， 所以从这 5 人中任选两人，这两人分数都超过 70 分的概率 1 10p  . ………………12 分 蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 2 页（共 4 页） 19. （本题满分 12 分） （1）∵平面 ABC 平面 ABP ， ABAC  ， 平面 ABC 平面 ABABP  ， AC 平面 ABC ， ,ABPAC 平面 ……………………………………………………………………2 分 又 ,, BPACABPBP  平面 ……………………………………………………3 分 ,, BPAPAB 为直径 又 ,, AAPACBPAC   ,ACPBP 平面 ……………………………………………………………………5 分 又 ., ACPBCPBCPBP 平面平面平面  ………………………………………6 分 （2） ,, ACPACAPQAC 平面平面  ∴平面 ACP⊥平面 AQP 当三棱锥 C-APQ 体积最大时，Q 为 AP 的中点. ……………………………………7 分   πPAB AQ QP BP  ＝ ， ＝ ＝6 ，且 3 πQAB 4 ACAB ，则 2 PBQPAQ ， 32AP 32 3222 1sin2 1  AQPQPAQS APQ ， ……………………………8 分 在△CPQ 中， 5224 2222  AQACCQ ，   ,72324 2222  APACPC , 52 1 2522 28420 2cos 222     QPCQ CPPQCQCQP ,20 19sin  CQP …………………………………………………………………10 分 1920 192522 1sin2 1  CQPQPCQS PQC . 设点 A 到平面 PCQ 的距离为 d ，则由 APQCPCQA VV   , ， 19 574，433 1·193 1，·3 1·3 1   ddACSdS APQPQC 即得 点 A 到平面 PCQ 的距离为 19 574 . ………………………………………………12 分 20. （本题满分 12 分） （1）当 1a  时， ( ) e 1 sinxf x x   ， ( ) e cosxf x x   ， 则 (0) 0, (0) 0f f   ， ………………………………………………………………2 分 所以曲线 ( )f x 在 0x  处的切线方程为 0 0 ( 0)y x    ， 即 0y  . …………………………………………………………………………………4 分 蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 3 页（共 4 页） （2）因为  0,πx ，    cos ,    sinx xf x e a x f x e a x     . ① 当 0a  时，即 0a  ， sin 0, sin 0x a x   ，又 1 0xe   ， 1 sin 0xe a x    ，即   0f x  恒成立，符合题意；………………………6 分 ② 当 0 1a  时，     sin 0xf x e a x     f x 在区间 0,π 单调递增，    0 1 0,  0f a f x      ，  f x 在区间 0,π 单调递增，    0 0,  0f f x   ，符合题意；……………………………………………8 分 ③ 当 1a  时，     sin 0xf x e a x     f x 在区间 0,π 单调递增，   π 2π0 1 0,  =e 02f a f         ，    0 00,π , 0x f x  使 ，    00 , 0,x x f x f x   单调递减；    0 π, 0,x x f x f x   单调递增；    0 0 0f x f   ，不符合题意；………………………………………………11 分 综上所述， a 的范围是  ,1 . ……………………………………………………12 分 21. （本题满分 12 分） （1）由题意可知椭圆的离心率为 2 3 1 2 a a   ，解得 2a  ，……………………………3 分 所以椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . ……………………………………………………4 分 （2） 2 13S S ， 1 1| || | sin 3 | || | sin2 2PQ QB BQP OQ QA AQO     | | 3| |, | | 4 | |, 4 ,P QPQ OQ OP OQ x x      ……………………………………6 分 AB 斜率不存在时， 1 2S S ，不符合题意；………………………………………7 分 当 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为  1y k x  ， 设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 2 2 1 1 2 2 2 2 14 3 14 3 x y x y       ， 两式作差可得 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 y y y y x x x x      ，即 3 4AB OPk k   ，即 3 4OPk k   . 故直线OP 的方程为 3 4y xk   . …………………………………………………9 分 蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 4 页（共 4 页） 联立 2 2 3 4 14 3 y xk x y       ，解得 2 2 2 16 3 4P kx k   ； 联立  1 3 4 y k x y xk     ，解得 2 2 4 3 4Q kx k   ； 因为 QP xx 4 ，所以 2 2 2 43 44 43 ||4 k k k k   ，解得 1 2k   ， 直线 AB 方程为  1 12y x   . ……………………………………………………12 分 22. （本题满分 10 分） 解：（1）由 2cos  ，得 2 2 cos   从而 2 2 2x y x  ， 故曲线 E 的直角方程为 1)1( 22  yx . ……………………3 分 （注：不化为标准形式不扣分） 而直线 AC 的普通方程为 2x y  , 所以其极坐标方程为 cos sin 2     . …………………………………………5 分 （2）因为点 Q 在曲线 E 上，所以可设其坐标为 (1 cos ,sin )  ，………………………6 分 则 2 2| | | |QA QC 2 2(cos 1) (sin )    2 2(1 cos ) (sin 2)     8 4sin  . ………………8 分 因为 1 sin 1   ，所以 2 24 | | | | 12QA QC   ， 所以 2 2| | | |QA QC 的取值范围是[4,12] . …………………………………………10 分 23. （本题满分 10 分） 解：（1）当 1a   时， ( ) | 2 1| 2| 1|f x x x    ， ………………………………………1 分 所以，当 1x   时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x      ；…………………………………2 分 当 11 2x   时， ( ) 2 1 2 2 4 1 3f x x x x         ；…………………………3 分 当 1 2x  时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x      . …………………………………………4 分 所以 ( )f x 的最大值为 3. ………………………………………………………………5 分 （2）因为 ( ) | 2 1| 2| | | 2 1| | 2 2 |f x x x a x x a        | (2 2 ) (1 2 ) | |1 2 |x a x a      ，………………………………………7 分 当 ax  时等号成立. 依题意|1 2 | 2a  ， 所以 1 3[ , ]2 2a  . ……………………………………………………………………10 分 （以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）