2018-2019学年安徽省蚌埠市高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省蚌埠市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省蚌埠市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合M＝{x∈Z|0＜x＜6}，N＝{x|x＞3}，P＝M∩N，则P的子集共有（ ）‎ A．1个 B．2个 C．4个 D．8个 ‎【答案】C ‎【解析】化简集合,根据交集定义,求出交集,根据子集定义,列举出子集即可得到.‎ ‎【详解】‎ 因为, N＝{x|x＞3}‎ 所以P＝M∩N,其子集有,共4个.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的运算,考查了求子集的个数,属于基础题.‎ ‎2．函数y的定义域是（ ）‎ A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，+∞）‎ C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，0）∪（0，+∞）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由解得结果即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由 得且,‎ 所以函数y的定义域是.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了求具体函数的定义域,容易漏掉,属于基础题.‎ ‎3．已知角α终边上一点P（1，），则cosα＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据余弦函数的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为角α终边上一点P（1，）,‎ 所以,所以,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦函数的定义,属于基础题.‎ ‎4．函数f（x）＝tan（2x）的最小正周期是（ ）‎ A． B．π C．2π D．4π ‎【答案】A ‎【解析】根据周期公式,计算可得.‎ ‎【详解】‎ 由周期公式.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了的周期公式,熟练掌握公式是解题关键,属于基础题.‎ ‎5．已知a，b为实数，集合M＝{b，1}，N＝{a，0}，f：x→x为集合M到集合N的映射，则a+b等于（ ）‎ A．﹣1 B．2 C．1 D．1或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据且,可得答案.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知且 ,所以 ,,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了映射的概念,考查了集合中元素的互异性,属于基础题.‎ ‎6．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）‎ A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,根据,解出,根据幂函数的单调性可得答案.‎ ‎【详解】‎ 设,则,即,‎ 所以,所以,‎ 所以的递减区间为,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.‎ ‎7．下列函数中偶函数是（ ）‎ A．y B．y＝sinx+2|sinx|‎ C．y＝ln（x） D．y＝ex+e﹣x ‎【答案】D ‎【解析】利用特值排除法可排除,利用偶函数的定义可得正确.‎ ‎【详解】‎ 令,则 ,不正确;‎ 令,则,,,所以不正确;‎ 令,则,所以不正确;‎ 令,则,所以正确.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了特值排除法解选择题,考查了偶函数的定义,属于基础题.‎ ‎8．直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，4），则△AOB（O为坐标原点）重心坐标为（ ）‎ A．（0，0） B．（1，1） C．（1，） D．（，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】取的中点,则重心为的一个靠近的三等分点,根据中点公式求出的坐标,根据可以求得的坐标即可.‎ ‎【详解】‎ 如图:‎ 设的中点为,重心为,‎ 则,为的靠近的三等分点,即,‎ 设,则,‎ 所以且,‎ 解得,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了重心的性质,考查了中点公式,考查了向量的线性运算的坐标表示,属于基础题.‎ ‎9．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a ‎【答案】A ‎【解析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.‎ ‎【详解】‎ 因为,且为增函数,所以,‎ 因为且为递减函数,所以,‎ ‎,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.‎ ‎10．已知函数f（x）（a∈R），若f[f（﹣1）]＝2，则a＝（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】按照从内到外的顺序,先求得,再求得,解方程即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,‎ 所以,解得.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了求分段函数的函数值,对于有多层函数符号的,要按照从内到外的顺序计算是解题关键,属于基础题.‎ ‎11．若O点是△ABC所在平面内任一点，且满足，则△OBC与△ABC的面积比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】连并延长交于,设,,根据向量减法的逆运算可得,结合已知可得,解得,由此可得结果.‎ ‎【详解】‎ 如图所示:连并延长交于,‎ 设,,‎ 则,‎ 所以,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以 ,解得,‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查了向量共线定理,考查了向量减法的逆运算,考查了平面向量基本定理,考查了三角形的面积,属于中档题.‎ ‎12．已知曲线C1：y＝sinx，C2：y＝cos（2x），则下面结论正确的是（ ）‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎【解析】将变成后,根据周期变换和平移变换结论可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由,‎ 因此把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线是正确的.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查了诱导公式,考查了三角函数图像的周期变换和平移变换,属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．若的圆心角所对的弧长为3π，则该扇形的面积为_____.‎ ‎【答案】6π ‎【解析】先用弧长公式求得半径,再用面积公式求得面积即可.‎ ‎【详解】‎ 设弧长为,半径为,‎ 则,所以,‎ 所以扇形的面积为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了扇形的弧长公式,考查了扇形的面积公式,属于基础题.‎ ‎14．若函数y＝cos（ωx）（ω＞0）的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据余弦函数的对称中心为,列式可解得ω＝6k+2,进一步可求得正数的最小值.‎ ‎【详解】‎ 令ω（k∈Z），整理得ω＝6k+2（k∈Z），‎ 当k＝0时，ω的最小值为2．‎ 故答案为: 2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了余弦函数的对称中心, 令ω是解题关键,属于基础题.‎ ‎15．已知函数f（x），若f（x）的最大值为3，则a＝_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据f（t）是递减函数,将问题转化为t＝ax2﹣4x+1有最小值,再根据二次函数知识可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，f（t）是递减函数，那么t＝ax2﹣4x+1必有最小值使得f（t）的最大值为3；‎ 即3，那么tmin＝﹣1，‎ 所以且,‎ 解得：a＝2.‎ 故答案为: 2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数的单调性,考查了二次函数的最值,属于基础题.‎ ‎16．设f（x）＝x2+bx+c，方程f（x）＝x的两根是x1和x2，且x1＞0，x2﹣x1＞1．若0＜t＜x1，则f（t）_____x1（填“＞”，“＜”或“＝”）．‎ ‎【答案】＞‎ ‎【解析】作差后分解因式,根据韦达定理以及已知条件可判断出差的符号.‎ ‎【详解】‎ 因为方程f（x）＝x的两根是x1和x2‎ 即的两根为,‎ 所以,‎ 又∵x1是方程f（x）＝x的根，‎ ‎∴f（x1）＝x1，‎ ‎∴f（t）﹣x1＝f（t）﹣f（x1）＝（t﹣x1）（t+x1+b）＝（t﹣x1）（t+1﹣x2），‎ ‎∵x1+x2＝1﹣b，0＜t＜x1，‎ ‎∴t﹣x1＜0，‎ 又x2﹣x1＞1，即x1+1﹣x2＜0，‎ ‎∴t+1﹣x2＜x1+1﹣x2＜0，‎ 故f（t）﹣x1＞0，即f（t）＞x1．‎ 故答案为: ＞‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了差值法比较大小,考查了韦达定理,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．计算：（1）[（1﹣log63）2+log62×log618]×log46；‎ ‎（2）sin（﹣120°）cos210°+cos（﹣60°）sin150°+tan225°．‎ ‎【答案】（1）1 （2）2‎ ‎【解析】(1)利用对数的运算性质计算可得;‎ ‎(2)利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式＝[（log62）2+log62×（2﹣log62）]×log46＝2log62×log46＝log64×log46＝1；‎ ‎（2）原式＝﹣sin60°cos（180°+30°）+cos60°sin30°+tan（180°+45°）‎ ‎＝sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°‎ ‎11＝1+1＝2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了对数的运算性质,考查了诱导公式,考查了特殊角的三角函数值,属于基础题.‎ ‎18．已知集合A＝{x|a﹣3＜x＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}．‎ ‎（1）若a＝﹣1，求A∩（∁RB）；‎ ‎（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）{x|﹣1≤x＜2} （2）（1，2）‎ ‎【解析】(1)根据集合的补集和交集概念运算可得;‎ ‎(2)根据并集结果列式可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）a＝﹣1时，A＝{x|﹣4＜x＜2}，且B＝{x|x＜﹣1或x＞4}，‎ ‎∴∁RB＝{x|﹣1≤x≤4}，A∩（∁RB）＝{x|﹣1≤x＜2}；‎ ‎（2）∵A∪B＝R，‎ ‎∴，解得1＜a＜2，‎ ‎∴a的取值范围为（1，2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合补集和交集运算,考查了根据并集结果求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎19．已知点A（﹣1，1），B（0，3），C（3，x）．‎ ‎（1）若A，B，C三点共线，求x的值；‎ ‎（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围；‎ ‎（3）若x＝﹣2，求在方向上的投影．‎ ‎【答案】（1）x＝9 （2）x＞﹣1且x≠9 （3）‎ ‎【解析】(1)转化为∥,利用坐标表示可得答案;‎ ‎(2)利用•且与不平行可得答案;‎ ‎(3)根据方向投影的概念计算可得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵A（﹣1，1），B（0，3），C（3，x）．‎ ‎∴（1，2），（4，x﹣1）‎ ‎∵A，B，C三点共线，‎ ‎∴∥，∴x﹣1＝8，即x＝9．‎ ‎（2）与夹角为锐角知，•4+2（x﹣1）＝2x+2＞0，‎ ‎∴x＞﹣1；‎ 由（1）知，x＝9时∥，不符合题意，‎ ‎∴x＞﹣1且x≠9．‎ ‎（3）x＝﹣2时，（1，2），（4，﹣3），‎ 在方向上的投影．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量平行的坐标表示,考查了向量的夹角,考查了向量在向量上的投影的概念,属于基础题.‎ ‎20．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．‎ ‎（1）判断并证明函数（x）的奇偶性；‎ ‎（2）解关于x的不等式：f（3x+2）+f（x）＞0．‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2）（）‎ ‎【解析】(1)根据诱导公式，以及奇函数的定义可证;‎ ‎(2)先判断函数为（﹣1，1）上的单调性,然后根据奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）定义域为（﹣1，1），‎ ‎∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．‎ ‎∴f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）﹣sinx＝﹣f（x），‎ ‎∴f（x）为奇函数，‎ ‎（2）∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），y＝sinx在（﹣1，1）上均为单调递增的函数，‎ ‎∴f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx在（﹣1，1）上单调递增，‎ ‎∵f（3x+2）+f（x）＞0，‎ ‎∴f（3x+2）＞﹣f（x）＝f（﹣x），‎ ‎∴1＞3x+2＞﹣x＞﹣1，‎ 解可得，即不等式的解集为（）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用定义证明函数为奇函数,考查了诱导公式,考查了利用奇偶性和单调性解不等式,属于中档题.‎ ‎21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若x∈[，]，求函数f（x）的值域．‎ ‎【答案】（1）f（x）＝sin（） （2）[，1]‎ ‎【解析】(1)根据图像可得最大值,周期,根据最大值和周期可得和,根据五点作图法中的第一个关键点可得;‎ ‎(2)根据正弦函数的性质可得最大最小值,进一步可得值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图象知函数的最大值为1，即A＝1，‎ ‎3﹣（﹣1）＝4，即周期T＝8，‎ 即8，得ω，‎ 则f（x）＝2sin（x+φ），‎ 由五点对应法得1+φ，得φ，‎ 即f（x）＝sin（）．‎ ‎（2）若x∈[，]，‎ 则∈[，]，‎ ‎∴当时，即x时，f（x）最小，最小值为f（），‎ 当时，即x＝1时，f（x）最大，最大值为f（1）＝1，‎ ‎∴f（x）的值域为[，1]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由图像求解析式,考查了求正弦型函数在指定区间上的值域,属于中档题.‎ ‎22．已知函数f（x）＝x2．‎ ‎（1）证明：函数f（x）在（0，）上单调递减，在+∞）上单调递增；‎ ‎（2）讨论函数g（x）＝4x3﹣4ax+1在区间（0，1）上的零点个数．‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）见解析 ‎【解析】(1)根据单调函数的定义证明即可;‎ ‎(2)将问题转化为讨论在上的实根个数,根据(1)问中函数的单调性,讨论可得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∀x1，x2，假设x1＜x2，‎ 则；‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ ‎∴4x1x2（x1+x2）﹣1＜0；‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）0；‎ 即f（x）在（0，）上单调递减；‎ 同理f（x）在（，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）由g（x）＝0得：a．‎ 由（1）知：f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；‎ ‎∴；‎ ‎①当a，则，‎ ‎∴f（x）＝a在（0，1）上无解，即g（x）在（0，1）上无零点，‎ ‎②当a，则a，‎ ‎∴f（x）＝a在（0，1）上有且仅有一个解；即g（x）在（0，1）上有且只有一个零点；‎ ‎③当，由，，f（x）在（0，）上单调递减可知，‎ f（x）＝a在（0，）上有且只有一解；‎ 由，a，且f（x）在（，+∞）上单调递增；‎ f（x）＝a在（，1）上有且只有一解；‎ 即g（x）在（0，1）上有2个零点；‎ ‎④当a时，则时，f（x），‎ ‎∴f（x）＝a在（，1）上无解，‎ ‎∵，，f（x）在（0，）上单调递减，‎ ‎∴f（x）＝a在（0，）上有且只有一解；‎ 即g（x）在（0，1）上有且只有一个零点；‎ 综上所述：①当a，g（x）在（0，1）上无零点，‎ ‎②当a或a时，g（x）在（0，1）上有且只有一个零点，‎ ‎③当，g（x）在（0，1）上有2个零点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了用定义证明函数的单调性,考查了求函数的零点个数,解题关键是转化为讨论函数与函数的交点个数,属于难题