湖北省武汉市新洲区2020届高三10月联考 数学（文）（PDF版）

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2019 年高三年级 10 月联考 数学试卷（共 4 页）第 1 页 2019 年高三年级 10 月联考 文科数学试卷 考试时间：2019 年 10 月 18 日上午 10：00-12：00 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．设 i 为虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数，若 =1+zi， =zz zz （ ） A. i B. 2i C. 1 D. 1 2．已知集合 { | 3 , 0}xM y y x   ， 2{ | lg 3 }N x y x x  （ ），则 MN为（ ） A. [1，+∞) B. (1,+∞) C. [3，+∞) D. (1，3) 3．已知实数 a 、 b 、 c 满足 c b a，那么“ 0ac  ”是“ ab ac ”成立的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．设 2 1 4 a ， 1 2 1log 3b  ， 9log 4c  ，则 ,,abc的大小关系是（ ） A． cba  B． bac  C． bca  D． abc  5．函数 )2ln( sin)(  x xxf 的部分图像可能是（ ） A B C D 2019 年高三年级 10 月联考 数学试卷（共 4 页）第 2 页 6．已知定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 )1()1( xfxf  ,且当  1,0x 时, )1(log)( 2  xxf ，则 (2019)=f （ ） A. 0 B. 1 C.-1 D.3 7．若 tan( ) 26  ，则 2tan(2 )3  （ ） A. 32  B. 32  C. 3 4 D. 3 4 8．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 、 F 分别为 AB AD 上的点，且 4 5AE AB ，连 接 AC 、 EF 交于点 P ，若 4 11AP AC ，则点 F 在 AD 上的位置为（ ） A. AD 边中点 B. AD 边上靠近点 D 的三等分点 C. AD 边上靠近点 D 的四等分点 D. AD 边上靠近点 D 的五等分点 9．为了 得到 2cos3yx 的图像，只需把函数 3sin3 cos3y x x的图像（ ） A．向左平移 3  个单位长度 B．向右平移 3  个单位长度 C．向左平移 9  个单位长度 D．向右平移 9  个单位长度 10．函数 2( )=e (2 4 4)xf x x x在区间 kk（ -1, +1）上不单调，实数 k 的范围是（ ） A. 3k  或 11k   或 3k  B. 31k    或13k C． 22k   D．不存在这样的实数 11．已知双曲线 2 2 2: 1( 0)yC x b b    的右焦点为 F ,左顶点为 A ，且右支上存在点 B 满足 BF AF ，记直线 AB 与渐近线在第一象限内的交点为 M ，且 2AM MB ，则双曲 线的渐近线方程为（ ） A. 2yx B. 1 2yx C. 4 3yx D. 3 4yx 12．已知函数 2) 2lnf x x x(= ，存在 12 1, , , [ , ]nx x x ee ，使得 12) ( )f x f x( 1( ) ( )nnf x f x成立，则 n 的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2019 年高三年级 10 月联考 数学试卷（共 4 页）第 3 页 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.曲线 2 lny x x 在点 12（ ，）处的切线方程为_____________ . 14.设函数 2 2 ,0() 2 , 0 xx e xfx x x x      ,使得 (2 3) ( 3)f x f x   成立的 x 取值范围是 ___________. 15.不等式 21 sin cos 03 x x m    对任意的 xR 恒成立，则实数 m 的最小值为 __________. 16. 已知非零平面向量 a ,b 不共线，且满足 2 4a b a   ，记 31 44c a b，当 b , c 的夹角取得最大值时， +ab的值为 . 三、解答题：（共 6 小题， 共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（10 分）若关于 x 的不等式 01323  txx 解集为 R ,记实数 t 的最大值为 a ; （1）求实数 a 的值 ； （2）若正实数 nm, 满足 anm 54 ，求 nmnmy 33 4 2 1  的最小值. 18．（12 分）设 ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 ,,abc，向量 (sin , )m A b c， (sin sin , )n C B a b   ，且存在实数  ，使得 mn . （1）求角 C 的大小； （2）若 a b kc ，求实数 k 的取值范围. 19.（12 分）垃圾种类可分为可回收垃圾，干垃圾，湿垃圾，有害垃圾，为调查中学生 对垃圾分类的了解程度某调查小组随机抽取了某市的 100 名高中生，请他们指出生活 中若干项常见垃圾的种类，把能准确分类不少于 3 项的称为“比较了解”少于三项的 称为“不太了解”调查结果如下： 0 项 1 项 2 项 3 项 4 项 5 项 5 项以上 男生（人） 1 10 17 14 14 10 4 女生（人） 0 8 10 6 3 2 1 （1）完成如下 2×2 列联表并判断是否有 99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关？ 比较了解 不太了解 合计 男生 ______ ______ ______ 女生 ______ ______ ______ 合计 ______ ______ ______ （2）抽取的 100 名高中生中按照男、女生采用分层抽样的方法抽取 10 人的样本， i（ ）求抽取的女生和男生的人数； 2019 年高三年级 10 月联考 数学试卷（共 4 页）第 4 页 ii（ ）从 10 人的样本中随机抽取两人，求两人都是女生的概率. 参考数据： 2 0()p k k 0.100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 2 2 () ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d      ， n a b c d    20．（12 分）如图所示，三棱柱 1 1 1-ABC A B C 中，侧面 11BB C C 为菱形， 1 60CBB。， A 在侧面 11BB C C 上的投影恰为 1BC的中点 O . （1）证明： 1B C AB （2）若 1AC AB ，且三棱柱 1 1 1-ABC A B C 的体 积为 3 8 ，求三棱柱 1 1 1-ABC A B C 的高. 21．（12 分）已知函数 ( ) lnf x ax x ， （1）讨论函数 ()fx的单调性； （2）当 0a  时，求证： 2 1()fx ae . 22．（12 分）如图，过点 (1,0)P 作两条直线 1x  和l 分别交抛物线 2 4yx 于 ,AB和 ,CD（其中 ,AC位于轴的上方， l 的斜率大于 0 ），直线 AC , BD 交于点 Q . （1）求证：点 Q 在定直线上; （2）若 = PQC PBD S S   ，求 的最小值. 2019 年高三年级联考文科数学参考答案 第 1 页（共 4 页） 2019 年高三年级 10 月联考 文科数学参考答案 一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B C A C C B D B D C 二、填空题： 13. 10xy   14. ( ,6] 15. 4 3 16. 42 三、解答题： 17. 解：（1） 由绝对值不等式得：|3 +2|+|3 1| |3 +2 3 +1|=3x x x x   ………2 分 当且仅当 21<33x时，3 +2|+|3 1|xx 有最小值 3，……………………4 分 3t ， 3a  ； …………………………………………………………5 分 (2) 由（1）可知 4 5 3mn， 所以 1 1 4(4 5 )( )3 2 3 3y m n m n m n   1 1 4( 2 3 3 )( )3 2 3 3m n m n m n m n     ……………………………7 分 1 3 3 4( 2 )(5 )3 2 3 3 m n m n m n m n    1 3 3 4( 2 )(5 2 )3 2 3 3 m n m n m n m n   3 （当且仅当 1 3mn时取等） 14 2 3 3y m n m n   的最小值为 3. ………………………………10 分 18.解：（1）由于存在实数  ，使得 mn sin )(sin sin )A a b c C B   （ b）=( ，……………………………………2 分 由正弦定理得 )( )a a b c c b  （ -b）=( ， …………………………………4 分 222a ab +b -c = ， 由余弦定理得 1cos 2C  ，又 0C （ ， ） = 3C  . ……………………6 分 (2)由题意知， sin sin 2 [sin sin( )]sin 33 a b A Bk A AcC      2019 年高三年级联考文科数学参考答案 第 2 页（共 4 页） 2sin( )6A ……………………………………………………………8 分 由于存在实数  ，使得 mn ， n  0 ， 3B  ,  2(0, ) ( , )3 3 3A    ，………………………………………………………10 分 1sin( ) ( ,1), (1,2)62Ak     ………………………………………………12 分 19.解：（1）根据题意填写列联表如下， 比较了解 不太了解 合计 男生 42 28 70 女生 12 18 30 合计 54 46 100 计算 2 100 (42 18 12 28) 3.382 6.63554 46 70 30K         所以没有 99%的把握认为了解垃圾分类与性别有关； ………………5 分 （2） i（ ） 抽取的女生人数是 10×30 100=3（人）， 男生人数是 10×70 100=7（人）； …………………………7 分 ii（ ）记两人都是女生为事件 M，记样本中的 3 名女生为 A、B、C，7 名男生为 a、b、c、d、e、f、g； 从这 10 人中随机抽取两人，基本事件分别为： AB、AC、Aa、Ab、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、 BC、Ba、Bb、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、 Ca、Cb、Cc、Cd、Ce、Cf、Cg、 ab、ac、ad、ae、af、ag、 bc、bd、be、bf、bg、 cd、ce、cf、cg、 de、df、dg、ef、eg、fg 共 45 种； 两人都是女的基本事件为 AB、AC、BC 共 3 种， 故所求的概率为 31=45 15P  .………………………………………12 分 20 解：(1)连接 1BC ，因为侧面 11BB C C 为菱形 所以 11B C BC ，且 1BC与 1BC 相交于 O 点 因为 11AO BB C C 平面 ， 1 1 1B C BB C C 平面 所以 1B C AO ，又 1B C AO O ，所以 1B C ABO 平面 2019 年高三年级联考文科数学参考答案 第 3 页（共 4 页） 因为 AB ABO 平面 ，所以 1B C AB . …………………………6 分 (2)由 1AC AB 且 AO 垂直平分 1BC可知 1AB C 是等腰直角三角形 则 1 1 2AO B C 又 1 1 1 1 1- 33ABC A B C B ABC A B BCV V V 1 13 3 B BCS AO 2 1 3 4 B C AO 3 1 33 88BC，得 111B C BC B B   , ……………………………8 分 又 1 2AO  ,且等边 1BB C 中， 3 2BO  故 Rt ABC 中， 1AB  ，又 2 2AC  ，易求得等腰 ABC 中 AC 边上的高为 14 4 , 则 1 2 14 7 2 2 4 8ABCS     , 1 1 1- 3 8ABC A B C ABCV S h得 21 7h  ………………………………………12 分 21.解：（1）因为 11'( ) ( 0)axf x a xxx     ， …………………………1 分 若 0a  ，则 '( ) 0fx ，所以 ()fx在 （0,+ ）上单调递减 若 0a  ，则当 1(0, )x a 时， '( ) 0fx ，所以 ()fx在 1 a （0, ）上单调递减 当 1( + )x a， 时， '( ) 0fx ，所以 ()fx在 1( + )a ， 上单调递增……5 分 （2）由（1）知， 1( ) ( ) 1 lnf x f aa   要证 2 1()fx ae 只需证 2 11 ln a ae   ，即证 2 11 lnaae  （ ） ………………………………………7 分 令 = 1 ln 0a a a a （ ）（ ）()，则 ' =2 ln 0a a a （ ） () 2019 年高三年级联考文科数学参考答案 第 4 页（共 4 页） 所以，若 0a  ，则当 2(0, )xe 时， '( ) 0a  ，所以 ()x 在 2e（0, ）上单调递减 当 2( + )xe， 时， '( ) 0x  ，所以 ()x 在 2( + )e ， 上单调递增 所以 2 2 1=ae e（ ） （ ） ，即证. …………………………………………………12 分 22. 解：（1）设 1 1( , )4 xCx ， 2 2( , )4 xDx, :1l x ty代入 2 4yx 得 2 4 4 0y ty   ，所以 12 4yy  ……………………………………………3 分 11: 4 ( 2) 2 0AC x y y y    ， 22: 4 ( 2) 2 0BD x y y y    1 2 1 2 12 14 y y y yx yy    ，故点 Q 在 1x  上. …………………………5 分 （2） 2 1 14 ,2 PQC PQA y S S     2 21 4 ,2 PBD PQB y S S     ……………………………………7 分 因为 PQA PQBSS ， 所以 2 2 2 1 1 1 22 21 4 ( 4) ,4 4( 4) y y y yy  …………………………………………9 分 令 2 1 40ym   ， ( 4)( 8) 8 3 2 2 3,44 m m m mm       当 2 1 4 4 2y  时取得   的最小值为 2 2 3. ……………………………………12 分