2019-2020学年江苏省盐城市伍佑中学、北京师范大学盐城附属学校高一上学期第二次段考数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省盐城市伍佑中学、北京师范大学盐城附属学校高一上学期第二次段考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省盐城市伍佑中学、北京师范大学盐城附属学校高一上学期第二次段考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据补集的定义进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．‎ ‎2．已知幂函数的图象经过点,则的值为（ ）‎ A． B． C．2 D．16‎ ‎【答案】A ‎【解析】设出幂函数的解析式,根据幂函数的图象经过点,这样可以求出函数的解析式,最后利用代入法求出的值.‎ ‎【详解】‎ 设,因为幂函数的图象经过点,所以.‎ 所以,因此.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了求幂函数的解析式,考查了求函数值,考查了数学运算能力.‎ ‎3．若角为第二象限角,且,则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】直接运用同角的的正弦、余弦的平方和等于1这一公式,可以直接求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为角为第二象限角,且,所以有 ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了同角的三角函数平方和公式,考查了余弦值正负性的判断,考查了数学运算能力.‎ ‎4．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别比较与0和1的大小得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：， ， ， ∴． 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查指对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．‎ ‎5．化简的值得（ ）‎ A．2 B．－2 C．1 D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】运用对数运算的公式、指数运算的公式可以直接求出代数式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了对数、指数的运算公式,考查了数学运算能力.‎ ‎6．函数的零点所在区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】计算出的值并判断它们的符号,最后利用零点存在原理选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为,所以 ‎;‎ ‎.根据四个选项只有成立.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了零存在原理的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎7．将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据平移解析式之间的关系可以求出 平移后的解析式,再根据图象的性质可以求出关于的等式,根据所给的选项选出一个正确的答案.‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象沿轴向左平移个单位,所以平移后函数的解析式为：‎ ‎,该函数是偶函数,所以有 ‎,结合四个选项,当时, .‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数图象的平移变换,考查了正弦型函数是偶函数时求参数问题,考查了数学运算能力.‎ ‎8．设为奇函数,且在内是减函数,,则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据奇函数的性质可以判断出函数大于零、小于零时,自变量的取值范围,结合分式运算的法则可以求出不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 因为为奇函数,,所以,又因为在在内是减函数,所以有：当时, ；当时, ,根据奇函数的图象关于原点对称的性质可知：当时, ；当时, .‎ 因此或.可得或,解得 ‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了利用奇函数的性质解分式不等式问题,考查了数学运算能力和数形结合能力.‎ ‎9．不等式且对任意都成立，则的取值 范围为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：设，因为不等式且对任意都成立，所以时的图像始终在上方，作图可知为减函数，是增函数，所以需满足代入得 ‎【考点】对数函数三角函数性质及数形结合法 点评：本题将不等式恒成立转化为两函数函数值的大小关系，从而通过函数图象观察得参数的范围 ‎10．已知函数,若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对不等式进行常变量分离,利用基本不等式,可以求出实数的取值范围 ‎【详解】‎ 因为,所以.‎ 因为,所以(当且仅当时,取等号,即时取等号)‎ 于是有,因此要想对任意,不等式恒成立,只需即可.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立时求参数取值范围问题,考查了基本不等式的应用,常变量分离是常见的方法.‎ ‎11．已知函数,把函数的图象向右平移个单位,再把图象的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数的图象,当时,方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据正弦型函数图象变换的性质可以求出函数的解析式,结合函数的图象,可以求出实数k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为函数,把函数的图象向右平移个单位,再把图象的横坐标变为原来的一半（纵坐标不变）,得到函数的图象,所以函数的解析式为：‎ ‎,当时,图象如下图：‎ 通过图象可知：方程有两个不同的实根时, .‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦型函数的图象变换,考查了方程有实根时求参数取值范围问题,考查了数形结合思想.‎ ‎12．已知函数,,若函数 恰有4个不同的零点,则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断当时,函数的单调性,再令,然后分类讨论,求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 二次函数的对称轴为,因此当时,函数是单调递减的； ‎ 令,则有,‎ 当时, ,只有,由得，因此至多有两个不相等的实数解；‎ 当时, 有两个不同的实数解,即和,‎ 因此须满足各有两个不同的实数解,才能使共有四个不同的实数解,‎ 如下图所示：‎ 显然有两个不同的实数解；因此必须有两个不同的实数解,‎ 因此有,,因此的取值范围.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了已知函数零点的个数求参数问题,考查了转化思想,考查了数学运算能力.‎ 二、填空题 ‎13．函数的最小正周期为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的周期 故答案为 ‎14．已知函数，则的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数的解析式先求出的值，再求的值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数，‎ ‎，‎ 从而.故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式，属于基础题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 当出现的形式时，应从内到外依次求值．‎ ‎15．如图所示，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮做匀速运动.摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度（单位：），那么在摩天轮转动一圈的过程中，点的高度在距地面以上的时间将持续 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】据题意知＞70解得4≤t≤8，故有8-4=4min，点P距离地面超过70m ‎16．已知函数的定义域是,对任意,当时,．关于函数给出下列四个命题：①函数是周期函数；②函数是奇函数；③函数的全部零点为；④当时,函数的图象与函数的图象有且只有三个公共点．其中真命题的序号为__________.‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】①：利用,根据函数周期的定义可以判断出本命题的真假；‎ ‎②：利用奇函数的定义可以判断出本命题的真假；‎ ‎③：结合函数的周期性和当时,,可以判断出本命题的真假；‎ ‎④：根据周期性画出当时,函数的图象,在同一直角坐标系内画出函数的图象,利用数形结合思想, 可以判断出本命题的真假；‎ ‎【详解】‎ ‎①：因为,所以,所以函数的周期是2,故本命题是真命题；‎ ‎②：因为,所以不符合奇函数的定义, 故本命题是假命题；‎ ‎③：当时,,因此当时,只有,由①可知函数的周期是2,因此函数的全部零点为,故本命题是真命题；‎ ‎④：当时,,通过周期得到当时,函数的图象,再画出函数的图象,如下图所示：‎ 通过图象可知有三个不同的交点.故本命题是真命题.‎ 故答案为：①③④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的周期性、奇偶性、零点,考查了数形结合思想.‎ 三、解答题 ‎17．设全集为,集合或,．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)已知,若,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】(1)根据并集的定义,结合数轴求解即可；‎ ‎(2)根据子集的定义,结合数轴可以求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为集合或,,‎ 所以；‎ ‎(2)因为,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了并集运算,考查了子集关系求参数问题,运用数轴是解题的关键.‎ ‎18．已知角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，角 的终边上有一点．‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】(1) ；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义，求得，的值；（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式化简求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，，，‎ ‎∴，．‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．‎ ‎19．函数的一段图象过点(0,1),如图所示．‎ ‎(1)求函数的表达式；‎ ‎(2)将函数的图象向右平移个单位,得函数的图象，求的最大值,并求出此时自变量x的集合；‎ ‎(3)若，求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)2，；(3)0.‎ ‎【解析】(1)通过三个连续零点的值可以求出函数的周期,根据最小正周期公式可以求出的值,‎ 根据图象平移的特点可以求出的值,再把点(0,1)的坐标代入解析式中,可以求出A的值；‎ ‎(2)根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式,结合正弦型函数的性质最后求出的最大值,并求出此时自变量x的集合；‎ ‎(3)根据可求出的表达式,最后可以计算出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由图知,T＝π，于是ω＝＝2.将y＝Asin2x的图象向左平移,‎ 得y＝Asin(2x＋φ)的图象,于是φ＝2·＝.将(0,1)代入y＝Asin(2x＋),得A＝2.‎ 故． ‎ ‎(2)依题意,f2(x)＝2sin[2(x－)＋]＝－2cos(2x＋)，‎ 当2x＋＝2kπ＋π,即x＝kπ＋ (k∈Z)时，ymax＝2.‎ x的取值集合为．‎ ‎（3）因为,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了根据图象求正弦型函数解析式,考查了正弦型函数的最值,考查了数形结合思想.‎ ‎20．已知,函数.‎ ‎(1)当时,写出函数的单调递增区间；‎ ‎(2)当时,求函数在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】(1)把函数解析式写成分段函数解析式的形式,画出函数图象,然后根据图象写出函数的单调递增区间；‎ ‎(2) 把函数解析式写成分段函数解析式的形式, 然后写出函数的单调区间,再根据这一条件,分类讨论求出函数在区间上的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 当时,,图象如下图所示：‎ 由图象可知：函数的单调递增区间是：‎ ‎(2) ,因为,所以根据(1)可以画出函数的大致图象,如下图所示：‎ 通过图象可知：当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,‎ ‎.‎ 当时,即时, ；‎ 当时,即时,.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的单调性,考查了分段函数的最值,考查了数学运算能力和数形结合思想.‎ ‎21．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．‎ ‎(1)若,,求花坛的面积；‎ ‎(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？‎ ‎【答案】（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大.‎ ‎【解析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；‎ ‎(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时, 线段AD的长度.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设花坛的面积为S平方米.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答：花坛的面积为；‎ ‎(2) 圆弧的长为米，圆弧的长为米，线段的长为米 由题意知，‎ 即 ， ‎ ‎， ‎ 由式知，，‎ 记则 所以= ‎ 当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，‎ 答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎(1)求函数的值域；‎ ‎(2)试问：函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点,若存在,求出这些点的坐标；若不存在,说明理由；‎ ‎(3)若方程的三个实数根、、满足：＜＜,且,求实数a的值．‎ ‎【答案】(1)；(2)存在,分别是,；(3)．‎ ‎【解析】(1)分别求出函数在每段上的值域,最后求出整个函数的值域即可.‎ ‎(2)假设存在这样的点,不妨设,可求它的关于原点的对称点坐标,再代入函数解析式中,能求出说明存在性,求不出则说明不存在这样的点；‎ ‎(3)判断之间的大小关系,然后分类化简方程,求出三个实数根、、,再根据,求出实数a的值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时, ‎ 当时, ,因此函数的值域为；‎ ‎(2) 假设存在这样的点,不妨设,它关于原点的对称点坐标为：‎ ‎,由题意可知它也在函数图象上,因此有 ‎(舍去),‎ 因此存在这样两个点,坐标分别为和；‎ ‎(3)由(1)可知：当时, ,显然此时, ,‎ 当时,若时,解得,若时,解得 ‎.‎ 因此当时, ,此时方程化简为：‎ 解得,因此有.‎ 当时, ,此时方程化简为：,解得 ‎,要想方程有三个不同的根,则必有,此时 成立,因此有,‎ 又因为,‎ 所以,解得(舍去), .‎ ‎,因此.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数值域问题,考查了方程有解求参数问题,考查了分类讨论思想,考查了数学运算能力.‎