2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I理科)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I理科)

‎2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)‎ 理科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合,则=‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设复数z满足,z在复平面内对应的点为(x,y),则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.已知,则 A. B. C. D.‎ ‎4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.‎ 此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某 人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,‎ 则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm ‎5.函数f(x)=在的图像大致为 A. B.‎ 第 12 页 C. D.‎ ‎6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A. B. C. D.‎ ‎7.已知非零向量a,b满足,且b,则a与b的夹角为 A. B. C. D.‎ ‎8.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入 A.A= ‎ B.A= ‎ C.A= ‎ D.A=‎ ‎9.记为等差数列的前n项和.已知,则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为 第 12 页 A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.关于函数有下述四个结论:‎ ‎①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(,)单调递增 ‎③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2‎ 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③‎ ‎12.已知三棱锥P−ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为____________.‎ ‎14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S5=____________.‎ ‎15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.‎ ‎16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,,则C的离心率为____________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ 第 12 页 ‎17.(12分)‎ 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设.‎ ‎(1)求A;‎ ‎(2)若,求sinC.‎ ‎18.(12分)‎ 如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面C1DE;‎ ‎(2)求二面角A−MA1−N的正弦值.‎ ‎19.(12分)‎ 已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;‎ ‎(2)若,求|AB|.‎ ‎20.(12分)‎ 已知函数,为的导数.证明:‎ 第 12 页 ‎(1)在区间存在唯一极大值点;‎ ‎(2)有且仅有2个零点.‎ ‎21.(12分)‎ 为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.‎ ‎(1)求的分布列;‎ ‎(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,其中,,.假设,.‎ ‎(i)证明:为等比数列;‎ ‎(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.‎ 第 12 页 ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点到l距离的最小值.‎ ‎23.[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 第 12 页 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D ‎ 二、填空题 ‎13.y=3x 14. 15.0.18 16.2‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由已知得,故由正弦定理得.‎ 由余弦定理得.‎ 因为,所以.‎ ‎(2)由(1)知,由题设及正弦定理得,‎ 即,可得.‎ 由于,所以,故 第 12 页 ‎.‎ ‎18.解:(1)连结B1C,ME.‎ 因为M,E分别为BB1,BC的中点,‎ 所以ME∥B1C,且ME=B1C.‎ 又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.‎ 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,‎ 因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.‎ 又MN平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.‎ ‎(2)由已知可得DE⊥DA.‎ 以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz,则 ‎,A1(2,0,4),,,,,,.‎ 设为平面A1MA的法向量,则,‎ 所以可取.‎ 设为平面A1MN的法向量,则 第 12 页 所以可取.‎ 于是,‎ 所以二面角的正弦值为.‎ ‎19.解:设直线.‎ ‎(1)由题设得,故,由题设可得.‎ 由,可得,则.‎ 从而,得.‎ 所以的方程为.‎ ‎(2)由可得.‎ 由,可得.‎ 所以.从而,故.‎ 代入的方程得.故.‎ ‎20.解:(1)设,则,.‎ 当时,单调递减,而,可得在有唯一零点,‎ 设为.‎ 第 12 页 则当时,;当时,.‎ 所以在单调递增,在单调递减,故在存在唯一极大值点,即在存在唯一极大值点.‎ ‎(2)的定义域为.‎ ‎(i)当时,由(1)知,在单调递增,而,所以当时,,故在单调递减,又,从而是在的唯一零点.‎ ‎(ii)当时,由(1)知,在单调递增,在单调递减,而,,所以存在,使得,且当时,;当时,.故在单调递增,‎ 在单调递减.‎ 又,,所以当时,.‎ 从而, 在没有零点.‎ ‎(iii)当时,,所以在单调递减.而,,所以在有唯一零点.‎ ‎(iv)当时,,所以<0,从而在没有零点.‎ 综上,有且仅有2个零点.‎ 第 12 页 ‎21.解:X的所有可能取值为.‎ 所以的分布列为 ‎(2)(i)由(1)得.‎ 因此,故,即 ‎.‎ 又因为,所以为公比为4,首项为的等比数列.‎ ‎(ii)由(i)可得 由于,故,所以 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,‎ 此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.‎ ‎22.解:(1)因为,且,所以C的直角坐标方程为.‎ 第 12 页 的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,).‎ C上的点到的距离为.‎ 当时,取得最小值7,故C上的点到距离的最小值为.‎ ‎23.解:(1)因为,又,故有 ‎.‎ 所以.‎ ‎(2)因为为正数且,故有 ‎=24.‎ 所以.‎ 第 12 页
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