2020_2021学年新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1

2020_2021学年新教材高中数学第五章函数应用1方程解的存在性及方程的近似解1

1.1 　利用函数性质判定方程解的存在性 激趣诱思 知识点拨 请观察右图 , 这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图 ( 即一个连续不间断的函数图象 ), 由于图象中有一段被墨水污染了 , 现在有人想了解一下当天 7 时到 11 时之间有无可能出现温度是 0 摄氏度 , 你能帮助他吗 ? 激趣诱思 知识点拨 一、函数的零点 1 . 代数定义 : 使得 f ( x 0 ) = 0 的 　　　　 称为方程 f ( x ) = 0 的解 , 也称为函数 f ( x ) 的零点 .   2 . 几何定义 : f ( x ) 的零点就是函数 y=f ( x ) 的图象与 x 轴交点的 　　　　　　 .   数 x 0 横坐标 名师点析 1 . 函数的零点是一个实数 , 而不是一个点 . 例如 , 函数 f ( x ) =x+ 1 的零点是 - 1, 而不是 ( - 1,0) . 2 . 并不是所有的函数都有零点 , 如 f ( x ) = 1, f ( x ) =x 2 + 1 就没有零点 . 3 . 若函数有零点 , 则零点一定在函数的定义域内 . 4 . 函数 F ( x ) =f ( x ) -g ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) =g ( x ) 的 解 , 也就是函数 y 1 =f ( x ) 与 y 2 =g ( x ) 的图象交点的横坐标 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 函数 f ( x ) =x 2 - 1 的零点是 ( 　　 ) A.( ± 1,0) 　　　　 B.(1,0) C.0 D . ± 1 答案 : D 　 解析 : 解方程 f ( x ) =x 2 - 1 = 0, 得 x= ± 1, 因此函数 f ( x ) =x 2 - 1 的零点是 ± 1 . 激趣诱思 知识点拨 二、零点存在定理 若函数 y=f ( x ) 在闭区间 [ a , b ] 上的图象是一条连续的曲线 , 并且在区间端点的函数值一正一负 , 即 f ( a )· f ( b ) < 0, 则 在 开 区间 ( a , b ) 内 , 函数 y=f ( x ) 至少有一个零点 . 即 在区间 ( a , b ) 内相应的方程 f ( x ) = 0 至少有一个解 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 定理要求具备两个条件 :(1) 函数在区间 [ a , b ] 上的图象是一条连续的曲线 ;(2) f ( a ) ·f ( b ) < 0 . 这两个条件缺一不可 . 2 . 利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在 , 而不能确定零点的个数 . 3 . 若函数 y=f ( x ) 的图象在区间 [ a , b ] 上是一条连续的曲线 , 则由 f ( a ) ·f ( b ) < 0 可以推出函数 y=f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内存在零点 , 但是由函数 y=f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内存在零点不一定能推出 f ( a ) ·f ( b ) < 0 . 如 f ( x ) =x 2 在 ( - 1,1) 内存在零点 , 但 f ( - 1) ·f (1) > 0 . 4 . 如果单调函数 y=f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上的图象是一条连续的曲线 , 并且有 f ( a ) ·f ( b ) < 0, 那么函数 y=f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有唯一的零点 , 即存在唯一的 x 0 ∈ ( a , b ), 使得 f ( x 0 ) = 0, 这个 x 0 也就是方程 f ( x ) = 0 的解 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 1 函数 y=f ( x ) 的图象是在闭区间 [ a , b ] 上的一条连续不断的曲线 . 若 f ( a )· f ( b ) > 0, 则 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内没有零点 . ( 　　 ) 微练习 2 函数 f ( x ) =x 3 + 2 x+ 1 的零点一定位于下列哪个区间上 ( 　　 ) A.[ - 2, - 1] 　　　　 B.[ - 1,0] C.[0,1] D .[1,2] 答案 : × 答案 : B 　 解析 : 因为 f ( - 2) =- 11 < 0, f ( - 1) =- 2 < 0, f (0) = 1 > 0, f (1) = 4 > 0, f (2) = 13 > 0, 所以 f ( - 1)· f (0) < 0 . 所以 f ( x ) 的零点在区间 [ - 1,0] 上 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求函数的零点 例 1 判断下列函数是否存在零点 , 如果存在 , 请求出零点 . (1) f ( x ) =- 8 x 2 + 7 x+ 1; (2) f ( x ) = 1 + log 3 x ; (3) f ( x ) = 4 x - 16 . 分析 可通过解方程 f ( x ) = 0 求得函数的零点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 因为函数 f ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) = 0 的解 , 也是函数 y=f ( x ) 的图象与 x 轴 交 点 的横坐标 , 所以求函数的零点通常有两种方法 : 一是代数法 , 令 f ( x ) = 0, 通过求方程 f ( x ) = 0 的解求得函数的零点 ; 二是几何法 , 画出函数 y=f ( x ) 的图象 , 图象与 x 轴 交 点 的横坐标即函数的零点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知函数 f ( x ) =x 2 + 3( m+ 1) x+n 的零点是 1 和 2, 求函数 y= log n ( mx+ 1) 的零点 . 解 : 由题意知函数 f ( x ) =x 2 + 3( m+ 1) x+n 的零点为 1 和 2, 则 1 和 2 是方程 x 2 + 3( m+ 1) x+n= 0 的解 . 所以函数 y= log n ( mx+ 1) 的解析式为 y= log 2 ( - 2 x+ 1) . 令 log 2 ( - 2 x+ 1) = 0, 得 x= 0 . 所以函数 y= log 2 ( - 2 x+ 1) 的零点为 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 函数零点个数的判断 例 2 判断下列函数零点的个数 : (1) f ( x ) = ( x 2 - 4)log 2 x ; (3) f ( x ) = 2 x + lg( x+ 1) - 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 令 f ( x ) = 0, 得 ( x 2 - 4)log 2 x= 0, 因此 x 2 - 4 = 0 或 log 2 x= 0, 解得 x= ± 2 或 x= 1 . 又因为函数定义域为 (0, +∞ ), 所以 x=- 2 不是函数的零点 , 故函数有 2 和 1 两个零点 . 画出函数 g ( x ) 和 h ( x ) 的图象如图所示 . 由图象可知 , 两个函数图象只有一个交点 , 故函数只有一个零点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3)( 方法一 ) ∵ f (0) = 1 + 0 - 2 =- 1 < 0, f (2) = 4 + lg 3 - 2 = 2 + lg 3 > 0, ∴ f ( x ) = 0 在 (0,2) 上必定存在实根 . 又 f ( x ) = 2 x + lg( x+ 1) - 2 在区间 ( - 1, +∞ ) 上为增函数 , 故 f ( x ) 有且只有一个零点 . ( 方法二 ) 令 h ( x ) = 2 - 2 x , g ( x ) = lg( x+ 1), 在同一平面直角坐标系中作出 h ( x ) 与 g ( x ) 的图象 , 如图所示 . 由图象知 g ( x ) = lg( x+ 1) 和 h ( x ) = 2 - 2 x 的图象有且只有一个公共点 , 即 f ( x ) = 2 x + lg( x+ 1) - 2 有且只有一个零点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 判断函数零点个数的常用方法 1 . 解方程 f ( x ) = 0, 方程 f ( x ) = 0 解的个数就是函数 f ( x ) 零点的个数 . 2 . 直接作出函数 f ( x ) 的图象 , 图象与 x 轴 交 点 的个数就是函数 f ( x ) 零点的个数 . 3 .f ( x ) =g ( x ) -h ( x ) = 0, 得 g ( x ) =h ( x ), 在同一平面直角坐标系中作出 y 1 =g ( x ) 和 y 2 =h ( x ) 的图象 , 则两个 图象 交 点 的个数就是函数 y=f ( x ) 零点的个数 . 4 . 若证明一个函数的零点唯一 , 也可先由零点存在定理判断出函数有零点 , 再证明该函数在定义域内单调 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1) 若 abc ≠0, 且 b 2 =ac , 则函数 f ( x ) =ax 2 +bx+c 的零点的个数是 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.1 或 2 答案 : A 　 解析 : ∵ b 2 =ac , ∴ 方程 ax 2 +bx+c= 0 的判别式 Δ=b 2 - 4 ac=b 2 - 4 b 2 =- 3 b 2 . ∵ abc ≠0, ∴ b ≠0 . 因此 Δ< 0 . 故函数 f ( x ) =ax 2 +bx+c 的零点个数为 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 判断函数 f ( x ) =x- 3 + ln x 的零点个数 . 解 : ( 方法一 ) 令 f ( x ) =x- 3 + ln x= 0, 则 ln x= 3 -x. 在同一平面直角坐标系中分别画出函数 y= ln x 与 y=-x+ 3 的图象 , 如图所示 . 由图可知函数 y= ln x 与 y=-x+ 3 的图象只有一个公共点 , 即函数 f ( x ) =x- 3 + ln x 只有一个零点 . ( 方法二 ) 因为 f (3) = ln 3 > 0, 所以 f (3)· f (2) < 0, 说明函数 f ( x ) =x- 3 + ln x 在区间 (2,3) 内有零点 . 又 f ( x ) =x- 3 + ln x 在区间 (0, +∞ ) 上是增函数 , 所以原函数只有一个零点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 已知零点个数求参数的取值 范围 A.(1,2] B.[1, +∞ ) C.[1,2) D.[1,2] 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 4 已知 a 是实数 , 函数 f ( x ) = 2 |x- 1 |+x-a , 若函数 y=f ( x ) 有且仅有两个零点 , 则实数 a 的取值范围是 　　　　　 .   分析 把函数 f ( x ) 的两个零点问题转化为函数 y= 2 |x- 1 |+x 与 y=a 的图象有且仅有两个 交点 的 问题 , 画出两个函数的图象 , 然后利用数形结合思想求出参数 a 的范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : (1, +∞ ) 　 解析 : 函数 f ( x ) = 2 |x- 1 |+x-a 有且仅有两个零点 , 即函数 y= 2 |x- 1 |+x 与 y=a 的图象有且仅有两个交点 . 分别作出函数 y= 2 |x- 1 |+x 与 y=a 的图象 , 如图所示 . 由图易知 , 当 a> 1 时 , 两函数的图象有且仅有两个不同的交点 , 故实数 a 的取值范围是 (1, +∞ ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知函数有零点 ( 方程有根 ) 求参数的方法 1 . 直接法 : 根据题设条件构建关于参数的不等式 ( 组 ), 通过解不等式 ( 组 ) 确定参数的取值范围 . 2 . 数列结合法 : 先对 f ( x ) 的解析式变形 , 将 f ( x ) = 0 转化为 h ( x ) =g ( x )( h ( x ), g ( x ) 的图象易画出 ), 在同一平面直角坐标系中画出函数 h ( x ), g ( x ) 的图象 , 然后利用 数 形 结合 思想求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 (2020 福建厦门双十中学高一检测 ) 已知函数 f ( x ) = 3 ax- 1 - 2 a 在区间 ( - 1,1) 上存在零点 , 则 ( 　　 ) 答案 : C 　 解析 : ∵ f ( x ) = 3 ax- 1 - 2 a 在 ( - 1,1) 上单调 , 且存在零点 , ∴ f ( - 1)· f (1) < 0, 即 ( - 3 a- 1 - 2 a )·(3 a- 1 - 2 a ) = ( - 5 a- 1)·( a- 1) < 0 , ∴ a> 1 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 二次函数的零点综合问题 典例 已知二次函数 f ( x ) =x 2 - ( k- 2) x+k 2 + 3 k+ 5 . (1) 当函数 f ( x ) 有两个不同零点时 , 求 k 的取值范围 ; (2) 若 - 1 和 - 3 是函数的两个零点 , 求 k 的值 ; (3) 若函数的两个不同零点是 α , β , 求 α 2 + β 2 关于 k 的关系式 h ( k ) . 分析 本题考查对二次函数零点的理解及零点的性质 . 本题中的函数 f ( x ) 是二次函数 , 因此其零点的判断和零点的性质问题可以转化为 二次方程 解 的 判断 或 解 的 性质 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 规范解答 (1) 令 f ( x ) = 0, 得 x 2 - ( k- 2) x+k 2 + 3 k+ 5 = 0 . 由 Δ= ( k- 2) 2 - 4( k 2 + 3 k+ 5) =- 3 k 2 - 16 k- 16 > 0, 知 3 k 2 + 16 k+ 16 < 0, 即 (3 k+ 4)( k+ 4) < 0, (2) ∵ - 1 和 - 3 是函数 f ( x ) 的两个零点 , ∴ - 1 和 - 3 是方程 x 2 - ( k- 2) x+k 2 + 3 k+ 5 = 0 的 两 个解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3) ∵ α , β 是函数 f ( x ) 的两个不同零点 , ∴ α , β 是方程 x 2 - ( k- 2) x+k 2 + 3 k+ 5 = 0 的 两 个实数 根 , ∴ α + β =k- 2, αβ =k 2 + 3 k+ 5 . ∴ α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 - 2 αβ = ( k- 2) 2 - 2( k 2 + 3 k+ 5) =-k 2 - 10 k- 6 . 规律总结 1 . 若二次方程 ax 2 +bx+c= 0( a ≠0) 的 两 个解 是 x 1 , x 2 , 2 . 本题中如果忽视 Δ , 将会影响 α 2 + β 2 的范围而导致出错 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 如下图四个函数图象 , 在区间 ( -∞ ,0) 内存在零点的函数是 ( 　　 ) 答案 : B 　 解析 : 只有 选项 B 中的函数图象与 x 轴的负半轴有交点 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 函数 f ( x ) = log 5 ( x- 1) 的零点是 ( 　　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 3 . 若 x 0 是方程 ln x+x= 4 的解 , 则 x 0 所在的区间是 ( 　　 ) A.(0,1) B.( 1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案 : C 　 解析 : 令 log 5 ( x- 1) = 0, 解得 x= 2, 所以函数 f ( x ) = log 5 ( x- 1) 的零点是 2, 故选 C . 答案 : C 　 解析 : 设 f ( x ) = ln x+x- 4, 则 f (1) =- 3 < 0, f (2) = ln 2 - 2 < 0, f (3) = ln 3 - 1 > 0, f (4) = ln 4 > 0, 则 x 0 ∈ (2,3) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知函数 y=ax 2 -x- 1 只有一个零点 , 则实数 a 的值为 　　　　　 .   解析 : 当 a= 0 时 , 函数为 y=-x- 1, 显然该函数的图象与 x 轴只有一个公共点 , 即函数只有一个零点 . 当 a ≠0 时 , 函数 y=ax 2 -x- 1 为二次函数 . ∵ 函数 y=ax 2 -x- 1 只有一个零点 , ∴ 方程 ax 2 -x- 1 = 0 有两个相等的实数解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 , 如果存在 , 求出零点的个数 . (1) f ( x ) =x 2 - 3 x- 18, x ∈ [ - 4,7]; 解 : (1) 令 x 2 - 3 x- 18 = 0, 解得 x=- 3 或 x= 6 . 又 - 3 ∈ [ - 4,7],6 ∈ [ - 4,7], ∴ f ( x ) =x 2 - 3 x- 18 在 [ - 4,7] 上有两个零点 .