高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.7.2 定积分在物理中的应用

高中数学人教a版选修2-2（课时训练）：1.7.2 定积分在物理中的应用

1.7.2 定积分在物理中的应用 [学习目标] 1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力做功问题． 2．通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问题，进一步体会定积分的价值． [知识链接] 下列判断正确的是________． (1)路程是标量，位移是矢量，路程和位移是两个不同的概念； (2)利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子 错误!v(t)dt； (3)利用定积分求变速直线运动的路程和位移不是同一个式子 错误!v(t)dt. 答案 (1)(3) 解析 (1)显然正确．对于(2)，(3)两个判断，由于当 v(t)≥0 时，求某一时间段内的路程和位 移均用 错误!v(t)dt 求解；当 v(t)<0 时，求某一时间段内的位移用 错误!v(t)dt 求解，这一时段 的路程是位移的相反数，即路程为 －错误!v(t)dt.所以(2)错(3)正确． [预习导引] 1．在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻 t＝a 到时刻 t＝b 所经过的路程 s 和位移 s′分别为： (1)若 v(t)≥0，则 s＝错误!v(t)dt，s′＝错误!v(t)dt. (2)若 v(t)≤0，则 s＝－错误!v(t)dt，s′＝错误!v(t)dt. (3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上 v(t)<0， 则 s＝错误!v(t)dt－错误!v(t)dt；s′＝错误!v(t)dt. 2．定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s，等于其速度函数 v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b] 上的定积分，即 s＝错误!v(t)dt. (2)一物体在恒力 F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s(单 位：m)，则力 F 所作的功为 W＝Fs；而若是变力所做的功 W，等于其力函数 F(x)在位移区 间[a，b]上的定积分，即 W＝错误!F(x)dx. 要点一 求变速直线运动的路程、位移 例 1 有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与 x 轴正方 向一致)．求 (1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值． 解 (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，当 t>4 时， P 点向 x 轴负方向运动． 故 t＝6 时，点 P 离开原点的路程 s1＝错误!(8t－2t2)dt－错误!(8t－2t2)dt ＝ 4t2－2 3t3 |4 0 － 4t2－2 3t3 |6 4 ＝128 3 . 当 t＝6 时，点 P 的位移为 错误!(8t－2t2)dt＝ 4t2－2 3t3 |6 0 ＝0. (2)依题意错误!(8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－2 3t3＝0， 解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况， t＝6 是所求的值． 规律方法 (1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问 题是关键． (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号 不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误． 跟踪演练 1 变速直线运动的物体的速度为 v(t)＝1－t2，初始位置为 x0＝1，求它在前 2 秒 内所走的路程及 2 秒末所在的位置． 解 当 0≤t≤1 时，v(t)≥0，当 1≤t≤2 时，v(t)<0. 所以前 2 秒钟内所走的路程 s＝错误!v(t)dt＋错误![－v(t)]dt ＝错误!(1－t2)dt＋错误!(t2－1)dt ＝ t－1 3t3 |1 0 ＋ 1 3t3－t |2 1 ＝2. 2 秒末所在的位置 x1＝x0＋错误!v(t)dt＝1＋错误!(1－t2)dt ＝1＋ t－t3 3 |2 0 ＝1＋2－8 3 ＝1 3. 它在前 2 秒内所走的路程为 2， 2 秒末所在的位置为 x1＝1 3. 要点二 求变力所作的功 例 2 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀， 把容器中的一个活塞(面积为 S)从点 a 处推到 b 处，计算在移动过程中，气体压力所做的功． 解 由物理学知识易得，压强 p 与体积 V 的乘积是常数 k，即 pV＝k. ∵V＝xS(x 指活塞与底的距离)，∴p＝k V ＝ k xS. ∴作用在活塞上的力 F＝p·S＝ k xS·S＝k x. ∴所做的功 W＝错误!k xdx＝k·ln x|b a ＝klnb a. 规律方法 解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题． 跟踪演练 2 设有一长为 25 cm 的弹簧，若加以 100 N 的力，则弹簧伸长到 30 cm，求使弹 簧伸长到 40 cm 所做的功． 解 设以 x 表示弹簧伸长的厘米数，F(x)表示加在弹簧上的力，则 F(x)＝kx. 依题意，使弹簧伸长 5 cm，需力 100 N，即 100＝5k，所以 k＝20，于是 F(x)＝20x. 所以弹簧伸长到 40 cm 所做的功即计算由 x＝0 到 x＝15 所做的功：W＝∫150 20xdx＝10x2|15 0 ＝2 250(N·cm)． 1．从空中自由下落的物体，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知 自由落体的运动速度为 v＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.5 2g B．7 2g C．3 2g D．2g 答案 C 解析 h＝错误!gtdt＝1 2gt2|2 1 ＝3 2g. 2．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度 v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能 停车 ( ) A．405 B．540 C．810 D．945 答案 A 解析 停车时 v(t)＝0，由 27－0.9t＝0，得 t＝30， ∴s＝∫300 v(t)dt＝∫300 (27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405. 3．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)＝7－3t ＋ 25 1＋t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m) 是( ) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln11 3 C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 答案 C 解 析 由 v(t) ＝ 7 － 3t ＋ 25 1＋t ＝ 0 ， 解 得 t ＝ 4(t ＝ － 8 3 舍 去 ) ， 所 以 所 求 的 路 程 为 错误! 7－3t＋ 25 1＋t dt＝ 7t－3 2t2＋25 ln1＋t |40＝4＋25ln 5，选 C. 4．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹 簧克服弹力所做的功． 解 设 F(x)＝kx，因为弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，∴k＝4. ∴弹簧克服弹力所做的功为 W＝4错误!xdx＝4× 1 2x2 |50＝50(N·cm)＝0.5(J)． 1．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程 的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分 段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消， 求路程不能正负抵消． 2．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求 变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x 单位：m. 一、基础达标 1．一物体沿直线以 v＝2t＋1 (t 的单位：s，v 的单位：m/s)的速度运动，则该物体在 1～2 s 间行进的路程为( ) A．1 m B．2 m C．3 m D．4 m 答案 D 解析 s＝错误!21＝4(m)． 2．一物体从 A 处向 B 处运动，速度为 1.4t m/s(t 为运动的时间)，到 B 处时的速度为 35 m/s， 则 AB 间的距离为( ) A．120 m B．437.5 m C．360 m D．480 m 答案 B 解析 从 A 处到 B 处所用时间为 25 s．所以|AB|＝ ∫250 1.4tdt＝0.7t2|250 ＝437.5 (m)． 3．以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度 v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高 度为( ) A.160 3 m B．80 3 m C．40 3 m D．20 3 m 答案 A 解析 v＝0 时物体达到最高， 此时 40－10t2＝0，则 t＝2 s. 又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s. ∴h＝错误!(40－10t2)dt＝ 40t－10 3 t3 |20＝160 3 (m)． 4．如果 1 N 的力使弹簧伸长 1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功 为( ) A．0.5 J B．1 J C．50 J D．100 J 答案 A 解析 由于弹簧所受的拉力 F(x)与伸长量 x 成正比，依题意，得 F(x)＝x，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功为 W＝∫100 F(x)dx＝∫100 xdx＝ 1 2x2|100 ＝50 (N·cm)＝0.5 (J)． 5．汽车以每小时 32 km 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度 a＝－1.8 m/s2 刹车，则从开始刹车到停车，汽车所走的路程约为________． 答案 21.95 m 解析 t＝0 时，v0＝32 km/h＝32×1 000 3 600 m/s＝80 9 m/s.刹车后减速行驶，v(t)＝v0＋at＝80 9 － 1.8t.停止时，v(t)＝0，则80 9 －1.8t＝0，得 t＝400 81 s，所以汽车所走的距离 s＝∫400 81 0v(t)dt＝ 80 9 t－1 2t2×1.8 |400 81 0≈21.95(m)． 6．有一横截面的面积为 4 cm2 的水管控制往外流水，打开水管后 t 秒末的流速为 v(t)＝6t－ t2(单位：cm/s)(0≤t≤6)．则 t＝0 到 t＝6 这段时间内流出的水量为________． 答案 144 cm3 解析 由题意可得 t＝0 到 t＝6 这段时间内流出的水量 V＝错误!4(6t－t2)dt＝4错误!60＝144 (cm3)．故 t＝0 到 t＝6 这段时间内流出的水量为 144 cm3. 7．一物体做变速直线运动，其 v－t 曲线如图所示，求该物体在1 2 s～6 s 间的运动路程． 解 由题意，得 v(t)＝ 2t0≤t≤1， 21≤t≤3， 1 3t＋13≤t≤6， 由变速直线运动的路程公式，可得： s＝错误!v(t)dt＝错误!2tdt＋错误!2dt＋错误! 1 3t＋1 dt ＝t2|1 1 2 ＋2t|31＋ 1 6t2＋t |63＝49 4 (m)． 所以该物体在 1 2s～6 s 间的运动路程是49 4 m. 二、能力提升 8．一物体在力 F(x)＝ 100≤x≤2 3x＋4x>2 (单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处 运动到 x＝4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为( ) A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J 答案 B 解析 W＝错误!F(x)dx＝错误!10dx＋错误!(3x＋4)dx＝ 10x|2 0 ＋ 3 2x2＋4x |42＝46(J)． 9．做直线运动的质点在任意位置 x 处，所受的力 F(x)＝1＋ex，则质点沿着与 F(x)相同的方 向，从点 x1＝0 处运动到点 x2＝1 处，力 F(x)所做的功是( ) A．1＋e B．e C．1 e D．e－1 答案 B 解析 W＝错误!F(x)dx＝错误!10＝(1＋e)－1＝e. 10．如图所示，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 l m 处，则克服弹簧力所做的功为 ________． 答案 1 2kl2(J) 解析 在弹性限度内，拉伸(压缩)弹簧所需的力与弹簧拉伸(压缩)的长度成正比，即 F(x)＝ kx，其中 k 为比例系数．由变力做功公式得 W＝错误!l0＝1 2kl2(J)． 11．一物体按规律 x＝bt3 作直线运动，其中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于速 度的平方，试求物体由 x＝0 运动到 x＝a 时，阻力所做的功． 解 物体的速度 v＝x′(t)＝(bt3)′＝3bt2，媒质的阻力 F 阻＝kv2＝k·(3bt2)2＝9kb2t4(其中 k 为 比例常数，k>0)．当 x＝0 时，t＝0；当 x＝a 时，t＝ a b 1 3. 所以阻力所做的功为 W 阻＝错误!F 阻 dx＝∫ a b 1 30kv2·vdt ＝∫ a b 1 309kb2t4·3bt2dt＝∫ a b 1 3027kb3t6dt ＝ 27 7 kb3t7| a b 1 30＝27 7 kb2 3·a7 3. 12．物体 A 以速度 vA＝3t2＋1(米/秒)在一直线上运动，同时物体 B 也以速度 vB＝10t(米/秒) 在同一直线上与物体 A 同方向运动，问多长时间物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离各是多少？ 解 依题意知物体 A，B 均作变速直线运动，所以可借助变速直线运动的路程公式求解．设 a 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，则 A 从开始到 a 秒末所走的路程为 sA＝错误!vAdt＝错误!(3t2＋1)dt＝a3＋a； B 从开始到 a 秒末所走的路程为 sB＝错误!vBdt＝错误!10tdt＝5a2. 由题意得 sA＝sB＋5，即 a3＋a＝5a2＋5，得 a＝5. 此时 sA＝53＋5＝130(米)，sB＝5×52＝125(米)． 故 5 秒后物体 A 比 B 多运动 5 米，此时，物体 A，B 运动的距离分别是 130 米和 125 米． 三、探究与创新 13．A、B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车开出 t s 后到达途中 C 点，这 一段的速度为 1.2t m/s，到 C 点的速度为 24 m/s，从 C 点到 B 站前的 D 点以等速行驶，从 D 点开始刹车，经 t s 后，速度为(24－1.2t) m/s，在 B 站恰好停车，试求： (1)A，C 间的距离； (2)B，D 间的距离． 解 (1) 设 A 到 C 的 时 间 为 t1 s ， 则 1.2 t1 ＝ 24 ， 解 得 t1 ＝ 20 ， 则 AC ＝ ∫ 200 1.2tdt ＝ 0.6t2|20 0 ＝240m ， 即 A，C 间的距离为 240 m. (2)设 D 到 B 的时间为 t2 s，则 24－1.2t2＝0， 解得 t2＝20，则 BD＝∫200 (24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|20 0 ＝240(m)． 即 B、D 间的距离为 240 m．