高中数学人教a版选修4-1阶段质量检测（二）b卷word版含解析

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阶段质量检测(二) B 卷 一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1．如图，已知：⊙O的内接四边形 ABCD中，AB是⊙O的直径， ∠BCD＝120°.过 D点的切线 PD与 BA的延长线交于 P点，则∠ADP 的度数是( ) A．15° B．30° C．45° D．60° 解析：选 B 要求弦切角∠ADP，即连接 BD， 则∠ADP＝∠ABD，又 AB是直径，所以∠ADB＝90°， 而四边形 ABCD是⊙O的内接四边形， 所以∠C＋∠DAB＝180°，即∠DAB＝60°， 所以∠ABD＝30°，故∠ADP＝30°. 2．(北京高考)如图，AD，AE，BC 分别与圆 O切于点 D，E，F， 延长 AF与圆 O交于另一点 G.给出下列三个结论： ①AD＋AE＝AB＋BC＋CA； ②AF·AG＝AD·AE； ③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：选 A 逐个判断：由切线定理得 CE＝CF，BD＝BF，所以 AD＋AE＝AB＋BD ＋AC＋CE＝AB＋AC＋BC，即①正确；由切割线定理得 AF·AG＝AD2＝AD·AE，即②正确； 因为△ADF∽△AGD，所以③错误． 3．点 P为⊙O的弦 AB上一点，且 AP＝9，PB＝4，连接 PO，作 PC⊥OP交圆于点 C， 则 PC等于( ) A．4 B．6 C．8 D．9 解析：选 B 延长 CP交⊙O于点 D，则 OP垂直平分弦 CD， 且 CP·PD＝AP·PB＝36， ∴PC2＝36，PC＝6，故选 B. 4.如图，在⊙O中，弦 AB与半径 OC相交于点 M，且 OM＝MC，AM ＝1.5，BM＝4，则 OC＝( ) A．2 6 B. 6 C．2 3 D．2 2 解析：选 D 延长 CO交⊙O于 D，则 DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以 1.5×4＝ 3CM2，CM＝ 2，OC＝2 2. 5．如图，已知⊙O是△ABC 的外接圆，⊙I是△ABC 的内切圆，∠A＝80°，则∠BIC 等于( ) A．80° B．100° C．120° D．130° 解析：选 D ∵∠A＝80°， ∴∠ABC＋∠ACB＝100°. ∵∠IBC＝1 2 ∠ABC，∠ICB＝1 2 ∠ACB， ∴∠IBC＋∠ICB＝1 2 (∠ABC＋∠ACB)＝50°， ∴∠BIC＝180°－50°＝130°. 6.如图，在⊙O 中，弦 AB 与 CD 相交于 P 点，∠B＝30°，∠APD ＝80°，则∠A＝( ) A．40° B．50° C．70° D．110° 解析：选 B 易知∠A＝∠D， 又∵∠APD＝∠B＋∠D，∠B＝30°，∠APD＝80°， ∴∠D＝∠APD－∠B＝80°－30°＝50°. ∴∠A＝50°. 7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，CD⊥AB 于 D，若 BC＝3，AC＝4，则 AD∶CD∶BD等于( ) A．4∶6∶3 B．6∶4∶3 C．4∶4∶3 D．16∶12∶9 解析：选 D 由 AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形．由勾股定理知 AB＝5. 又 CD⊥AB，根据射影定理就有 AC2＝AD·AB，于是 AD＝16 5 .同理，BD＝9 5 ，CD＝12 5 ，据 此即得三条线段的比值． 8．在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6 cm，则其外接圆的直径为( ) A. 3 cm B．2 3 cm C．4 3 cm D．6 3 cm 解析：选 C 作 BC 边上的中线 AD，则 AD⊥BC，延长 AD交△ABC 外接圆于 E，连接 CE. ∵AE⊥BC，AE平分 BC， ∴AE为△ABC外接圆的直径， ∴∠ACE＝90°. 在 Rt△ACD中， ∠CAD＝1 2 ∠BAC＝60°，CD＝1 2 BC＝3 cm， ∴AC＝ CD sin∠CAD ＝ 3 3 2 ＝2 3(cm)． 在 Rt△ACE中，AE＝ AC cos∠CAD ＝ 2 3 1 2 ＝4 3(cm)． 即△ABC外接圆的直径为 4 3 cm. 9.如图，四边形 ABCD为圆内接四边形，AC为 BD的垂直平分线， ∠ACB＝60°，AB＝a，则 CD等于( ) A. 3 3 a B. 6 2 a C.1 2 a D.1 3 a 解析：选 A ∵AC为 BD的垂直平分线， ∴AB＝AD＝a，AC⊥BD， ∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝60°， ∴AB＝AD＝BD， ∴∠ACD＝∠ABD＝60°， ∴∠CDB＝30°， ∴∠ADC＝90°， ∴CD＝tan 30°·AD＝ 3 3 a. 10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8 cm，AB＝10 cm，点 P由 C出发以每秒 2 cm 的速度沿线段 CA 向点 A 运动(不运动至 A 点)，⊙O 的圆心在 BP 上，且⊙O 分别与 AB、AC相切，当点 P运动 2 s时，⊙O的半径是( ) A.12 7 cm B.12 5 cm C.5 3 cm D．2 cm 解析：选 A ∵PC＝2×2＝4 cm， ∴P是 AC的中点， ∴BC＝6 cm，BP＝2 13 cm.连接 OD，∵D为切点， ∴OD⊥AC，则 OD∥BC， 即 DP OD ＝ PC BC ＝ 4 6 ＝ 2 3 .设半径 OD＝3k，DP＝2k， ∴OP＝ 3k2＋2k2＝ 13k， ∴OB＝2 13－ 13k. ∵AE、AD为⊙O的切线， ∴AE＝AD＝AP＋PD＝4＋2k， BE＝10－(4＋2k)＝6－2k. 在 Rt△BOE中，∵OB2＝BE2＋OE2， ∴(2 13－ 13k)2＝(6－2k)2＋(3k)2，解得 k＝4 7 . 故半径 OD＝3k＝12 7 . 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，过点 P作⊙O的割线 PBA与切线 PE，E为切点，连接 AE， BE，∠APE的平分线分别与 AE、BE相交于点 C，D，若∠AEB＝30°， 则∠PCE＝________. 解析：由题易得∠PEB＝∠PAE，又由三角形外角性质得∠PCE＝∠ CPA＋∠PAE，又△PEC的内角和为 2(∠CPA＋∠PAE)＋30°＝180°，所 以∠CPA＋∠PAE＝75°，即∠PCE＝75°. 答案：75° 12.如图，已知 P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点， 割线 PEF经过圆心 O，若 PF＝12，PD＝4 3，则圆 O的半径长为 ________、∠EFD的度数为________． 解析：由切割线定理得， PD2＝PE·PF， ∴PE＝PD2 PF ＝ 16×3 12 ＝4，EF＝8，OD＝4. ∵OD⊥PD，OD＝1 2 PO， ∴∠P＝30°，∠POD＝60°， ∴∠EFD＝30°. 答案：4 30° 13．如图，⊙O中的弦 AB 与直径 CD相交于 P，M 为 DC 延长线上一点，MN 为⊙O 的切线，N为切点，若 AP＝8，PB＝6，PD＝4，MC＝6，则MN的长为________． 解析：由相交弦定理得：CP·PD＝AP·PB，CP＝AP·PB PD ＝12，又由切割线定理得：MN2 ＝MC·MD＝6×22，所以，MN＝2 33. 答案：2 33 14．(重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝ 20，过 C作△ABC 的外接圆的切线 CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点 E，则 DE的长为________． 解析：由题意得 BC＝AB·sin 60°＝10 3，由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，所以 CD＝5 3，BD＝15，由切割线定理知，CD2＝DE·BD，则 DE＝5. 答案：5 三、解答题(本大题共 4小题，共 50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15．(本小题满分 12 分)如图，在⊙O 中，半径 OA⊥OB，弦 AC 交 OB 于 D，E是 OB延长线上一点，若∠OAD＝30°，ED＝CE. 求证：EC是⊙O的切线． 证明：连接 OC. 因为 OA⊥OB， 所以∠CAO＋∠ADO＝90°. 因为 DE＝CE， 所以∠ECD＝∠EDC＝∠ADO. 因为 OA＝OC， 所以∠ACO＝∠CAO. 所以∠ECD＋∠ACO＝90°. 所以 EC是⊙O的切线． 16．(本小题满分 12分)如图，已知 AB为⊙O的弦，CD切⊙O于 P， AC⊥CD于 C，BD⊥DC于 D，PQ⊥AB于 Q. 求证：PQ2＝AC·BD. 证明：如图，连接 PA、PB， 因为 CD切⊙O于 P， 所以∠1＝∠2. 因为 AC⊥CD于 C，PQ⊥AB于 Q， 所以∠ACP＝∠PQB＝90°. 所以△ACP∽△PQB. 所以 AC∶PQ＝AP∶PB. 同理，△BDP∽△PQA， 所以 PQ∶BD＝AP∶PB. 所以 AC∶PQ＝PQ∶BD，即 PQ2＝AC·BD. 17．(本小题满分 12 分)如图，已知 AB 切⊙O 于 B，BC 是⊙O的直 径，AC交⊙O于 D，DE是⊙O的切线，CE⊥DE于 E，DE＝3，CE＝4， 求 AB的长． 解：因为 CE⊥DE于 E，DE＝3，CE＝4， 所以 CD＝5. 连接 BD.因为 DE切⊙O于点 D， 所以∠EDC＝∠DBC. 又因为 BC为⊙O的直径， 所以∠BDC＝90°. 所以 Rt△BDC∽Rt△DEC. 所以 CD BC ＝ CE CD ＝ DE BD ， 即 5 BC ＝ 4 5 ＝ 3 BD . 所以 BC＝25 4 ，BD＝15 4 . 又因为 AB与⊙O相切于点 B， 所以 AB⊥BC. 所以 AB BC ＝ BD CD . 所以 AB＝75 16 . 18．(本小题满分 14分)如图，已知 Rt△ABC，∠ABC＝90°，D是 AC的中点，⊙O经过 A，B，D三点，CB的延长线交⊙O于点 E，过点 E作⊙O的切线，交 AC的延长线于点 F.在满足上述条件的情况下，当∠ CAB 的大小变化时，图形也随着改变，但在这个变化过程中，有些线段 总保持着相等的关系． (1)连接图中已标明字母的某两点，得到一条新线段与线段 CE相等，并说明理由； (2)若 CF＝CD，求 sin F的值． 解：(1)连接 AE，则 AE＝CE. ∵∠ABE＝90°， ∴AE为直径，连接 DE. 则∠ADE＝90°， 又 AD＝CD， ∴AE＝CE. (2)设 CF＝x， 则 FA＝3x，FD＝2x，AD＝x. ∵FE为⊙O的切线， ∴AE⊥EF. ∴DE2＝AD·DF＝2x2， 即 DE＝ 2x. FE2＝FD·FA＝2x·3x＝6x2， 即 FE＝ 6x. ∴sinF＝ED FE ＝ 2x 6x ＝ 3 3 .